CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR

l'étal «lu solide esl le même » j u t - si elle avail été primitivemenl réunie dans un seul point à l'origine tirs coordonnées. Le temps qui doit s'écouler pourque ce dernier eflel ail lieu esl extrêmemenl grand lorsque les points de la masse sont très éloignés de l'origine. Chacun de ces derniers points, qui avait d'abord la température o, s'échauffe insensiblement; >.i température acquiert ensuite la plus grande valeur qu'elle puisse recevoir ' : et elle fini! par diminuer de plus en plus j ii— «| ii à ce qu'il ne reste dans la masse aucune chaleur sensible. L'étal variable esl en général représenté par l'équation

h b intégrales doivent être prises entre le- limites

B= - ". . '/ li — b%, h - - I' .; C = — C,, C - < .

Les limites -a,, ■+■ a«, -bt, -~l>,, — c,, —<■. sonl données; elles comprennent toute la portion du solide quia été primitive ment échauffée. La fonction/ a, l>. c esl aussi donnée : elle exprime la température initiale du point donl les coordonnées sonl a, b, e. Les intégrations définies font disparaître les variables a, b, e ei il reste pour v une fonction de ' . v. -. ( el des constantes, l'uni' déterminer le temps 0 qui répond au maximum de v, en un point m donné, il faut tirer de l'équation précédente la valeur de ' : "" formera ainsi une équation <|iii contient 8 et les coordonnées du point m. On en pourra dune déduire l.i valeur de 9. Si l'on substitue ensuite cette valeur de 0 au lieu de / dan- l'équation E . on connaîtra la valeur de la plus liante température V exprimée en x, y, s el en constantes. On écrira, au lieu de l'équation E .

v— I l'l'\'J". b,c)dadbdc,

Il ne parait pas certain que la teropératun seul maximum; il pourrait

oir, au moins en certains iule uni - - m de maxima et de mini ma.

G. Ii

en désignant par P le produit des trois (onctions semblables; on aura on suite

dv 3 <• r f r(a-x)*-h(h—y)*-{-(c — z)*,. ...

Il faut maintenant appliquer cette dernière expression aux points du solide qui sont très éloignés de l'origine. Un point quelconque de la portion qui contient la chaleur initiale a pour coordonnées les variables a, b, c; et le point m dont on veut déterminer la température a pour coordonnées se, y, z. Le carré de la distance de ces deux pointest (a — oc)2 -+- (b — y)2 -+- (c — z)2, et cette quantité entre comme facteur dans le second terme de ^-- Or, le point m étant très éloigné de

l'origine, il est évident que sa distance A à un point quelconque de la portion échauffée se confond avec la distance D de ce même point à l'origine; c'est-à-dire que, le point m s'éloignant de plus en plus du foyer primitif qui contient l'origine des coordonnées, la dernière raison des distances D et A est i .

Il suit de là que, dans l'équation (c) qui donne la valeur de ^-> il

faut remplacer le facteur [a — x)2 +■ [b — y)2 -+-(c — :■)- par x2 -t-v2 — :■'ou r-, en désignant par /• la distance du point m à l'origine. On aura donc

j-t =— - 7 + ~ f/fVj\a,b,c)dadbdc,

dt ~ v \4 1* it

K / Si l'on met pour v sa valeur et si l'on remplace i par -^- > afin de rétablir

le coefficient ^ que l'on avait supposé égal à i, on aura