CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALE1 II. 39g

leur initiale de la Lempérature, on aura art. 76

\ esl la température initiale du point le plus échauffé. On fera, pour simplifier le calcul,

A = i el : =i.

KS

On a donc mi en déduit

I f COSÇ C il r

et. prenant l'intégrale de .r nulle à x infinie,

1 v Ainsi la valeur de e en .r el / esl donnée par l'équation suivante

/,/ C i ,,COS'/'

Si l'on l'ait t = o, on aura

r en-'/ /

cequi correspondà l'état initial. Donc l'expression ' f '"^ ' ^ éaui-

~Jo ' + y-' ' '

v',,lt :"~ -Il faut remarquerque la fonction F x , qui représente l'état initial, ne change point de valeur, d'après l'hypothèse, lorsque a devient négative; car la chaleur communiquée par le foyer avanl que l'état initial tut formé s'est propagée également à la droite et a la gauche du point oqui la reçoit immédiatement. Il s'ensuit que la ligne dont l'équation serait

' C cos a a. ,

39G THÉORIE DE LA Cil \I.Kl H.

est composée de deux branches symétriques que l'on forme en répétant, à gauche de l'axe de v, la partie de la logarithmique qui est ii la

droite de cet axe et a pour équation

On voit ici un second exemple d'une fonction discontinue exprimée par une intégrale définie ('). Cette fonction - / , d<i équivaut à

p'r lorsque x est positive; mais elle est ex lorsque x est négative.

La question de la propagation de la chaleur dans une barre infinie dont l'extrémité est assujettie à une température constante se réduit, comme on le verra dans la suite, à celle de la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie; mais il faut supposer que la chaleur initiale, au lieu d'affecter également les deux moitiés contigués du solide, y est distribuée d'une manière contraire; c'est-à-dire qu'en représentant par F (ce) la température d'un point dont la distance au milieu de la ligne est r, la température initiale du point opposé, pour lequel la distance est — x, a pour valeur — F(x). Cette seconde question diffère très peu de la précédente et pourrait être résolue par une méthode semblable; mais il est préférable de faire dépendre sa solution de l'analyse qui nous a servi à déterminer le mouvement de la chaleur dans les solides de dimensions finies.

Supposons qu'une partie ai [fig. iG) de la barre prismatique infinie soit échauffée d'une manière quelconque et que la partie opposée a 3 soit dans un état pareil, mais de signe contraire, tout le reste du solide ayant la température initiale o. On suppose aussi que le milieu environnant est entretenu à la température constante o, et qu'il reçoit de la barre ou lui communique la chaleur par la surface extérieure. Il

(') Il ne s'agit plus ici d'une fonction réellement discontinue, mais plutôt d'une fonction exprimée par deux lois différentes suivant que la variable est positive ou négative.

' Il M'1'1 RE 1\. DIFFI SION DE LA CH YLKl R.

- ii do trouver quelle sera, après un temps donné /, la température v d'un point dont la distance à l'origine est .»-.

il,:. 16.

On considérera d'abord la barre échauffée comme avant une longueur finie 2X, «•! comme étant soumise à une cause extérieure quelconque qui retienl ses deux extrémités à la température constante o; on fera ensuite X

On emploiera d'abord l'équation

dt " CD ôx- CDS

"Il

dv rd*i> dx*

kÂZi-hv'>

et, faisant

• >n aura

= ue~hl,

du J!«

On exprimera comme il suit la valeur générale de ù

u = aJc-**î'sin^*,a; ate-*tittàng%x + ate k* '-in -, i ■+-. . .;

faisanl ensuite c = X, ce qui doil rendre nulle la valeur de p, on aura, pour déterminer la série des exposants g, la condition

- 1 II ' \ = o

398 THÉORIE DE LV CHALEl R.

tétant un nombre entier. Donc

u = Oi e * sin -^ — h a,e x Sin2 y +••••

11 ne reste plus qu'à trouver la série des constantes a,, a.,, a3, — Faisant / = o, on a

a = F(or) = aj sin -==- -f- a2 sin2 -^ — h a3 sin3 -==r -h

Soit ^ = r, et désignons F(a?) ouF -^- j par/(r); on aura

/"(/•) = a, sin/- -+- a2 sin 2/' -+- a3sin3/'H-

Or on a trouvé précédemment

' / f(r)s\mrdr

donc

Xa,- /* . .r.x

~ = I l(x) sim-^-dx.

L'intégrale devait être prise de r = o àr = ic; donc elle doit être prise, par rapport à x, depuis x = o jusqu'à a- = X. En faisant ces substitutions, on forme l'équation

-JF . 7T.T /*' . 71./'

* Sin . / I- (.r) %\n — ilx t * sin 2 -y- / F(a;)sin2 <■/./+....

Telle serait la solution si le prisme avait une longueur finie représentée par 2X. Elle est une conséquence évidente des principes que nous avons posés jusqu'ici; il ne reste plus qu'à supposer la dimension X infinie. Soit X = n-, n étant un nombre infini ; soit aussi <y une variable dont les accroissements infiniment petits dq sont tous égaux:

CH \l'l I RE l\. Ml ri I s li)\ DE LA (Il VI. El li. 399

on écrira an lieu de n. Le terme général de la série qui entre dans

l'équation a étant

v sin i ' / Fi i sin i />-,

du représentera par 'j le nombre i, qui esl variable el qui devienl infini. Ainsi l'on aura

dq dq dq

En faisant ces substitutions dans le terme donl il s'agit, on trouvera

sin / / Fi i mh./<</,'.

Chacun de ces termes doil être divisé par X ou ,' : il devient nar là une quantité infiniment petite, et la somme de la série n'es! antre chose qu'une intégrale, qui doil être prise par rapport à q de y — o à q = x. Donc

v—\e '" I ' " ' '"'"7 -'''/v/ F<.'->>iii'/.'-'/'-.

L'intégrale par rapport à x doit être prise «le .»■ — 0 à r - x, ce qui donne une fonction de q\ et la seconde intégrale doil être prise par rapport à q <\<- q o à y = x. On peut aussi écrire

-e-hit e-W sin qxdq f F(<x)sinqadx e-'" f F a rfa / e k<>u sin q x sin q a dq.

|uation s contient la solution générale de la question : et, en substituant pour |" c une fonction quelconque, assujettie ou non à une loi continue, on pourra toujours exprimer en x et t la valeur de la température : il faut seulement remarquer que la fonction F a correspond à wm- ligne formée >\r deux parties égales et alternes.

Si la chaleur initiale est distribuée dans le prisme de telle manière que la ligne FFFF (fig. 17) qui représente cet état initial soit formée

de deux arcs égaux placés a droite et à gauche du point fixe o, le mouvement variable de la chaleur est exprimé par l'équation

?~''1 I F(a)dot. j e~ k'ii ' COS q x COS7 y. dq.

Si la ligne ffff {fig. 18) qui représente l'état initial est formée de

Fig. 18.

deux arcs pareils et alternes, l'intégrale qui donne la valeur de température est

- — e~hl 1 /(x)dxf e~,,fi's\i\ /■/.>■ sinqa dq.

Lorsqu'on supposera la chaleur initiale distribuée d'une manière quelconque, il sera facile de conclure des deux solutions précédentes l'expression de v. En effet, quelle que soit la fonction z>(.t) qui représente la température initiale et donnée, elle se décompose toujours en deux autres ¥(&) -h/(#0. dont l'une correspond à la ligne FFFF, el l'autre ii la ligne ffff, en sorte que l'on a ces trois conditions :

( il v r 1 1 1; î: iv mu i sion de i. \ •: il m.i.i R.

•oi

On a déjà fait usage de cette remarque dans les articles 233 «•! 234. On ^aii aussi que chaque étal initial donne lieu à un étal variable partiel qui se Forme comme s'il étaî! seul; la composition de ces « 1 ï \ « - 1 — états n'apporte aucun changement dans les températures qui auraient lieu -i parement pour chacun d'eux. Il suii de là qu'en désignant pan la température variable produite par l'étal initial que représente la Fonction totale p > , on doit avoir

-=.e /(' f e~ ■*»*' cos q x dq f F(a)cosqada

/ e ••' ' sin / / (/■/ j f(a) sinqada I .

Si l'on prenait cuire les limites x et — x les intégrales par rapport à x, il esl évident que l'on doublerait les résultats. <>n peut donc, dans l'équation précédente, omettre au premier membre le dénominateur 2, et prendre dans le second les intégrales pour y. depuis y. — — x jusqu'à a = -hao. On voit facilement aussi que l'on pourrait écrire

/ z y. cosqa aa. au heu de / F y. cosqada.; car il résulte de la condition à laquelle esl assujettie la fonction/ y. que l'on doit avoir

o= / f\ y. i cosqada.

On peut encore écrire / ç y. sin^atfaau lieu de / f y. sin^at/a, ■ ui a évidemment

o = / l sin^a '/a.

On en conclut

/ ''A/ / p y cosqacosqxda -+- I y (a) sin^a -iny / rfa

' / ■ /y J p(a) .-,,,,/, -a rfa

OU

71 v - e ht I o( y.\fly.i <■ k'i'f vo^<j i ./■ - y <I<j.

*J — oo *-^Q

La solution do cette seconde question fait connaître distinctement quel rapport il y a entre les intégrales définies que nous venons d'employer et les résultats de l'analyse que nous avons appliquée aux solides d'une figure déterminée. Lorsque, dans les séries convergentes que cette analyse fournit, on donne aux quantités qui désignent les dimensions une valeur infinie, chacun àc^ termes devient infiniment petit, et la somme de la série n'est autre chose qu'une intégrale. On pourrait passer directement de la même manière, et sans aucune considération physique, des diverses séries trigonométriques que nous avons employées dans le Chapitre III aux intégrales définies; il nous suffira de donner quelques exemples de ces transformations dont les résultats sont remarquables.

Dans l'équation

y = sinw + -k s\niu -+- - sino u h — S1117M -4-. . . , 1 J j 7

donnée aux articles 18 i et 222, on écrira au lieu de u la quantité '-;

x est une autre variable et n est un nombre infini éçal à -7-; q est une

° dg '

quantité formée successivement par l'addition de ses parties infiniment petites égales à r/y. On représentera le nombre variable i par

'/ • Si, dans le terme général — : sinf ii ■+- 1)-> on met pour i et n

leurs valeurs, ce ternie deviendra sin:>y.r. Doue la somme de la

série sera

dg

ijsin.y.

i II M'I I lil. I\. D1FFI Sl<>\ DE I. V t. Il \I.IJ lt. 'intégrale étanl prive de q <> à 7 x : nu a (loue l'équation

qui a toujours lieu quelle que soil la valeur positive de x.

Suit 21/. v r, /• étanl une nouvelle variable, mi aura

— L = — cl - = I sinr — ;

cette valeur de l'intégrale définie / sinr- esl connue depuis longtemps. Si. en supposant r négatif, on prenait la même intégrale de x>, on aurai) évidemmenl un résultai de signe contraire

La remarque que nous venons de faire sur la valeur de l'intégrale / Miiyt -, qui est -ou » peut servir à faire connaître la nature

de I expression

- / cuv/.r .-1117 — -

donl nous avons trouvé précédemment art. 348 la valeur égale à 1 ou a o, selon que x est ou n'est pas comprise entre i et -- 1. En effet,

on a

1 ' <l'l ' / ' , dq 1 /' . . <//

/ oso « -1117 — — - I singla; -+- 1) — / s in 7 (./■ — 1) — - ;

le premier terme vaut ",- ou — ,'• selon queaM 1 est une quantité

positive ou négative; le second - / s'ing x — 1 ' / vaul -, ou -

Belon que x - 1 esl une quantité posith 1 négative. Donc l'intégrale

totale esl nulle -1 1 1 et a 1 onl le même signe; car, dans ce cas, les deux termes se détruisent; mais, si ces quantités sont de signe <lilférent, c'est-à-dire si l'on a en même temps a 4- 1 > o el x 1 <[ o,

les deux termes s'ajoutent et la valeur de l'intégrale esl :; • Donc l'inté-

'•o'i THÉORIE DE LA Cil M. Kl I!.

ffrale définie / sinacosgx ■ -esl une fonction de a? égale à i, m la

variable x a une valeur quelconque comprise entre i et — i; et cette même fonction esl nulle pour toute autre valeur de x non comprise entre les limites i et — i.

On pourrait déduire aussi de la transformation des séries en intégrales les propriétés des deux expressions

COS7.' dq

q si 11 7./- dq

2 Ç q si 11 q. v ~ .'. 1 + 7-

et

La première (art. 350) équivaut à e~x lorsque x esl positive, et à e* lorsque a; est négative. La seconde équivaut à e~x si x est positive, et ;i — cr si x est négative; en sorte que ces deux intégrales ont la même valeur lorsque x est positive, et ont des valeurs de signe contraire

Fig. 19.

Fig. 20.

lorsque x est négative. L'une est représentée par la ligne cerc [fig. 19), l'autre par la ligne eeee {fig. 20).

L'équation (()