CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR

tures décroissenl en conservant leurs rapports primitifs. On ne doil pas voir dans cette composition un résultai de l'Analyse, dû à la seule forme linéaire des équations différentielles, mais un effel subsistant,

<|iii devient sensible dans 1 os expériences. Il se présente aussi dans les

questions dynamiques où l'on considère les causes qui anéantissent le mouvement; mais il appartient nécessairement à toutes les questions

de la théorie de la chaleur, et il détermine la liât lire de la méthode que nOUS avons suivie pour les résoudre.

La théorie mathématique de la chaleur se forme : i" de la définition exacte de tous les éléments du calcul : a0 des équations différentielles; I des intégrales propres aux questions fondamentales. On peut arriver aux équations par plusieurs voies; on peut aussi obtenir les mêmes intégrales, ou résoudre d'autres questions, en apportant quelque changement d,ui> la marche du calcul. Nous pensons que ces recherches ne constituent point une méthode différente de la nôtre; mais elles confirment et multiplient les résultats.

90 On avait objecte ;ui sujet de notre analyse que, les équations transcendantes qui déterminent les exposants ayant des racines imaginaires, il serait nécessaire d'employer les termes qui en proviennent. et qui indiqueraient dans une partie du phénomène le caractère périodique : mais cette objection n'est point fondée, parce que les équations dont il s'agit ont. en ell'et, toutes leur- racines réelles, et qu'ail-

cune partie du phénomène ne peut être périodique.

io° On avait allégué que, pour résoudre avec certitude les questions de ce genre, il est nécessaire de recourir dans tous les cas à une certaine forme de l'intégrale, que l'on désignait connue générale; et l'on

proposait, sous cette dénomination, l'équation [y] de l'article 398; mais cette distinction n'est point fondée; et l'usage d'une seule intégrale n'aurait pour effet, dans plusieurs cas, que de compliquer le calcul sans nécessité. Il est d'ailleurs évident que cette intégrale (y) se

déduit de celle que non- avoii- donnée en 1807 pour déterminer le

mouvement de la chaleur dans une armille d'un rayon déterminé R; il suffît de donner a H une valeur infinie.

530 THEORIE DE L \ Cil M. Kl R.

i i" On a pense que la méthode qui consiste à exprimer L'intégrale par une suite «le termes exponentiels, et à déterminer les coefficients au moyen de l'étal initial, ne résout point la question relative à un prisme qui perd inégalement sa chaleur pur ses deux extrémités; ou que, du moins, il serait très difficile de vérifier ainsi la solution que Ton déduit, de l'intégrale (y) par de longs calculs. On reconnaîtra par un nouvel examen que notre méthode s'applique directement ;i cette question, et qu'il suffit même d'une seule intégration.

i'ï' Nous avons développé en séries de sinus d'ares multiples des fonctions qui paraissent ne contenir que des puissances paires de la variable, par exemple eos.r. Nous avons exprimé par des suites convergentes, ou en intégrales définies, des parties séparées de diverses fonctions ou des fonctions discontinues entre certaines limites, par exemple celle qui mesure l'ordonnée dans un triangle. Nos démonstrations ne laissent aucun doute sur l'exacte vérité de ces équations.

i3° On trouve dans les Ouvrages de tous les géomètres des résultats et des procédés de calcul analogues à ceux que nous avons employés. Ce sont des cas particuliers d'une méthode générale, qui n'était point encore formée cl qu'il devenait nécessaire d'établir, pour connaître, même dans les questions les plus simples, les lois mathématiques de la distribution de la chaleur. Cette théorie exigeait une analyse qui lui est propre, et dont un élément principal est l'expression analytique des fonctions séparées, ou des parties de fonctions.

Nous entendons par fonction séparée, ou partie de fonction, une fonction j'[. r) qui a des valeurs subsistantes lorsque la variable v est comprise entre des limites données, cl dont la valeur est toujours nulle si la variable n'est pas comprise entre ces limites. Celte fonction mesure l'ordonnée d'une ligne qui comprend un arc fini d'une forme arbitraire et se confond avec l'axe (\v> abscisses dans (ont le reste de son cours.

Celle notion n'esl poinl opposée aux principes généraux du ("aïeul; on pourrait même en trouver les premiers fondements dans les écrits de Daniel Bernoulli, de Glairaut, de Lagrange et d'Euler. Toutefois on

I HAP1 I Kl. I\. DIFF1 >h>\ DE I. \ CH Mil R. 531

a\;ni regardé comme manifestemenl impossible d'exprimer en séries de sinus ,| arcs multiples, ou ilu moins en séries trigonométriques convergentes, une fonction qui n'a de valeurs subsistantes que si celles de la \;ni;il)l»' sonl comprises entre certaines limites, el donl toutes !<•> autres valeurs seraient nulles. Mni> >-c point d'analyse esl pleinement éclairci; et il demeure incontestable que les fonctions séparées, ou parties de fonctions, sonl exactement exprimées par des séries trigonométriques convergentes, ou par des intégrales définies. Nous avons insisté mu cette conséquence ili's l'origine il<' n<>^ recherches jusqu'à ce jour, parce qu'il ne >';iL;it point ici d'une question abstraite el isolée,

mais d un< nsidération principale, intimement liée aux applications

les plus utiles el les plus étendues. Rien ne nous a paru plus propre que les constructions géométriques à démontrer la vérité de ces nouveaux résultats, et à rendre sensibles les formes que l'Analyse emploie pour les exprimer.

i i" Les principes qui nous ont servi ii établir la théorie analytique de la chaleur s'appliquent immédiatement à la recherche «lu mouvement ilc> ondes dans les liquides donl une partie ;i été agitée. Ildonnent mi^si celles des vibrations des lames élastiques, des surfaces Qexibles i nu lue-., des surfaces planes élastiques de très grandes dimensions, el conviennent en général aux questions qui dépendent <lr 1 < • théorie de l'élasticité. Le propre des solutions que l'on déduit de ces I » i - î 1 1 € - î j ►. - — est de rendre les applications numériques faciles, el de prêter des résultats distincts el sensibles, qui déterminent réellement l'objet de la < j 1 1 < - 1 i < 1 1 1 . sans faire dépendre cette connaissance d'intégrations nu d'éliminations qu'on ne peut effectuer. Nous regardons comme superflue toute transformation des résultats du calcul qui ne satisfait point à cette condition principale.

i N'ous présenterons maintenant diverses remarques concernant le* équations différentielles du mouvement de la chaleur.

Si deux molécules d'un même corps sont extrêmement voisines cl ont (les températures inégales, celle qui est la plus échauffée communique directement à l'autre pendant un instant une certaine quantité de chaleur; cette quantité est proportionnelle à la différence extrêmement petite des températures : c'est-à-dire que, si celle différence devenait double, triple, quadruple et que toutes les autres conditions demeurassent les mêmes, la chaleur communiquée serait double, triple, quadruple.

Cette proposition exprime un fait général et constant, qui suffit pour servir de fondement à la théorie mathématique. Le mode de transmission est donc connu avec certitude, indépendamment de toute hypothèse sur la nature de la cause, et il ne peut être envisagé sous deux points de vue dilFérents. 11 est évident que la communication immédiate s'opère suivant toutes les directions, et qu'elle n'a lieu, dans les fluides ou les liquides non diaphanes, qu'entre des molécules extrêmement voisines.

Les équations générales du mouvement de la chaleur, dans l'intérieur des solides de dimensions quelconques, et à la surface de ces corps, sont des conséquences nécessaires de la proposition précédente. Elles s'en déduisent rigoureusement, comme nous l'avons prouvé dans nos premiers Mémoires en 1807, et l'on obtient facilement ces équations au moyen de lemmes dont la démonstration n'est pas moins exacte que celle des propositions élémentaires de la Mécanique.

On déduit encore ces équations de la même proposition en déterminant par des intégrations la quantité totale de chaleur qu'une molécule reçoit de celles qui l'environnent. Ce calcul n'est sujet à aucune difficulté. Les lemrnes dont il s'agit suppléent aux intégrations, parce qu'ils donnent immédiatement l'expression du flux, c'est-à-dire la quantité de chaleur qui traverse une section quelconque. L'un et l'autre calcul doivent évidemment conduire au même résultat; et, comme il n'y a aucune différence dans le principe, il ne peut point y en avoir dans les conséquences.

20 Nous avons donné en 181 1 l'équation générale qui se rapporte à la surface. Elle n'a pas été déduite de cas particuliers, comme on l'a