CHAPITRE IX.— DIFFUSION DE I \ CHALE1 R. l'i'i

rn fe K exprime les températures permanentes que prendraienl les

différents points de la barre si l'on affectait l'origine d'une température fixe /'. comme on peul le voir dans le Chapitre I art. 76, p. 55 . Il tant donc, pour se représenter la valeur «le V, concevoir que toute la chaleur initiale que le foyer contient esl également distribuée dans mit' portion de la barre dont la longueur esl b, ou l'unité de mesure. La température foui en résulterait pour chaque point de celte portion est, en quelque sorte, la température moyenne. Si l'on supposait <|ne la tranche placée à l'origine Pût retenue pendant un temps infini à la

température constante y, toutes les autres tranches acquerraient îles

ni températures fixes dont l'expression générale est/e Kè, en désignant

para? la distance de la tranche. Ces températures tixes, représentées par les ordonnées d'une logarithmique, sont extrêmement petites lorsque la distance est im peu considérable; elles décroissent, comme on le sait, très rapidement à mesure que l'on s'éloigne de l'origine. Or l'équation S t'ait voir que ces températures fixes, qui sont les plus hautes que chaque point puisse acquérir, surpassent beaucoup les pins liante- températures qui se succèdenl pendant la diffusion de la chaleur. Pour déterminer ce dernier maximum, il faut calculer la valeur du maximum fixe, la multiplier par le nombre constant

• et diviser par la racine carrée de la distance ce.

Ainsi les plu- hautes températures se succèdenl dan- toute l'étendue

de la ligne comme les ordonnées d'une logarithmique divisées par les

racines carrées des abscisses, el le mouvement de l'onde r-t uniforme.

il suivant cette loi générale que la chaleur réunie en un seul point

se propage dans le sens de la longueur du solide.

Si l'on regardait comme nulle la conducibilité de la surface extérieure du prisme, ou si la conducibilité K ou l'épaisseur ig était supposée infinie, <>n obtiendrait des résultais très différents. On

omettrait alors le terme ' a?2, el l'on aurait

K ' i ,.. \ hl ! • - — ce? el \ — — = — •

CI» x .-e *

Dans ce cas, la valeur du maximum est en raison inverse de la distance; ainsi le mouvement de l'onde ne serait point uniforme. 11 faut remarquer que cette hypothèse est purement théorique et que, si la conducibilité H n'est pas nulle, mais seulement une quantité extrêmement petite, la vitesse de l'onde n'est point variable dans les parties du prisme qui sont très éloignées de l'origine. En effet, quelque petite que soit la valeur de H, si celle valeur est donnée, ainsi que celles de K et g, et si l'on suppose que la distancer augmente sans limite, le

terme ^x2 deviendra toujours beaucoup plus grand que [. Les dis-

tances peuvent d'abord être assez petites pour que ce terme R .r-.loive

être omis sous le radical : alors les temps sont proportionnels aux carrés des distances; mais, à mesure que la chaleur s'écoule dans le sens de la longueur infinie, la loi de la propagation s'altère, et les temps deviennent proportionnels aux distances. La loi initiale, c'est-à-dire celle qui se rapporte aux points extrêmement voisins du foyer, diffère beaucoup de la loi finale qui s'établit dans les parties très éloignées et jusqu'à l'infini; mais, dans les portions intermédiaires, les plus hautes températures se succèdent suivant une loi mixte, exprimée par les deux équations précédentes (C) et (D).

|| nous reste à déterminer les plus hautes températures pour le cas où la chaleur se propage à l'infini et en tout sens dans la matière solide. Cette recherche ne présente aucune difficulté d'après les principes que nous avons établis.

Lorsqu'une portion déterminée d'un solide infini a été échauffée, el que toutes les autres parties de la masse ont la température initiale «». la chaleur se propage dans tous les sens et, après un certain temps.