CHAPITRE M. roi ITIONS DIFFÉRENTIELLES

lit:).

Le coefficient (' exprime ce qu'il Paul de chaleur pour élever l'unité de poids de la substance dont il s'agit depuis la température o jusqu'à la température i : par conséquent, en multipliant le volume S <l.v de la tranche inônimenl petite par la densité I). pour connaître smi poids. et par la capacité spécifique de chaleur (', on aura CDScfa;, pour la quantité de chaleur qui élèverait le volume de la tranche depuis la température <> jusqu'à la température i. Donc l'accroissement de la température qui résulte de l'addition d'une quantité de chaleur égale ii KS . ,'l.vdi — hhtlvtli se trouvera en divisant cette dernière quan-

tité par f.DSr/r. Donc, en désignant selon l'usage par --<lt l'accroissement de température <|ui a lieu pendant l'instant <lt, on aura l'équation

dv JC ^e l'I ôt ~ CD dx* CDS ' "

Nous expliquerons par la suite l'usage que l'on doit faire de cette équation pour en déduire nue solution complète, et c'est en cela que consiste la difficulté de la question; nous nous humerons ici à une remarque qui concerne l'étal permanent de l'armille.

Supposons que, le plan de l'an m mu et a ni horizontal, on place au-dessous de divers points m, /<./>. <\. ... des foyers de chaleur dont chacun iv. ■ iinr action constante; la chaleur se propagera dans le solide et, celle '|ui se dissipe par la surface étant incessamment remplacée par celle qui émane des foyers, la température de chaque section du solide s'approchera de plus en plus d'une \aleur stationnaire <|ui varie d'une tion à l'autre. Pour exprimer, au moyen de l'équation (b), la loi de dernières températures qui subsisteraient d'elles-mêmes si elles étaient établies, il faut supposer que la quantité v ne varie point par

88 THÉORIE DE LA CH \l.i:i II.

rapporl ii /, ce qui rend nul le terme • On aura ainsi l'équation

d*v hl dx* ~ KS v ;

d'où l'on déduit par l'intégration

fiï rn

c = Me rvKS+Ne Vks,

M el N étant les deux constantes.

Supposons qu'une portion de la circonférence de l'anneau, placée

entre deux foyers consécutifs, soit divisée en parties égales; désignons

par vt, ç>2» r3» v*> ••• les températures des points de division dont les

distances à l'origine sont a?0 cc2, x3f ccA, ...; la relation entre v et x

sera donnée par l'équation précédente, après que l'on aura déterminé les

deux constantes au moyen des deux valeurs de pqui correspondent aux

/— loyers. Désignant par a la quantité e Kset par a la distance .r2 — r,

de deux points de division consécutifs, on aura les équations

c, = Ma*. -+-Na--S vz=Makax> +Na4a-Jî.) c3 = M a2)- a21' + N a~2)' a"2. ;

d'où l'on tire la relation suivante :

On trouverait un résultat semblable pour les trois points dont les températures sont v2, v3, c.,, et en général pour trois points consécutifs. Il suit de là que, si l'on observait les températures v, , v2, c.,, c, , r5, . . . de plusieurs points successifs. Ions placés entre les (]ru\ mêmes foyers /// et // et séparés par un intervalle constant a, on reconnaîtrait que trois températures consécutives quelconques sont toujours telles que la somme de deux extrêmes, divisée par la moyenne, donne un quotient constant y.' + %"' .

I HAP1TRE II. ÉQÏ ETIONS DIFFERENTIELLES.

Si. dans l'espace compris entre deux autres foyers // el /', on observait les températures de divers autres points séparés par le même intervalle X, on trouverait encore que, pour trois points consécutifs quelconques, la somme des deux températures extrêmes, divisée par la moyenne, donne le même quotient -/' - « '. La valeur de ce quotienl ne dépend ni de h position ni de l'intensité des foyers.

Iii(.>.

Soit y cette valeur constante, on aura l'équation

on voit [>;ir là que, lorsque la circonférence est divisée en parties li'-. les températures «les points de division compris entre deux foyers consécutifs sont représentées par les termes d'une série récurrente dont l'échelle de relation est composée de deux termes y et — i . Les expériences ont pleinement confirmé ce résultat. Nous avons exposé un anneau métallique à l'action permanente et simultanée de divers foyers de chaleur et nous avons observé les températures slationnaires de plusieurs points séparés par un intervalle constant ; mois avons toujours reconnu que les températures de trois points consécutifs quelconques, non sépares par un foyer, avaient entre elles la relation dont il s'agit. Suit que l'on multiplie les foyers, et de quelque manière qu'on le- dispose, on ne peut apporter aucun changement à la valeur numérique du quotient ;; il ne dépend que des dimen-

sions nu de la nature de l'anneau, et non de la manière dont ce solide est échauffé.

I rsqu'on a trouvé par l'observation la valeur du quotient constant y nu -, on eu conclut la valeur de oc, au moven de l'éauation

Cette quantité étant déterminée, un en conclut la valeur du rapport

' i qui est y(loga)'-'. Désignant -/' par a>, on aura

r,r — qa -f- 1 3= o.

L'une des racines de cette équation est a\ et l'autre racine est y.~' ;

ainsi le rapport des deux conducibilités se trouve en multipliant '-. par

le carré du logarithme hyperbolique de l'une quelconque des racines de l'équation w2 — qu> ■+- 1 = o et divisant le produit par X2.