H-OÏ

CM vi'ITIti: \ I. C\ L1NDRE SOLIDE.

Il résulte «It1 l'analyse précédente que l'on ;i les deux équations

/ i a ,u,(l i ... / xu\ dx=z i-H ( - )

la première a lieu (oui es les lois que 1rs nom lues / et y son! différents, ri la seconde lorsque ces nombres sont égaux. Reprenant donc l'équation

dans laquelle il faul déterminer les coefficients a, . <i ,. aa on trouvera un il«- <is coefficients, désigné par <-/,, en multipliant les deux h ir ml tir- de l'équation par tutdx el en intégranl <l<'|>nis x=o jusqu'à t X. le second membre sera réduit par cette intégration à un seul terme, el l'on aura l'équation

'./' ' ' "■'<'■ «^Df[«+( ^);|.

qui donne la valeur de a,-. Les coefficients alfa2,a. étant ainsi

déterminés, la condition exprimée par l'équation

qui se rapporte à l'état initial, sera remplie.

Nous pouvons maintenant donner la solution complète de la question proposée; elle est exprimée par l'équation suivante :

/ ' ? ' "■''' 777 — iP5P\ "'

356 THÉORIE DE LA CH \u:i R.

La fonction de x, qui esl exprimée par n, dans l'équation précédente, a

pour expression

' I cos( 'x \ sinç ) rfç;

toutes les intégrales par rapporl à x doivent rire prises depuis a jusqu'à .r = X et, pour trouver la fonction uit on doit intégrer depuis f/ = o jusqu'à f = i:; or est la valeur initiale de la température, prise dans l'intérieur du cylindre à la distance x de l'axe, et cette fonction est arbitraire; les quantités 6,, 82, 8„ 6„ ... sont les racines réelles et positives de l'équation

Si l'on suppose que le cylindre ait été plongé pendant un temps infini dans un liquide entretenu à une température constante, toute la masse se trouvera également échauffée, et la fonction ? x qui représente l'état initial sera remplacée par l'unité. Après cette substitution, l'équation générale représentera exactement les progrès successifs du refroidissement.

Si le temps écoulé / est infini, le second membre de l'équation ne contiendra plus qu'un seul terme, savoir celui ou se trouve la moindre de toutes les racines 0,, 92, 6„ ...; c'est pourquoi, en supposant que ces racines sont rangées selon leur grandeur et que 0, est la moindre de toutes, l'état final du solide sera exprimé par l'équation

/.r 0p| X ) Mi dx i'-Kl B

-■ .:■■ wr '

On déduirait «le la solution générale des conséquences semblables à

i II \ ri I Kl. \ I. - Cl LINDRE SOLIDE. 357

relies que présente le mouvement de la chaleur ilans une masse s | ► I k • rique. On reconnail d'abord qu'il \ a mu' infinité d'états particuliers dans chacun desquels les rapports établis entre 1rs températures initiales se conservent jusqu'à la fin du refroidissement. Lorsque l'étal initial ne coïncide pas avec un des états simples, il esi toujours composé de plusieurs d'entre eux, el le- rapports des températures chan- ^'•iii continuellement à mesure que le temps augmente. En général, le solide arrive bientôt à cel étal où 1rs températures des différentes couches décroissent continuellement en conservant les mêmes rapports. Lorsque le rayon \ est très petit, on trouve que les tempi

tures décroissent proportionnellement a la fraction e s ' . Si, au contraire, ce rayon \ a une valeur extrêmement grande, l'exposant de ' dans le terme qui représente le système final des températures contient le carré du rayon total. <»n voit par lit comment la dimension dn solide influe sur la vitesse finale du refroidissement - . Si la température du cylindre dont le rayon est \ passe de la valeur A à la

! - s no - jurent dans les detu premières équatioi