CHAPITRE II. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

L'anneau solide ou armille esl engendré par la révolution d'une section rectangulaire autour d'un axe perpendiculaire au plan de l'anneau fig. > : / esl le périmètre de la section dont S esl la surface, le coefficient /> mesure la conducibilité extérieure, K la conducibilité propre, C la capacité spécifique de chaleur, I) la densité. La ligne o t t v représente la circonférence moyennede l'armille, ou celle i|iii passe par les centres de figure «le toutes les sections; la distance d'une section à l'origine o esl mesurée par l'arc donl la longueur esl ' : R esl le rayon de la circonférence moyenne.

On suppose qu'à raison «les petites dimensions el de la forme de la - tion 'm puisse regarder comme égales les températures îles différents points d'une même section.

Concevons que l'on donne actuellement aux différentes tranches de l'armille des températures initiales arbitraires, el que ce solide suit ensuite exposé à l'air, qui conserve la température <> el <|ni est déplacé avec un<' vitesse constante; le système des températures variera continuellement; la chaleur se propagera dans l'anneau el elle se dissipera par la surface : on demande quel sera l'étal du solide dan- un instant donné.

Suit r la température que la section placée a la distance x aura acquise après le temps écoulé t\ v esl une certaine fonction de x el de /. dans laquelle doivent entrer aussi toutes les températures initiales; c'est cette fonction qu'il s'agil de découvrir.

On considérera le mouvemenl de la chaleur dans une tranche infiniment petite, comprise outre une section placée à la distance x et une antre section placée à la distance x -t- dx. L'état de cette tram lie pendant la durée d'un inslant est celui d'un solide infini que terminent deux plans parallèles retenus à des températures inégales; ainsi la quantité de chaleur qui s'écoule pendant cet instant <lt à travers la première section, et passe ainsi de la partie du solide qui précède la tranche dans cette tranche elle-même, est mesurée, d'après les principes établis dans l'Introduction, par le produit de quatre facteurs,

savoir la conducibilité K, l'aire de la section S, le rapport -r- et la

durée de l'instant; elle a pour expression -- KS y-///. Pour connaître la quantité de chaleur qui sort de la même tranche à travers la seconde section et passe dans la partie contiguë du solide, il faut seulement changer x en x-\-dx dans l'expression précédente ou, ce qui est la même chose, ajouter à cette expression sa différentielle prise par rapport à x : ainsi la tranche reçoit par une de ses faces une quantité de

chaleur égale à — KS -y-.dt et perd par la face opposée une quantité de chaleur exprimée par — KS -r-dt — KS j-^dxdt. Elle acquiert donc,

;i raison de sa position, une quantité de chaleur égale à la différence

dsc des deux quantités précédentes, qui est KS -r—,dxdt.

D'un autre côté, cette même tranche, dont la surface extérieure est Idx et dont la température diffère infiniment peu de v, laisse échapper dans l'air, pendant l'instant dt, une quantité de chaleur équivalente à hlvdxdt; il suit de là que cette partie infiniment petite du solide conserve, en effet, une quantité de chaleur représentée par

d2e KS r—-dxdt — hlvdxdt

et qui fait varier sa température. Il faut examiner quelle est la quantité de ce changement.