II -j- il

du

do

Si la quantitt

(!li

qui multiplie // sous le signe d'intégration dans le second membre étail égale ;mi produit de a par un coefficient constant, les termes

pourraient être réunis en un >t'iil et l'on obtiendrait, pour l'intégrale cherchée faudx, une valeur qui ne contiendrait que des quantités <lcterminées, el aucun signe d'intégration. Il ne resterai! plus qu'à égaler cette valeur à zéi o

Supposons donc que le facteur - satisfasse à l'équation différentielle du second ordre

'/- rj i,

de même que la fonction n satisfail .i l'équation

'/ u i tin m

il i i '/ 1 I.

/// e( n étanl des coefficients constants, on aura

, du <h

du (h 7

Il existe entre // et a une relation très simple, qui se découvre lorsque, dans l'équation

dx il i"

on suppose

on a, par le résultat de cette substitution, l'équation

Il i rfs tl-s

ce qui fait voir que la fonction s dépend de la fonction // donnée par l'équation

m 1 du d- u

k x dx dxi

11 suffit, pour trouver s, de changer m en n dans la valeur de //; on a désigné cette valeur de u par ^{^i/^Jl celle de ° sera donc

On aura maintenant

du

da

d.i dx x

=VM-v^M-v/i)--\/MVï)h-\

- + (-\^)+(V*) + + (VtMVï}

Les deux derniers termes se détruisant d'eux-mêmes, il s'ensuit qu'en faisant x = o, ce qui correspond à l'indice a, le second membre entier

1 HAP1 li;i. VI, (1 L1NDRE SOLIDE. 3 :,:•,

- évanouit. On conclu! de là l'équation suivante :

" es| aisé fie voir que le second membre de cette équation esl toujours 111,1 lorsque les quantités m el n sonl du iinml.iv de celles que nous

avons désignées précédemment par m,, m ,. m

<)n a. en effet.

comparanl les valeurs de //\. ..n voil que le second membre de l'équation / s'évanouit.

" suil de là qu'après que l'on a multiplié par adx les deux termes de l'équation

=.atu, ■i.ii. ,,,,/ h.... H-a/u^-t-. . .

el intégré de pari el d'autre depuis x o jusqu'à .<■ \, chacune des intégrales définies qui composenl le second membre s'évanouit; il

suffi' de prendre pour j la quantité xu, ou <•: ( a i '" J. || faul excepter le seul cas où n esl égal à m\ alors la valeur de fiudx tirée de 1 équation /' se réduit à ''• el on la détermine par les règles connues

on aura

/ i, jX ' A \ x x - -\ - \

35* THÉORIE DE I. \ Cil ILE [ R.

le second membre étanl différentié au numérateur e( au dénominateur par rapport ;i v donnera, en faisant a = v,

■\i, ■}', •]/' désignant

«KfiX), «J/^X), ■Vi.A,.

On a, d'un autre côté, l'équation

d'où résulte

et celle-ci

(II- ' X (l.V

que l'on vient de démontrer; on pourra doue éliminer, dans l'intégrale qu'il s'agit d'évaluer, les quantités •]>' et |" au moyen des équations précédentes, qui donnent

on trouvera ainsi, pour la valeur de l'intégrale cherchée,

^k(^t) 0„ ESï(I+£*Y

en mettant pour a sa valeur, désignant par l, la valeur que prend la

fonction w, ou M^'V/Tr l0I'S(lllon suppose x = X, et par i le rang de la racine //i de l'équation déterminée qui donne une infinité de va-

leurs de ///. Si Ion substitue m. ou . , dans - M -t- h on

aura