COS 1 COS » COS

Les coordonnées < . ,v. r son' mesurées sur trois axes rectangulaires, dont l'origine est au centre du cube e( <pii sont perpendiculaires aux faces. Les points de la surface extérieure du solide ont actuellement la température o, et l'on suppose aussi que «les causes extérieures conservent à tous ces points leur température actuelle <>. D'après celte hypothèse, le corps se refroidira de plus en plus; tous les points situés diiiis l'intérieur de la masse auront des températures variables et, après un temps infini, ils acquerront tous la température o de la surface.

Or nous démontrerons par la suite que l'état variable de ce solide -•si exprimé par l'équation

i -' COS ' COS i COS S :

le coefficient gf est égal à ,..> K est la conducibilité spécifique de la

Substance dont le solide e>t formé, D est |;i densité et (] la chaleur spé-

cifique; / est le temps écoulé.

Nous supposons ici que l'on admet la vérité de cette équation, et nous allons examiner l'usage que l'on en doit faire pour trouver la quantité de chaleur qui traverse un plan donne, parallèle a l'un des plans rectangulaires.

Si. par le point m dont les coordonnées sont / . y, z, on mène un plan perpendiculaire aux 5, on trouvera, d'après l'article précèdent,

que la valeur du flux en ce point et a travers le plan est

K ou K cos cosvsin-, os

La quantité de chaleur qui traverse, pendant l'instant <li, un reci . h

THKOKIE DK L\ CHALE1 R.

tangle infiniment petit situé sur ce plan et qui a pour rotes d.r et dy

est

Ke~#' cos.r cos y >in s rfa: <-/>' dt.

Ainsi la chaleur totale qui, pendant l'instant dt , traverse l'étendue entière du même plan est

Ke "*' si i) ; dt //cos.r cosy dx d\ :

la double intégrale étant prise depuis x — — ^tt jusqu'à x = ~~, et

depuis j — — ^-k jusqu'à y = ^û. On trouvera donc pour l'expression

de cette chaleur totale

4Ke e'sinzdt.

Si l'on prend ensuite l'intégrale par rapport à /, depuis l — o jusqu'à / = t, on trouvera la quantité de chaleur qui a traversé le même plan, depuis que le refroidissement a commencé jusqu'au moment actuel.

Cette intégrale est — sins(i — rfl); elle a pour valeur à la surface

— (i — e~gt), en sorte qu'après un temps infini la quantité de chaleur

perdue par l'une des faces est — ■ ■ Le même raisonnement s'appli-

quant à chacune des six faces, on conclut que le solide a perdu par son refroidissement complet une chaleur totale dont la quantité est

— ou 8CD, puisque g- équivaut à ™- Cette chaleur totale qui se dissipe pendant la durée du refroidissement doit être, en effet, indépendante de la conducihilité propre K, qui ne peut influer que sur le plus ou moins de vitesse du refroidissement.

On peut déterminer d'une autre manière la quantité de chaleur que le solide perd pendant un temps donné, ce qui servira, en quelque sorte, à vérifier le calcul précédent. En effet, la masse de la molécule rectangulaire dont les dimensions sont dx, dy, dz est hdxdydz; par conséquent la quantité de chaleur qu'il faut lui donner pour la porter de la température o à celle de l'eau bouillante est CD dxdydz, et, s'il fallait élever la molécule à la température v, cette chaleur excédante serait v CD dxdydz.

CH vi'ITKl. I. INTRODl CTION. 83

Il suit de là que, pour trouver la quantité donl la chaleur du solide surpasse, ;• [ > ri-s le temps /. celle qu'il contiendrai! à la température o, il faut prendre l'intégrale multiple ÇffvCDdxdyds cuire les limites

On trouve ainsi, en mettant pour v sa valeur, savoir

COS ' cos > cos

que l'excès de la chaleur actuelle sur celle qui convient à la température «» es( 8CD i ou, après un temps infini, 8GD, comme on l'a trouvé précédemment.

Nous avons exposé, dans celle Introduction, tous les éléments qu'il est nécessaire dr connaître pour résoudre les diverses questions relatives au mouvement de la chaleur dans les corps solides, et nous avons donne des applications de ces principes afin de montrer la manière de les employer dans le calcul; l'usage le plus important que l'on en puisse taire est d'en déduire les équations générales de la propagation de l.i chaleur, ce qui est l'objet du Chapitre suivant.