CHAPITRE VII
PROPAGATION DE l \ CHALEUR l>\NS UN PRISME RECTANGULAIRE.
L'équation
.),-- Ty> dF = 0'
t|in' nous avons rapportée dans la Section IV du Chapitre II (p. 102), exprime le mouvement uniforme de la chaleur dans l'intérieur d'un prisme d'une longueur infinie, assujetti par sa base à une température constante, et dont on suppose les températures initiales nulles. Pour intégrer cetl [uation, on cherchera, en premier lieu, une valeur particulière de v, en remarquant que cette fonction c doit demeurer la même lorsque y change de signe, nu lorsque - change de signe, et qu'elle doit prendre une valeur infiniment petite lorsque la distance < est infiniment grande. D'après cela, il est facile de voir que l'on peut choisir pour valeur particulière de v la fonction
ae~'"r eus n y COSps :
et, faisant la substitution, on trouve
Mettant don.' pour n el j> des quantités quelconques, on aura
La valeur de » doit aussi satisfaire à l'équation déterminée
/, di
K Jv
360 THÉORIE DE LA Cil \ LE l R.
lorsque y esl égal ii /ou à — /, et à l'équation
// dv
W{ dz "
lorsque s esl égal à /<>u à — /(Sect. IV du Chap. Il, art. 125). Si l'on donne à v la valeur précédente, on aura
— // sin/jy + r-cosny = o el -/?sino.s -■ ^cospz=io,
iv K
ou
— = nliangnl, g-=/?/lang/?/;
on voit par lit que, si l'on trouvait un arc e tel que e tangE équivalût à la quantité toute connue j-/, on prendrait pour // ou [tour /> la quantité -.• Or il est facile de reconnaître qu'il y a une infinité d'arcs qui, multipliés respectivement par leur tangente, donnent un même produit déterminé j- , d'où il suit que l'on peut trouver pour // et pour /> une infinité de valeurs différentes.
Si l'on désigne par s,. e2, i, les arcs en nombre infini qui satisfont à l'équation déterminée
e lange = ^r,
on pourra prendre pour // un quelconque de ces arcs divise par /. Il en sera de même de la quantité p; il faudra ensuite prendre nr -=/r-+- />-. Si l'on donnait à // el à p d'autres valeurs, on satisferait à l'équation différentielle, niais non pas à la condition relative à la surface. On peul donc trouver de cette manière une infinité de valeurs particulières de v, et comme la somme de plusieurs quelconques de ces valeurs satisfait encore à l'équation, on pourra former une valeur plus générale .1er.
