CHAPITRE l

DE I. V DIFFUSION DE l. v cil Mil il

IU ■OCYBXBNl LIBRE DE IV muni; Iivn- im LIGNE INFINIE.

On considère i>'i le mouvemenl de la chaleur dans une masse solide homogène dmit toutes les dimensions sont infinies. On divise ce solide par des plans infinimenl voisins el perpendiculaires à un axe commun, el l'on suppose d'abord qu'on a échauffé une seule partie de la masse, savoir celle qui esl comprise entre deux plans A el M parallèles, dont la distance esl g. Toutes les autres parties onl la température initiale <>: mais chacun des plan- compris entre A el B a une température initiale donnée, que l'on regarde comme arbitraire, el qui est commune a tous ses points; cette température esl différente pour les différents plans. L'étal initial de la masse étanl ainsi défini, il s'agil de déterminer par le calcul tous les états successifs. Le mouvemenl dont il

g i esl seulement linéaire, el dans le -''11- de l'axe des plans; car il esl évidenl qu'il ne peut y avoir aucun transport de chaleur dans un plan quelconque perpendiculaire à cel axe, puisque la chaleur initiale de tous ses points esl la même.

On peul supposer, au lieu du solide infini, un prisme d'une irè^ petite épaisseur, el dont la surface convexe esl totalement impénétrable .1 la chaleur. On ne considère donc le mouvemenl que dan- une ligne infinie, qui esl l'axe commun de tous !<•- plans.

La question esl plus générale lorsqu'on attribue des températures

388 THÉORIE DE LA Cil ULEl R.

entièrement arbitraires à tous les points de la partie de la masse quia été échauffée, tous les autres points du solide ayant la température initiale o. Les lois de la distribution de la chaleur dans une masse solide infinie doivent avoir un caractère simple et remarquable, pair.- que le mouvement n'est point trouble par l'obstacle des surfaces et par l'action du milieu.

La position de chaque point étant rapportée à trois axes rectangulaires, sur lesquels on mesure les coordonnées x, y, z, la température cherchée est une fonction des variables x, y, z et du temps /. Cette fonction eou o{x,y,z,l) satisfait à l'équation générale

dv J^ [<P^ <*V <Py\

De plus, il est nécessaire qu'elle représente l'état initial, qui est arbitraire; ainsi, en désignant par V(x,y,z) la valeur donnée de la température d'un point quelconque, prise lorsque le temps est nul, c'està-dire au moment où la diffusion commence, on doit avoir

Il faut trouver une fonction v des quatre variables x, y, z, i qui satisfasse à l'équation différentielle (a) et à l'équation déterminée b).

Dans les questions que nous avons traitées précédemment, l'intégrale est assujettie à une troisième condition qui dépend de l'état de la surface. C'est pour cette raison que l'analyse en est plus composée et que la solution exige l'emploi des termes exponentiels. La forme de l'intégrale est beaucoup plus simple lorsqu'elle doit seulement satisfaire ii l'état initial, et il serait facile de déterminer immédiatement le mouvement de la chaleur selon les trois dimensions. Mais, pour exposer celte partie de la théorie et faire bien connaître suivant quelle loi la diffusion s'opère, il est préférable de considérer d'abord le mouvement linéaire, en résolvant les deux questions suivantes: on verra par la suite comment elles s'appliquent au cas des trois dimensions.