CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR

sont point seulement des expressions générales qui satisfonl aux équations différentielles : elles représentent de la manière la plus distincte l'effet naturel, qui est l'objet de la question. C'est cette condition principale i|in' nous a\ > >n > eue toujours en vue, et sans laquelle les résultats «lu calcul ne nous paraîtraient que des transformations inutiles. ! orsque cette condition est remplie, l'intégrale est, à proprement parler, l'équation du phénomène ; elle en exprime clairement le caractère et le pros, '!«' même que l'équation Unie d'une ligne ou d'une surface courbe fait connaître toutes les propriétés de ces ligures. Pour découvrir ces solutions, nous ne considérons point une seule forme de l'intégrale; nous cherchons à obtenir immédiatement celle qui est propre à la question. C'est ainsi que l'intégrale (|iii exprime le mouvement de la chaleur dans une sphère d'un rayon donné est très différente de celle qui exprime ce mouvement dan- un corps cylindrique, ou même dans une sphère d'un rayon supposé infini. Or chacune de ces intégrales a une forme déterminée, qui ne peut pas être suppléée par une autre. Il est nécessaire d'en faire usage si l'on veut connaître la distribution de la chaleur dans le corps dont il s'agit. En général, on ne pourrait apporter aucun changement dans la forme de nos solutions sans leur faire perdre leur caractère essentiel, qui <•>! de représenter 1rs phénomènes.

diverses intégrales pourraient être déduites les unes des autres; car elles ont la même étendue. Mais ces transformations exigent de longs calculs et supposent presque toujours < | n <> la forme des résultats est connue d'avance. <>n peut considérer, en premier lieu, des corps dont les dimensions -"ni finies et passer de cette question à celle qui se rapporte à un solide non terminé. On substitue alors une intégrale définie à la somme désignée par le signe — . C'est ainsi que les équations y. ■•( ) . rapportées au commencement de cette Section, dépendent l'une '\f l'autre. La première devient la seconde lorsqu'on suppose le rayon I! infini. <>u peut réciproquement déduire de cette seconde équation ) les solutions relatives aux corps <\r dimensions limitées.

526 THÉORIE DE L \ Cil M. Kl H.

En général, nous avons cherché à obtenir chaque résultai par la voie la plus courte. Voici les éléments principaux de la méthode que mois avons suivie :

i" On considère à la fois la condition générale donnée par l'équation aux différences partielles e( toutes les conditions singulières qui déterminent entièrement la question; el l'on se propose de former l'expression analytique qui satisfait à toutes ces conditions.

2" On reconnaît d'abord que cette expression contient un nombre indéfini de termes où il entre des constantes inconnues, ou qu'elle équivaut à une intégrale où se trouvent une ou plusieurs (onctions arbitraires. Dans le premier cas, c'est-à-dire lorsque le terme général est affecté du signe ]S, on déduit des conditions spéciales une équation transcendante déterminée, dont les racines donnent les valeurs d'un nombre infini de constantes.

Le second cas a lieu lorsque le terme général devient une quantité infiniment petite; alors la somme de la série se change en une intégrale définie.

3° On peut démontrer par les théorèmes fondamentaux de l'Algèbre, ou même par la nature physique de la question, que l'équation transcendante a toutes ses racines réelles el en nombre infini.

4° Dans les questions élémentaires, le tenue général est formé de sinus ou cosinus; les racines de l'équation déterminée sont des nombres entiers, ou des quantités réelles el irrationnelles : chacune d'elles est comprise entre deux limites déterminées.

Dans les questions plus composées, le terme général est formé d'une fonction implicitement donnée au moyen d'une équation différentielle, intégrable ou non. Quoi qu'il en soit, l'équation déterminée subsiste: elle a toutes ses racines réelles el en nombre infini, ('elle distinction des parties dont l'intégrale doit être composée est très importante, parce qu'elle fait connaître clairement la forme de la solution el les relations nécessaires entre les coefficients.

V' Il reste à déterminer les seules constantes qui dépendent de l'étal initial, ce qui se fait par l'élimination des inconnues dans un nombre

« "I M'1 I IM: IX. DM II M«)\ DE LA € : II VI. Kl R. 527

il,,im d'équations du premier degré. On multiplie l'équation qui se rapporte à l'état initial par un facteur différentiel, el l'on intègre entre des limites définies, qui sonl le plus souvenl celles du solide où le mouvement s'accomplit.

Il 3 a des questions pour lesquelles nous avons déterminé les coefficients par des intégrations successives, comme on le verra dans le Mémoire qui a p >ur objel la température des habitations. Dans ce cas, on considère les intégrales exponentielles qui conviennenl à l'étal initial «In solide infini; car il esl facile d'obtenir ces intégrales.

Il résulte des intégrations que tous les termes du second membre disparaissent, excepté celui donl on veul déterminer le coefficient. n'",N la ra,eur ,|'' ce coefficient, le dénominateur ne devient jamais

nul' rl 1'"" obtient toujours une intégrale définie d les limites sonl

ce,,es ''" soIide el donl un des fan, mus est la fonction arbitraire qui convient à l'étal initial. Cette forme du résultai esl nécessaire, parce ,l"«' ''• mouvement variable qui esl l'objet de la question se compose de tous ceux q"i auraient lieu séparément si chaque point du solide était seul échauffé el que la température initiale de ions les autres fût nulle.

Lorsqu'on examine avec soin ce procédé d'intégration qui sert à déterminer les coefficients, on voit qu'il contient une démonstration complète, el qu'il montre très distinctement la nature des résultats; ''" v,,,','• T1"'1 n'est nullement nécessaire de les vérifier par d'autres calculs.

1:1 P,ns remarquable des questions que nous ayons exposées jusqu'ici, ''i la plus propre à faire connaître l'ensemble de notre analyse, es' celle du mouvement variable de la chaleur dans un corps cylindrique. Dans d'autres recherches, la détermination des coefficients exigerait des procédés de calcul que nous ne connaissons point encore.

M;"^ l! '•",l remarquer que l'on peut touj 's, -ans déterminer les

valeurs des coefficients, acquérir une connaissance exacte de la ques- ,l"" el de la marche naturelle du phénomène qui en esl l'objet; la considération principale esl celle des mouvements nmpU t.

THEORIE DE l.\ Cil \I.Kl li.

6° Lorsque l'expression cherchée contienl une intégrale définie, on détermine les fonctions inconnues placées sous le signe / , soit par les théorèmes que nous avons donnés pour exprimer les fonctions arbitraires en intégrales définies, soit par un procédé plus composé, donl on trouvera divers exemples dans la seconde Partie.

Ces théorèmes s'étendent à un nombre quelconque de variables. Ils appartiennent en quelque sorte à une méthode inverse d'intégration définie : car ils servent à déterminer sous les signes / et ]L des fonctions inconnues qui doivent être telles que le résultat de l'intégration soi! une fonction donnée.

Les mêmes principes s'appliquent à diverses autres questions de Géométrie, de Physique générale ou d'Analyse, soit que les équations contiennent des différences finies ou infiniment petites, soit qu'elles comprennent les unes et les autres.

Les solutions que l'on obtient par celte méthode sont complètes cl consistent dans des intégrales générales. Aucune autre intégrale ne peut avoir plus d'étendue. Les objections qui avaient été proposées à ce sujet sont dénuées de tout fondement; il serait aujourd'hui superflu de les discuter.

70 Nous avons dit que chacune de ces solutions donne Véquation propre du phénomène , parce qu'elle le représente distinctement dans toute l'étendue de son cours, et qu'elle sert à déterminer facilement en nombre tous les résultats.

Les fonctions que l'on obtient par ces solutions sont donc composées d'une multitude de termes, soit finis, soit infiniment petits; mais la forme de ces expressions n'a rien d'arbitraire : elle est déterminée par le caractère physique du phénomène, (l'est pourquoi, lorsque la valeur de la l'onction est exprimée par une série où il entre des exponentielles relatives au temps, il est nécessaire que cela soit ainsi, parce que l'ellèl naturel dont on recherche les lois se décompose réellement en parties distinctes, correspondantes aux différents termes de la série. Ces parties expriment autant de mouvements simples compatibles avec les conditions spéciales; pour chacun de ces mouvements, toutes les tempéra-