CHAPITRE VIL- PRISME RECTANGULAIRE

"h prendra successivement pour // el pour/? toutes les valeurs |i>i>-

sibles, qui ^<Mit ji "' • -y» • • • • Désignant par ait ait a3, . ..; A,, b.2,

6,, ... ilf'- coefficients constants, on exprimera la valeur de v par l'équation suivante ' :

f- \ COSrtil COS/lj ' ... A, COSrt, 3

Cf,< s ■ OS COS !< ■ COS/ï ■ -"

OS/IiJ Iji N COSrtjJ ... b3 ci>-/ijZ

Si l'on —ïi|>|»«t— «* maintenant la distance x nulle, il faudra que chaque point de la section A conserve une température constante. Il est donc

S suivait slriclemenl la méthode générale indiquée pai loin ut. on scr.ni con-

duit, pour la valeur de i . à la série

il \ >■ r\ ; ■ "l eosH/jr cos«>i z.

ta \../. auraienl tirs valeurs quelconques. Fourier prend toul de - i ■ explication,

\ =aibk.

Le ■ la méthode justiGe, sans l'expliquer peut-êln iment, uni

- - érale. En choisissant fi.hL pour la valeur particulière

du coefficient \ , Fo irier admet que la - érale doit s.' réduire, quand on y rail

: |>n>iliiii de di - - trigonomélriques contenant chacune une seule des va

riables j", ;. <'.e point peut ■ - ment établi, si l'on admet toutefois la légitimité des

- i 5 par Fourier. Faisons, en effet, i = o dans l'équation (i);

luire ;i i. "ii aura

ux membres tle égalité par cos//aj cos si l'on in li

- limites >< el /. on aura

f ' ' I - - / .-''/''"- '■ ioa u ■/

Les - .; renl que le second membre se réduil .i

\ , , / ■ ■ - "i.> dj I COS*//a : dz .

•3G2 THÉORIE DE LA CH kLEl R.

nécessaire qu'en faisanl .r = o, la valeur de 9 soil toujours I, même, quelque valeur que l'on puisse donner à y ou à s, pourvu que ces valeurs soient comprises entre o et /. Or, en faisant x = o, on trouve i, = (aicosnly + aîcosn2y + a3cosn3y+...){blcosnlz+bicosniz + bicosn

En désignant par i la température constante de la base A, on prendra les deux équations

i = a, cos«i v 4- ff2cos//2v -+- a3COSn3j • • -, i = ^cos/ii-s + b.2cosn,z + ^:îcosn3= +

Il suffît donc de déterminer les coefficients a(, «2, o3 dont le

nombre est fini, en sorte que le second membre de l'équation soit toujours égal à l'unité. On a résolu précédemment cette question dans le cas où les nombres nlf n„ n,. ... forment la série des nombres impairs (Section II du Chapitre III, page 1*9). Ici les quantités /,„ n2,

n. sont des irrationnelles, données par une équation d'un degré

infiniment élevé.

Posant l'équation

itzrc^cos/iij -\- a2cos/i2y+ a3cosn3y-+-. • -,

on en multipliera les deux membres par cosn.ydy, el l'on prendra l'intégrale depuis y = o jusqu'à y = L On déterminera ainsi le pre-

on a donc

Si l'on pose . . ,

sm/^/ -|Sin»at

«a | COS2«oc.> '('

on a

et l'on obtient les formules définitives données dans le texte.

< il m* i ri; i: vu. - PRISME REC i vm.i laire.

:îii3

mier coefficient a,. On suivra un procédé semblable pour déterminer les coefficients suivants. En général, si l'on multiplie les deux membres de l'équation par cosvydy, v étant l'une quelconque <les valeurs de //. cl que l'on intègre, un tenue quelconque du second membre qui sérail représenté par acosny donnera naissance à l'intégrale

a / COS '/ > COSV i dj

a ! cos a v)ydy a ! cos(n -+-v)ydy

sin(/z — v) y H sia(/i

et. faisant v = /.

-m n — v)/-H(« — v)sin(/i -4- v)l

OU

ou

Or chaque valeur de n satisfait à l'équation

// lane ///

il en est de même de v : on aura don<

n langnl = v langv / ou

n sin/i/cosv/ — vsinv/cos/zf = o.

Ainsi l'intégrale précédente, qui se réduit à

— ; : (n sin/zl cosv/ — vcos/z/sinv /).

est nulle. Il tant excepter le seul cas où n v. En reprenant alors l'in-

ile

a |"sin(/i — v)/ sin(« H- v / I t | « — v /i ■+- v

on voit que, si l'on a n v, elle équivaut à la quantité -(/ "'" ' )•

364 THÉORIE DE LA Cil M. Kl R.

Il résulte de là que si, dans l'équation

i = a, cosn,y -t-^cos/^.v 4- a3cosnsy -+-...,

on veut déterminer le coefficient d'un terme du second membre désigné paracosny, il faut multiplier les deux membres par cosnydy, et intégrer depuis y = o jusqu'à y = l. On aura pour résultat l'équation

a ! . si ii ■>■"/ \ ' .-, /

d'où l'on tire

sinn/

2 «Z -t- sin 2 «/ 4

On déterminera de cette manière les coefficients a,, a2, a„ ...; il. en sera de même des coefficients bt , b,, b3, . . ., qui seront respectivement les mêmes que les précédents.

Il est aisé maintenant de former la valeur générale de v : i° elle satisfera à l'équation

dH> F v <P v __ Q .

dx* + dy* dz1 ~

2° elle satisfera aux deux conditions

K^+/h=o et R 4-/<r = o;

3° elle donnera une valeur constante pour v, lorsqu'on fera xquelles que soient d'ailleurs les valeurs de y et de z, comprises entre o et /; donc elle résoudra dans toute son étendue la question proposer. On est parvenu ainsi à l'équation

, sin/^/cos»,/ sin/*2/cos/i.2r | sin/*,/cos/i,,r (

4 — an./H-sinan,/4" 2 n2 / H- sin 2 n, / 2 ns l -h Sili 2 n3l

ou, en désignant par e„ e2, e„ . . . les arcs nj, n,L n,l

esr

sinejCOS^f sins2cos-^- sine,cos»-j-

', "- 2£l 4- Sin2£, 2EÎ4-S1I12EÎ 2g3-+-Sin2£,

I II M'I l Kl. \ II. PRISME RECTANG I I. URE. 305

équation qui ;i lieu pour toutes l<"> valeurs dey comprises entre <> «■! / et, par conséquent, pour toutes celles ciui sonl comprises entre <> «•i . /.

En substituant les valeurs connues de '/, . />,, <t. . />,. . . . dans la valeur générale de i . "ii aura l'équation suivante, qui contient la solution complète de la question proposée

I i . i > // 1 / sin a nt l \ a nx l sin a n, /

1 sinn./cosn.s sinn./cosn.i — -. \

I < n . I si n a «i / \ 2 « , / sin a nx l

Les quantités désignées par nt, n .. n3, ... sonl en nombre in l'un, el respectivement égales aux quantités

ï. E, Ea

les arcs e,, e2, e,, ...sonl les racines de l'équation déterminé

hl

e lange = ^

La solution exprimée par l'équation précédente E esl la seule qui convienne ;■ la question; elle représente l'intégrale générale de l'équation

Jj ,): °'

dans laquelle on aurail déterminé les fonctions arbitraires d'après les

conditions doni s. Il esl facile de reconnaître qu'il ne peul \ avoii

aucune solution différente, lui effet, désignons par^ > . \ . : la valeur de v déduite de l'équation E : il esl évident que, si l'on donne au solide des températures initiales exprimées par l >•}• ~ ■ il ne pourra survenir aucun changement dans le système des températures, pourvu

3liG THÉORIE l>K LA Cil \I.KI |{.

que la section à l'origine soit retenue à la température constante i : car. l'équation

div <)' c div

étanl satisfaite, la variation instantanée de la température est nécessairement nulle. Il n'en sérail pas de même si, après avoir donné à chaque

point intérieur du solide dont les coordonnées sont .r, y, ; la température initiale ty(x,y,z), on donnait à tous les points de la section à l'origine la température constante o. On voit clairement, et sans aucun calcul, que, dans ce dernier cas. l'état du solide changerait continuellement et (jue la chaleur primitive qu'il renferme se dissiperait peu à peu dans l'air et dans la masse froide qui maintient la hase à la température o. Ce résultat est dû à la forme de la fonction } r. v. z), qui devient nulle lorsque x a une valeur infinie, comme la question le suppose.

Un effet semblable aurait lieu si les températures initiales, au lieu d'être -hty(x,y, s), étaient — <\>(x,y, z) pour tous les points intérieurs du prisme, pourvu que la section à l'origine fût toujours retenue à la température o. Dans l'un et l'autre cas, les températures initiales se rapprocheraient continuellement de la température constante du milieu, qui est zéro, et les températures finales seraient toutes nulles.

Ces principes étant posés, considérons le mouvement de la chaleur dans deux prismes parfaitement égaux à celui qui est l'objet de la question. Pour le premier solide, nous supposons que les températures initiales sont -h <\>(x,y, s] et que la base A conserve la température fixe i . Pour le second solide, nous supposons que les températures initiales sont - ']/(x,y, z et que Ions les points de la base A sont retenus à la température o. Il est manifeste que, dans le premier prisme. le système des températures ne peut point changer et que. dans le second, ce système varie continuellement jusqu'à ce que toutes les températures deviennent nulles.

CHAP11 lil \ II. PRISME RECTANG I I. v [RE. 367

>i maintenant on fail coïncider dans le même solide ces deux fiais différents, le mouvemenl de la chaleur s'opérera librement, comme -i chaque système existai I -'Mil. Dans I "ci ai in mal formé des deux systèmes réunis, chaque poinl du solide aura une température nulle, excepté les points de la section \ don! la température sera i. ce qui esl conforme ii l'hypothèse. Ensuite, les températures du second système cbangeronl de plus en plu- el s'évanouiront entièrement, pendant «pic

celles du premier se conserveront sansaucun changement. I) :, après

un temps infini, le système permanent des températures sera celui que représente l'équation E . ou

Il tant remarquer que cette conséquence résulte de la condition relative •i I étal initial; on la déduira toutes les fois que la chaleur initiale contenue dans le prisme est tellement distribuée qu'elle s'évanouirait entièrement si l'on retenait la hase A à la température »>.

Nous ajouterons diverses remarques à la solution précédente : i" M est facile de connaître la nature de l'équation etange

Fig. ,-..

il suffit de supposer swrfig. i 5 que l'on ail construit la courbe

U = ; la ii. .

I arc t étant pris pour abscisse et u pour ordonnée. Cette ligne esl

308 THEORIE DE I. \ Cil kLEI H.

composée de branches asymptotiques. Les abscisses qui correspondent aux asymptotes sonl -> —> — > ■ ■ ■ ; celles qui correspondent aux points d'intersection sont -, 2ir, 3-, .... Si maintenant on élève à l'origine une ordonnée égale à la quantité connue - ci que, par sou extrémité, on mène une parallèle à l'axe des abscisses, les points d'intersection donneront les racines de l'équation proposée

/// Etange= ^'

La construction indique les limites entre lesquelles chaque racine est placée. Nous ne nous arrêterons point aux procédés de calcul qu'il faut employer pour déterminer les valeurs des racines. Les recherches de ce genre ne présentent aucune difficulté.

2° On conclut facilement de l'équation générale E que, plus la valeur de x devient grande, plus le terme de la valeur de v dans lequel se trouve la fraction e—n"~^"'< devient grand par rapport à chacun des suivants. En effet, //,, n2, // étant des quantités positives croissantes, la fraction e JN/2"; est la plus grande de foules les fractions analogues qui entrent dans les termes subséquents.

Supposons maintenant que l'on puisse observer la température d'un point de l'axe du prisme situé à une dislance x extrêmement grande, et la température d'un point de cet axe situé à la distance x ■+- 1 , i étant l'unité de mesure; on aura alors y = o, z = o. et le rapport de la seconde température à la première sera sensiblement égal a la fraction e v'2"'. Cette valeur du rapport des températures des deux points de l'axe est d'autant plus exacte que la dislance x est plu> grande.

Il suit de lit que, si l'on marquait sur l'axe des points dontehacun lut distant du précédent de l'unité de mesure, le rapport de la température d'un point à celle du point qui précède convergerait continuellement vers la fraction e s -" ; ainsi les températures des points places