CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR. Vil
el la somme de tous les autres termes par v, on a évidemmenl
du
Il reste donc à trouver la valeur de y.. Or la fonction / / peul être ainsi exprimée, au moyen de l'équation générale (B) :
/ / x)da j cosp(l — a)dp
Il est facile d'en déduire les valeurs îles fonctions
.' '■), fiy(t), /v,(0
Il esl évident que la diiférentiation se réduit à écrire dans le second membre de l'équation H , >ous le signe / <//>, les facteurs respectifs
On aura donc, en écrivant une seule fois le facteur commun
sp( t — a ) ,
■j — / f\ y.'hx I dpcosp(t-a)
pi .1 ■ //\r8 ///'-
Ainsi la question consiste à trouver la somme de la série qui entre dans le second membre, ce qui ne présente aucune difficulté. En effet, soit y la valeur de cette série : on en conclut
Intégrant cette équation linéaire, el déterminant les constantes arbi-
traires en sorte que, ./■ étant nulle, y soit 1, el -j-j -f ■ f/ soient nulles, 'm trouve, pour la somme de la série,
492 THÉORIE DE I- \. Cil M. Kl R.
Il sérail inutile de rapporter le détail de ce calcul; il sullii d'en énoncer le résultat, qui donne pour l'intégrale cherchée
.. \v -:..- f f(a)d<xj [cos2qi(t — z){e'ix-ire-''x)cos'j/x
\ — siïl2qi(t — a) (e?x — e~''x) singx'jq dq -r- \\ .
Le terme W est la seconde partie de l'intégrale; on le forme en intégrant la première partie par l'apport k ce, depuis x = o jusqu'à x — x, et en changeant / en F. Sous cette forme, l'intégrale contient deux fonctions entièrement arbitraires, f(i) et F(/). Si, dans la valeur de v% on suppose oc nulle, le terme W devient nul par hypothèse, et la première partie // de l'intégrale devient /(/). Si l'on fait la même substitution x — o dans la valeur de ^— > il est évident que la première partie -s- deviendra nulle, et que la seconde -> qui ne diffère de la première
que par la fonction F placée au lieu de/, se réduira à F(/). Ainsi l'intégrale exprimée par l'équation (j3{3) satisfait à toutes les conditions, et elle représente la somme des deux séries qui forment le second membre de l'équation (X) (').
C'est cette forme de l'intégrale qu'il est nécessaire de choisir dans plusieurs questions de la Théorie de la chaleur; on voit qu'elle est très différente de celle qui est exprimée par l'équation (J3) (art. 397 .
On peut employer des procédés de calcul très variés pour exprimer en intégrales définies les sommes des séries qui représentent les inté-
(!) On peut retrouver l'intégrale donnée ici par Fourier en suivant une autre méthode, dont cette partie de l'Ouvrage contient déjà plusieurs applications. Si l'on cherche des solutions particulières de l'équation
dv d^v
{a) Tt = d^
qui soient de la forme
A cospt + II siapt,
A et B dépendant exclusivement de .r, on est conduit par un calcul facile aux quatre soin-
