M (II

K ','wf// à:

Il est aisé maintenant de généraliser ee résultat et de reconnaître

qu'il a lieu, quel que soit le mouvement varié de la chaleur exprimé

par l'équation

En effet, désignons par x', y , z' les coordonnées du point /// et par v sa température actuelle. Soient x'-\- E, y' -+- r,, :■'-+- 'Ç les coordonnées d'un point ;;. infiniment voisin du point m et dont la température est w; '£, y), C sont des quantités infiniment petites, ajoutées aux coordonnées i',y',z'; elles déterminent la position des molécules infiniment voisines du point m, par rapport à trois axes rectangulaires dont l'origine est en m et qui seraient parallèles aux axes des r, des v et des z. En différentiant l'équation

et remplaçant les différentielles par ;, r,, 'Ç, on aura, pour exprimer la valeur de w qui équivaut à v ■+ dv, l'équation linéaire

, dv' , dv' dv'

«il vri nu-: i. i\ riiom CTION.

les coefficients >.,•,>, sont i ! rs Ponctions tic x, y, s, / dans lester a y oz

quelles on a mis pour r, ) . .-■ les valeurs données el constantes x , y . :■' qui conviennenl au poinl m.

Supposons que le même poinl m appartienne aussi à un solide compris entre six plan- rectangulaires, que les températures actuelles des point- de ce prisme qui a tics dimensions finies soienl exprimées par

l'équation linéaire

.1 \ al l'i,

el que les molécules placées sur les faces qui terminenl le solide soienl retenues par une cause extérieure à la température qui leur esl assignée par l'équation linéaire: ;, r. "' si ml les coordonnées rectangulaires d'une molécule du prisme, donl la température est w, el <|iii est rapportée aux trois axes donl l'origine esl en m.

Cela posé, si Ton prend pour valeurs des coefficients constants A, a, !>,'■, qui entrent dans l'équation relative au prisme, les quantités v', -i ' qui appartiennent à l'équation différentielle, l'étal du prisme exprime par l'équat ion

, dv' dv' dv'

coïncidera, le pins qu'il est possible, avec l'étal du solide; c'est-à-dire que toutes les molécules infiniment voisines <ln point /// auront la même température, soil qu'on les considère dans le solide <m dans le prisme. Cette coïncidence du solide el <ln prisme est entièrement analogue a celle des surfaces courbes avec les plan- qui les touchent. Il esl évident, d'après cela, que la quantité de chaleur qui s'écoule

dall- le -idole a tr.i\m- le rende bi, pendant l'ilistaiil <ll , t'-l la même

que celle <)ni s'écoule dans le prisme à travers le même cercle; car toutes les molécules donl l'action concourt à l'un el à l'autre effet ont la même température dans les deux -idoles. Donc le flux donl il s'agil ;i pour expression, dans l'un el l'autre solide, — K , <■></>. Il sérail K , >■,<//. si le cercle <■> donl le centre esl m étail perpendiculaire à

80 THÉORIE DE L \ Cil M.K

l'axe dt's y, et - K j-todi si ce cercle étail perpendiculaire à l'axe

des .r.

La valeur du ilux que l'on vient de déterminer varie dans le solide d'un poinl à un autre, et elle varie aussi avec le temps. On pourrait concevoir qu'elle a, dans tous les points de l'unité de surface, la même valeur qu'au point m et qu'elle conserve celte valeur pendant l'unité

de temps; alors le flux serait exprimé par — K- -> il sciait -Kj-

dans le sens des y et — K -- dans celui des x. Nous employons ordinairement dans le calcul cette valeur du flux ainsi rapportée à l'unité de temps et à l'unité de surface.

Ce théorème sert, en général, à mesurer la vitesse avec laquelle la chaleur tend à traverser un point donné d'un plan, situé d'une manière quelconque dans l'intérieur d'un solide dont les températures varient avec le temps. Il faut, par le point donné m, élever une perpendiculaire sur le plan et élever en chaque point de cette perpendiculaire des ordonnées qui représentent les températures actuelles de ses différents points. On formera ainsi une courbe plane dont l'axe des abscisses est la perpendiculaire. La fluxion de l'ordonnée de cette courbe, qui répond au point m, étant prise avec un signe contraire, exprime la vitesse avec laquelle la chaleur se porte au delà du plan. On sait que cette fluxion de l'ordonnée est la tangente de l'angle formé par l'élément de la courbe avec la parallèle aux abscisses.

Le résultat que l'on vient d'exposer est celui dont on fait les applications les plus fréquentes dans la Théorie de la chaleur. On ne peut en traiter les différentes questions sans se former une idée très exacte de la valeur du flux en chaque poinl d'un corps dont les températures sont variables. Il est nécessaire d'insister sur cette notion fondamentale; l'exemple que nous allons rapporter indiquera plus clairement l'usage que l'on en fait dans le calcul.

Cil VIMTKI. I. - INTRODI CTION. si

Supposons que les différents points d'une masse cubique, dont le côté fsi jt, aient actuellement des températures inégales, représentées par réquation