CHAPITRE l\. DIFFUSION DE LA CHALEUR. .V2I

règle précédente, satisfonl toujours à cette condition qu'une valeur ilr x comprise entre <> et \ donne le même résultat, étanl substituée * 1 ;* ii —> ç. v el dans le second membre de l'équation : .

F i représente la température initiale de la couche sphérique donl le rayon esl > . ( >n pourrai! supposer, par exemple, que l'on a F x bx,

st-à-dire que la chaleur initiale croîl proportionnellement ii la distance, depuis le centre, où elle est nulle, jusqu'à la surface, où elle est bX. Dans ce cas, i F c ouf(a esl égale a.bx2\ en appliquante cette fonction la règle qui détermine les coefficients, on développerail li i' en une suite de termes, tels que

Or chaque terme siny... -r. étanl développé selon les puissances de x, ne contient que des puissances de rang impair, et la fonction /> >- r-i une puissance de rang pair. Il esl très remarquable que cette fonction bx2, désignant une suite de valeurs données pour l'intervalle de o à \. puisse être développée en une suite < h- termes, tels que

'/, Mil y

Nous avons déjà prouvé l'exactitude rigoureuse de ces résultats, qui ne s'étaient point encore présentés dans l'Analyse, el nous avons montre le véritable sens des propositions qui les expriment. On ;i vu, par exemple, dans l'article 22\ p. 21 ï que la fonction cos# esl développée en une suite de sinus d'arcs multiples; en sorte que, dans l'équation qui donne ce développement, le premier membre ne contient que des puissances paires de la variable el le second ne contienl que des puissances impaires. Réciproquement, la fonction sina?, où il n'entre que des puissances impaires, esl résolue art. 1 2.">. p. 217 en une suite <lr cosinus, qui ne contiennent que les puissances paires.

I);iiis la question actuelle relative à la sphère, la valeur de cF 1 esl développée au moyen de l'équation e . Il faul ensuite, comme on le voit art. 290, p. h 1 . écrire dans chaque terme le facteur «\|minentiel, qui contient t. et l'on a, pour exprimer la température 1 . qui

522 THÉORIE DE LA Cil VLEUR.

est une fonction de x et /. l'équation

/ y. Y (y.) si 11;/, y. da.

(E) ./ c =%e~AK' sin/j.,.' ' — ^— — •

La solution générale que donne celte équation (E) est totalement indépendante de la nature de la fonction F(a?), parce que cette fonction ne représente ici qu'une multitude infinie de constantes arbitraires, qui répondent à autant de valeurs de x comprises entre o el X.

Si l'on supposait la chaleur primitive contenue dans une seule partie de la sphère solide, par exemple depuis x = o jusqu'à x = {X, et que les températures initiales des couches supérieures fussent nulles, il suffirait de prendre l'intégrale

/ si il y., y /{ y) dy

entre les limites x = o et x = .', X.

En général, la solution exprimée par l'équation E) convient à tous les cas, et la forme du développement ne varie point selon la nature de la fonction.

Supposons maintenant que, avant écrit sin.r au lieu de F c , on ait déterminé par l'intégration les coefficients a, et que l'on ait forme l'équation

x sin.r — at sinfjt,^ -+- a2 sinjju.r H- a:i s'ivr^x -+-. . . -

Il est certain qu'en donnant à x une valeur quelconque comprise entre o et X, le second membre de celte équation équivaut à .rsinr: c'est une -conséquence nécessaire de notre calcul. Mais il ne s'ensuit nullement ([n'en donnant à x une valeur non comprise entre o et X, la même égalité aura lieu. On voit très distinctement le contraire dans les exemples que nous avons cites; et, si l'on excepte les cas particuliers, on peut dire que la fonction, assujettie à une loi continue, qui formerait le premier membre des équations de ce genre ne coïncide