CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR

Premièrx question. I ne partie ai d'une ligne infinie esl élevée dans t<>u> ses points à la température i; les autres parties de la ligne ont la température actuelle <>. on suppose que la chaleur ne peul se dissiper dans le milieu environnant; il Paul déterminer quel esl l'étal de la ligne après un temps donné. On peul rendre cette question pins générale eu supposant : i" que les températures initiales des points compris entre <i et // sont inégales et représentées par les ordonnées d'une ligne quelconque, que nous regarderons d'abord comme com-

pos Ii' deux parties symétriques (voir //-•. l6); j." qu'une partie tic

la chaleur se dissipe par la surface du solide, qui est un prisme d'une lies petite épaisseur et d'une longueur infinie.

La seconde question consiste a déterminer les états successifs d'une barre prismatique, dont une extrémité est assujettie à une température constante, el qui est infiniment prolongée.

La résolution de ces deux questions dépend de l'intégration de

l'équation

dv k F v nL

àt ~ i d <;./■- <;i>>1

art. 105 . (|iii exprime lo mouvement linéaire de la chaleur: e est la

température que le point placé a la distance x de l'origine doit avoir après le temps écoulé /; K. II. C, I), 1., S désignent la conducibilité propre, la conducibilité extérieure, la capacité spécifique de chaleur, la densité, le contour de la section perpendiculaire, ci l'aire de cette

Nous considérons d'abord le premier cas, qui esl celui où la chaleur se propage librement dan- la ligne infinie dont une partie <tl> a reçu

des températures initiales quelc pie-, tous les autres points ayant la

température initiale <>. Si l'on élève en chaque poinl de la barre l'ordonnée d'une courbe plane qui représente la température actuelle de ce point, on voit qu'après une certaine valeur du temps /, l'état du

solide est exprimé par la figure de la courbe. Nous désignerons par v = Y(x) l'équation donnée <jui correspond à l'état initial, et nous supposons d'abord, pour rendre le calcul plus simple, que la figure initiale de la courbe est composée de deux parties symétriques, en sorte

que l'on a la condition

F(tf) = F(— x).

Soit

dans l'équation

on fera

et l'on aura

Cl) ~ ' CDS

dv ,<)'r i)t à V

du __ d'à dt ~ ' dx*

On prendra pour // la valeur particulière ae~kq'~tcosqx\ a et y sitnl des constantes arbitraires. Soient q,, q.2, q3, . . . une suite de valeurs quelconques de q, et a,, «,, a3, . . . une suite de valeurs correspondantes du coefficient (i\ on aura

a = axe~kl'\l cosy, x -+- a. ,e~'''-' cos^iC h a3e ~L'r>' COSq3. / — . . . .

Supposons : i° que les valeurs q,, q,, q3, . . . croissent par degrés infiniment petits, comme les abscisses q d'une certaine courbe, en sorte

qu'elles deviennent égales à dq, 2(/q, 3dq d(j étant la différentielle

constante de l'abscisse; 2° que les valeurs a,, </,, a3, ... soient proportionnelles aux ordonnées Q de la même courbe, et qu'elles deviennent égales ii Qtdq, Q2dq, Qsdq, ..., Q étant une certaine fonction de q. li en résulte que la valeur de // pourra être exprimée ainsi

a = j Q e~k(i"1 cos q .v tl</ .

Q e>t une fonction arbitraire /' q . et l'intégrale peut être prise de q = o ii q = go. La difficulté se réduit à déterminer convenablement la fonction Q.

i HAP1TRE I\. DIFFUSION DE LA < Il M II I!. 391

Pour \ parvenir, il faul supposer / o dans l'expression de // el l'égaler ii F c . <ui a ainsi l'équation de condition

I / Q cosqx '/'/■

Si l'on mettail au lieu de Q une fonction quelconque de q, el <|it<' l'on achevai l'intégration depuis q = o jusqu'à q = <x>, on trouverai! une fonction de i : il s'agil de résoudre la question inverse, c'est-à-dire de connaître quelle esl la fonction de q «pii. étanl mise au lieu de Q, donnera pour résultai la fonction F x . problème singulier donl la solution exige un examen attentif.

En développant le signe de l'intégrale, on écrira comme il suil l'équation donl il faul déduire la valeur de Q

I Q ,-M-y, , ,/y Qj cosqtX dq ■+■ QaCOSqax dq -+-... .

Pour faire disparaître tous les ternies du second membre, excepté un seul, "ii multipliera de pari el d'autre par cosrxdx, el l'on intégrera ensuite par rapport à x depuis x = o jusqu'à x = mz, n étant un n m m lue infini; r représente une grandeur quelconque égale à l'une des suivantes

ou, ce qui es( la même chose,

'h idq, Zdq

S ni y une valeur quelconque de la variable q, el q> une autre valeur qui es! celle que l'on a prise pour / : <ui aura

r = j dq

q = idq.

On considérera ensuite le nombre infini n pomme exprimant coin-

392 THEORIE DE L \ Cil VLE1 R.

bien l'unité de longueur contient de fois l'élément dq, en sorte <j ne l'on

aura

En procédant à l'intégration, on reconnaîtra que la valeur de l'intégrale / cos q x cos rxdx est nulle toutes les fois que r et q sont des grandeurs différentes; mais cette même valeur de l'intégrale est -

lorsque q = r. Il suit de là que l'intégration élimine dans le second membre tous les termes, excepté un seul, savoir celui qui contient (/j ou r. La fonction qui allée te ce même terme est Qy-; on aura donc

F(a?) cosqjc dx = — -Qy ^/y;

et, mettant pour Jid<j sa valeur i, on a

- J ' = f F(x) cosqxdx;

on trouve donc, en général,

— =f \< (x)COSqJ- fl.r.

Ainsi, pour déterminer la fonction Q qui satisfait à la condition proposée, il faut multiplier la fonction donnée F(x) par cosqxdx, et intégrer de x nulle à x infinie, en multipliant le résultai par -> c'està-dire que, de l'équation

F(x) = j /(q)cosqxdq, on déduit celle-ci

/('/) = - j F(.r) COSq.r f/.r.

En substituant la valeur de f(q) dans l'expression de F x , on obtient l'équation générale