CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR

attribuées à v\ nous composons l'équation générale e d'un nombre n de termes, en sorte qu'il \ entre n coefficients inconnus

Cela posé, cette équation i représente les n équations du premier degré que l'on formerai! en y mettant successivement, au lieu de oc, -e- ii valeurs

dx, a dx, 3 dx // dx.

Ce système de n équations contient dans la première fK , dans la

seconde,/*,, dans la troisième/!, dans la //""'/',. Pour déterminer

le premier coefficient a,, on multiplie la première équation par <rit la

mde par ja, la troisième par -y,, ainsi de suite, et l'on ajoute ensemble les équations ainsi multipliées. Les facteurs a,, o-2, a3, ... ,

loivent être déterminés par cette condition que la somme de tous les termes des seconds membres qui contiennent <i , soit nulle, et qu'il

en soil de même pour i<»ns 1rs coefficients suivants a3, aA an.

Donc, toutes les équations étant ajoutées, le coefficient a, entre seul dans le résultat, et l'on a une équation pour déterminer ce coefficient. Ensuite, on multiplie de nouveau touto les équations par d'autres

facteurs respectifs :,. :.. p ;,. et ces facteurs sont déterminés

en sorte qu'en ajoutant 1rs n équations, tous les coefficients soient éliminés excepté >/,. On a donc une équation pour déterminera,. On continue des opérations semblables, et, choisissant toujours de nouveaux facteurs, on détermine successivement Ions les coefficients inconnus. Or il est manifeste que ce procédé d'élimination est précisément celui qui résulte de l'intégration entre les limites <> h X. La série tx,, t. t 7 des premiers facteurs est

-in ■) da dx, sin 'y,-/' dx s\n(n[xldx)dx.

En général, la série des facteurs qui servent à éliminer ions les coefficients, excepté a . est

sin y -li dx, sin • >■ .</' dx, ..., sin >> > da \dx\

518 THEORIE DE I. V Cil WAA 11.

elle esl représentée par le terme général >iny.( r r/.r, dans lequel nu donne successivement à x huiles les valeurs

dx, ■>. dx, 3 dx, .... utli.

On voil par là que le procédé <|ui nous sert ii déterminer les coefficients ne diffère en rien du calcul ordinaire de L'élimination dans les équations du premier degré. Le nombre n des équations est égal à celui des quantités inconnues «,, a2, a3, ..., an, et le même que le nombre des quantités données /*,, /.,, f3, . . . , /„. Les valeurs trouvées pour les coefficients sont celles qui doivent avoir lieu pour que les n équations subsistent à la fois, c'est-à-dire pour que l'équation (i) subsiste lorsqu'on donne à x une de ces // valeurs comprises entre <> et X; et, comme le nombre n est infini, il s'ensuit que le premier membre /( x) coïncide nécessairement avec le second, lorsque la valeur x substituée dans l'un et l'autre est comprise entre o et X.

La démonstration précédente ne s'applique pas seulement aux développements dont la forme est

«, sinp.,./- -+- a. 2 sin/j..,.* -+- a3 sinp3.r +- . . . ■+- ae sin,u, a :

elle convient à toutes les fonctions o([j.(,%-) que l'on pourrait substituer à sinij^.r en conservant la condition principale, savoir que l'intégrale

I cp([XiX)y(}Xjx)dj

ait une valeur nulle lorsque ietj sont des nombres différents. Si l'on propose de développer f{ x) sous cette forme

/(x) = a -f- al cosj" + at COS2 x -+-... + «, cosix -+- . . . -+- è| sina; -+■ bis\n2x + . . .-h biSinix i ....

les racines y.,, u... [x3 a,, ... seront des nombres entiers et, la

condition

rs x x

I cn->-/ COS2 7Ty y«j ~°

' Il M'I I I ; I IV DM I l >K>\ DE I. \ (Il M ri li. 519

ayant toujours lieu lorsque les indices i ci j sonl des nombres différents, on obtient, en détcrminanl les coefficients a . b . l'équation générale 11 art. 1\\. p. •• ïi qui ne diffère pas de l'équation \

art. ils. p. '"' • .

Si l'on omettait dans le second membre de l'équation e un ou plusîeurs des termes qui répondent à une ou plusieurs racines y-, de l'équation /), l'équation : ne serait pas vraie en général. Pour s'en convaincre, supposons qu'un terme contenant y., ci al ne soit [mini écrit dans le second membre de l'équation < . on pourrait multiplie] respectivement le- // équations par les facteurs

-in . -m '/./■, . . . , sin i fjij n dx)dœ,

ci, eu le- ajoutant, la somme de tous les termes des seconds membres

it nulle : en -m te qu'il ne resterait aucun des coefficients inconnus.

Le résultat formé de L somme de- premiers membres, c'est-à-dire la

somme >\<^ valeurs y, . / ,. f. /'„. multipliées respectivement par

les facteurs

-m j d i /■•. -in y • d 1 • d '. ..., si n( y., // '/' i '//-,

-c réduirait a zéro. Il faudrait par conséquent que cette relation existât

en lie les quantités données y,, f2, J ■ ./',. «•! l'on ne pourrait point

le- considérer comme entièrement arbitraires, ce qui est contre l'hypothèse. Si ces quantités /, . /*„ ont des valeurs quelconques,

la relation dont il s'agit ne subsiste point, et l'on ne pourrait pas satisfaire aux conditions proposées en omettant un un plusieurs tenues tels <|inw/ -in v. i dans l'équation < . Donc, la fonction f[x demeurant indéterminée, c'est-à-dire représentant le système d'un nombre infini de constantes arbitraires qui correspondent a de- valeurs di comprises entre <> et V il est nécessaire d'introduire dan- le second membre de l'équation t ion- les termes hd- que << , sin y-, >\ qui satisfont a la cond ition

520 THEORIE DE L \ CH M. Kl R.

les indices i ci j étant différents; mais s'il arrivait que la fonction./ a

fût telle que les // grandeurs fit/2, /■ /„ eussent entre elles celle

relation exprimée par l'équation

-ill y.j X f\ X i il r = o,

il e>t évident que le terme (tjs\nu.rr pourrait être omis dans l'équation (<?).

Ainsi, il y a plusieurs classes de fonctions f{x dont le développement, représenté par le second membre de l'équation (s), no contient pas certains termes correspondants à quelques-unes des racines [X. Il y a, par exemple, des cas où l'on doit omettre tous les termes dont l'indice est pair, et nous en avons vu divers exemples dans le cours de cet Ouvrage. Mais cela ne peut avoir lieu si la fonction f(x) a toute la généralité possible. Dans tous les cas, on doit supposer le second membre de l'équation (e) complet, et le calcul fait connaître les termes qui peuvent être omis parce que leurs valeurs deviennent nulles.

On voit clairement par cet examen que la fonctionna?) représente,

dans notre analyse, le système d'un i bre n de quantités séparées,

correspondantes aux n valeurs de x comprises entre o et X, et que ces n quantités ont des valeurs actuelles, et par conséquent non infinies. choisies à volonté. Toutes pourraient être nulles, excepte une seule dont la valeur serait donnée.

Il pourrait arriver que la série de ces // valeurs/,, /,. f. /„ fut

exprimée par une fonction assujettie à une loi continue, telle que x, .*■-, sina?, cosoc, ou en général y ■*' : alors la ligne courbe dont les ordonnées représentent les valeurs correspondantes aux abscisses x, cl qui est placée au-dessus de l'intervalle de t t = o à x = X, se confond dans cet intervalle avec la courbe dont l'ordonnée est -, .<■ . et les coefficients a,, «,, a31 ..., an de l'équation (e), déterminés par la