KS
^['"Kvs^'Kvs) ""]
ainsi l'expression de la quantité ^ est entièrement dégagée du signe
intégral. La valeur précédente, à la surlace du solide échauffé, est
St/CDK, ce qui fait connaître comment le tlux de chaleur à la surface
varie avec les quantités C, D, K, /; pour trouver combien le loyer communique de chaleur au solide pendant un temps écoulé t, on prendra l'intégrale
ainsi la chaleur acquise croît proportionnellement à la racine carrée
du temps écoulé.
On peut traiter par une analyse semblable la question <\c la diffusion de la chaleur, qui dépend aussi de l'intégration de l'équation
dt à.r-
On représentera par f[x) la température initiale d'un point de la ligne placé à la distance x de l'origine, et l'on cherchera à déterminer quelle doit être la température de ce même point après un temps /. Faisant
— o-iit -
on aura
ôi ~~~ dx* '
et par conséquenl
c'1' cp(a- -t- 2q\fkt
I II M' I IKK IV - DIFFl SION DE LA «Il Mil K. Vil
Lorsque / esl égal à zéro, on doil a\ oir
on
donc
= ^-= f f r 2q\ Tt)dq.
Pour appliquer celte expression générale au cas où une partie de la ligne, depuis ar = — a jusqu'à a? = a, e>i uniformément échauffée, toul le reste du solide étanl à la température <>. il faut considérer que le facteur /'• x -+- 2q\Jkt), qui multiplie <~ , a, selon l'hypothèse, une valeur constante i lorsque la quantité qui esl sous le signe de la fonction esl « - • • 1 1 » [ » i- i — t • entre y. et ?.. et que toutes les autres valeurs de
facteur sont nulles. Donc l'intégrale I e~qtdq doit être prise depuis
?.</\/>i~ y. jusqu'à x - ■>.(/ \ki = a. ou depuis Q = -
2 \Jkt
En désignant, comme ci-dessus, par l iî l'inté-
jil-(|ii a ij
grale j > dr prise depuis r= R jusqu'à r . :ao, on aura
Nous appliquerons encore l'équation générale
<• — — / eri i "/ \fkt)dq
.m cas où la barre infinie, échaufféi | ai un foyer d'une intensité constante i . ■ -i parvenue à des températures t i x < ■ - ei se refroidit ensuite
librement dans un milieu entretenu a lu température ". I' ■ cela, il
suffit '!• remarquer que la fonction initiale désignée par/ a équivaut
m THÉORIE DE LA CH VXE1 R.
à g 'N' tanl que la variable x qui esl sous Le signe de fonction es!
positive, et que cette même fonction équivaut à è N ' lorsque la variable qui est affectée du signe /est moindre que zéro. Don.
-x\M-SqJht f . >\ ' , |
la première intégrale doit être prise depuis x + iq\[kt = <» jusqu'à x+iq\[kt = <x>, et la seconde depuis x+2q\fkt = » jusqu'à
a? -I- -iqsjkt = o.
La première partie de la valeur de c esl
v/tt J
ou
— e~ ' V * AH''-*" ^** } *' <■/'/
ou
-Le"** fe^dr,
en taisant r = q + sfht. L'intégrale doit être prise depuis q = ^| jusqu'à ry = », ou depuis r=^ht-^= jusqu'à r== ».
La seconde partie de la valeur de v est
•vl
ou
v/tt ^
J-eVS% fe-"dr,
en faisant r = q-jht. L'intégrale doit être prise
de r= — * à
= oc.
