COS

ur x = o.

Maintenant, si dans l'équation (E de la page |o8,

i "*" rx

j J ■ I Ifife / COS/)(t — 7. \ffp,

>>n remplace p par k/'-, on a

- I J ' du j C032ql i j j.l i

Si donc "ii considère l'intégrale double

/ /(«)<** / "/ f-<]-*-e-?*cos[— qx + 2 q* (< — a)]j qdq.

eOe se réduira à /(/) pour .r = o et sera évidemment une fonction paire de r. Comme elle est d'ailleurs une somme de solutions particulières de l'équation (a), elle satisfera égalemen équation.

sidérons de même l'intégrale

> V- / I ;- /: / /'-"Mu y' ■ i$ -/ -c — e -'/■«■ si ni q* >/ i 1''/'/

Pour la même raison elle satisfait à l'équation (a), ci elle est d'ailleurs une fonction impaire de i B'annulanl pour i = o.

Si l'on prend sa dérivée par rapport â r, on trouve qu'elle se réduit, pour i ... .,

^ / Fl V. r/z ^ ni-7'/-' < 2 i y -A/.

i ..'il vertu de l'équation i C i. Si l'on prend

// représentera la - imme de la première ligne de la série \ el w la sommede la - nd<

ligne. G |,

de ce calcul en rappelant le résultat de l'article 311 (p. 343). Si, <lan> l'équation qui termine cet article, on écrit x -+- tsinu sous le signe de Innction o, on a

Jg(j + / sinw) du = 'j(oc) H ; o" (x) h ;— tt o" (x) — . . . .

Désignant par v la somme de la série qui forme le second membre, on voit que, pour faire disparaître dans chaque terme un des facteurs 22, y-, . .. qui terminent le dénominateur, il faut différentiel' une fois par rapport à /, multiplier le résultat par /, et différentiel' une seconde fois par rapport à /. On conclut de là que v satisfait à l'équation aux différences partielles

d*v i àfdv\ ()-v d'v i ôi-

dx% ~ t dt\ dt) °U <)'- ~ ()i! t <n'

On a donc, pour exprimer l'intégrale de cette équation, v = — I o(x -+- 1 sin n ) du + W.

La seconde partie W de l'intégrale contient une nouvelle fonction arbitraire. La forme de cette seconde partie W de l'intégrale diffère beaucoup de celle de la première, et pourrait aussi être exprimée en intégrales définies. Les résultats que l'on obtient au moyen des intégrales définies varient selon les procédés de calcul dont on les déduit, et selon les limites des intégrales. On peut dire, en général, que ces recherches n'ont point un but assez déterminé lorsqu'on les sépare des questions physiques auxquelles elles se rapportent.

Il est nécessaire d'examiner avec soin la nature des propositions générales qui servent à transformer les fonctions arbitraires : car l'usage de ces théorèmes est très étendu et l'on en déduit immédiatement la solution de plusieurs questions physiques importantes, que