CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHU. Kl R

Désignanl par m cette première partie de l'intégrale, el par W la seconde, qui doil contenir une autre fonction arbitraire, on a

\\ / // ,lt cl > h W .

Si l'on désigne par \x ci v deux nouvelles indéterminées, telles que

l'on ail

el que l'on substitue pour x, 3, r/z. rffî leurs valeurs (•il aura cette nuire forme de l'intégrale

/ il j I mu fj ' / . i >;/ N7, i >v N / rfy W .

Nous ne pourrions multiplier davantage ces applications de nos formules sans nous écarter de notre sujel principal. Les exemples précédents se rapportent à des phénomènes physiques dont les lois étaient inconnues el difficiles à découvrir; et nous les avons choisis parce que le> intégrales de ces équations, que l'on avail inutilement cherchées jusqu'ici, ont une analogie remarquable avec celles qui expriment le mouvement de la chaleur.

On peut aussi, dan- la recherche des intégrales, considérer d'abord

le- -eue- développées selon les puissances d'une variable, el sommer

ces séries au moyen des théorèmes exprimés par les équations VB),

\\\\ . Voici un exemple de cette analyse, choisi dan- la théorie même

de la chaleur, et qui nous a paru remarquable.

on a vu art. o'.»'.». p. J66 que la valeur générale de v, déduite de l'équation

développée en série selon les puissances croissantes de la variable /, contient une seule fonction arbitraire de a?; et qu'étant développée en série selon les puissances croissantes de x, elle contient deux fonctions entièrement arbitraires de /.

La première série est ainsi exprimée :

(T) <> = oU) + ;?"(.r) + ^,YW + A?VIW+----

L'intégrale désignée par (fi) (art. 397, p. 463), ou

((3) i>=—- ^(y.)dy.l e~i'H cosp(x— y.) dp,

*J — x *^ — oe

représente la somme de cette série, et contient la seule fonction arbitraire <p(a?).

La valeur de v, développée suivant les puissances de x, contient deux fonctions arbitraires/^) et F(£), et est ainsi exprimée :

Il y a donc, indépendamment de l'équation ([3), une autre forme de l'intégrale, qui représente la somme de cette dernière série et qui contientdeux fonctions arbitraires, /(/) etF(/). Il s'agit de découvrir cette seconde intégrale de l'équation proposée, qui ne peut être plus générale que la précédente (fi), mais qui contient deux fonctions arbitraires.

On y parviendra en sommant chacune des deux séries qui entrent dans l'équation (X). Or il est évident que, si Ton connaissait en Jonction de x et L la somme de la première série qui contient / / , il faudrait, après l'avoir multipliée par dx, prendre l'intégrale par rapport à x, et changer /(t) en V(t). On trouverait ainsi la seconde série. De plus, il suffirait de connaître la somme des termes de rang impair qui entrent dans la première série; car, en désignant cette somme par fit.,