CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR

< >n ni conclut l'expression suivante :

On a obtenu art. '><>7 l'équation

pour exprimer la l"i de la diffusion de la chaleur dans une barre peu épaisse, échauffée uniformément à son milieu entre les limites données » — x. x = +- x. On avait précédemment résolu la même question en suivant une méthode différente et l'on était parvenu, en supposant a = i . ii l'équation

v = -e~àtl e-i*kicosqxsitig— (art. 348

Pour comparer ces deux résultats, on supposera dans l'un et l'autre o; désignant encore par ^ M et f 11 les mêmes intégrales qu'à l'article 366, on a

MU

D'un aiiii e côté, on doit avoir

t>= -e-'" / e-«**'sin7- 7-

■ ni

vz=.-e~hl I ■ ' ■'/! i —

s . 3 • . ■ . i i Or l'intégrale / i us e/u, prise depuis u <> jusqu'à u », a une

\-l\ THEORIE DE L \ CH \UA R.

valeur connue ; voir l'article suivant : /// étant un nombre entier positif, on a en général

JC" . „ . i 3 5 7 2m— \ i /- 2 2 2 2 2 :

l'équation précédente donne «lune, en faisant q2kt = u2,

2e~/u r" . , / n2 i ît* i k« i \

v = = I e~"' au i 1 i, . . — -— „ . . — — — - — . . . .

TiJktJa V 2-3 kt 2.3.4.5 k2t* 2.3.4.5.G.7 /. / )

V^ L2 V7'' ' 3 \a v'*'/ ' -2 5 V2 \lkt) 1 • 2 • ■ ; s s kl I

Cette équation est la même que la précédente, lorsqu'on suppose a = i.

On voit par là que ces intégrales, que l'on a obtenues par des procèdes différents, conduisent aux mêmes séries convergentes. On parvient aussi à deux résultats identiques quelle que soi t la valeur de x.

On pourrait, dans cette question comme dans la précédente, comparer les quantités de chaleur qui, dans un instant donné, traversent différentes sections du prisme échauffé. L'expression générale de ces quantités ne contient aucun signe d'intégration; mais, sans s'arrêter ii ces remarques, on terminera cette Section par la démonstration du résultai que l'on vient d'employer et la comparaison dv^ différentes lui mes que l'on a données à l'intégrale de l'équation qui représente

la diffusion de la chaleur dans une liene infinie.

De l'équation connue

\/i: = j e-'i~ dq

on conclut celle-ci

\fïf= I e-tt+V'dq,

ou

'" Vn ' l!l: IX. DU I | M, in |,|.; , v ,|| iL£l R ,.,..

a étanl une constante quelconque; on a donc

Ce»e équation a lieu quelle que soit la valeur de a. On peut développer

,e Premier membre; et, parla comparaison des termes, on obtiendra

les valeurs déjà connues de l'intégrale Ce '• <,>><!,,. Cette valeur esi

QU,,e ,ors<ïue " esl '"Pair; el l'on trouve, lorsque n es! u, mbre

pair 2iii,

Pour satisfaire à l'équation

du <)-//

on peut supposera , V, et en général « = e-^; on en déduit facilement art. 364 l'intégrale

" / e **?(*-»- \q\fkt >/>/.

"' "' ,,m',lM>r Prêcédemmenl pour l'intégrale de la même équation I expr< ssion

" = fl|r" 'cosnta:^ate-^'cosnsa „ cos/i3* -+- . . .

• •u celle-ci

' ' "■' a' el "«• "-■• « étant deux séries de constantes

arb,traires. Il- aisé de voir que chacun de ces termes équivaut à

'»•><; THEORIE DE L V Cil \LKl II.

l'intégrale

/ c.- 'i' cos n[x -+- 2 q ^kt ) dq OU

/ e -''' si m // ( x ■+- iq \ ~kt '/'/.

En effet, pour déterminer la valeur de l'intégrale

/ c~'i' sin(.r -+- iq \fkt) dq, on lui donnera la l'orme suivante :

/ <'-''' si n x cos 2 q \Jkt dq -+- I e~i'~ cos x sin iq\ kl dq

ou celle-ci :

I e~? sinaM h - - I dq -4- / e~*COSxl - . , 7=- I dq,

qui équivaut à

+ e-*< co^ / /" eAq-sl=ktYdq - f e~^f^^ dq) .

L'intégrale y er^f-*')* dq, prise depuis q = ~ -x jusqu'à <y = x, est y/ir; on a donc, pour la valeur de l'intégrale (e-*1 sin {oc -h 2.q\jkt) dq,

la quantité \ ~ r A' sin.r, et en général

\Jv: e~"'kt sin«.r = / 'e-?' sin«(a; H- iq\[kl)dq.

On déterminera de la même manière l'intésrrale

o / e~'/s COS « [x -\-2q \'kt) d'/,

t/oo

dont la valeur est \ ïze~n ''' cosnx.