CHAPITRE M. ÉQl ETIONS DIFFÉRENTIELLES

d'un autre côté, le volume de cette couche intermédiaire est j.-.vdv et 'C|)t vdx exprime ce qu'il faul de chaleur pour l'élever de la température o à la température i, C étant la chaleur spécifique, el 1) lu densité : donc le quotienl

\K-ndt .

d di .

il l> -.r

esl l'accroissemenl que reçoit la température pendant l'instant <lt. <>n obtient ainsi l'équation

K (d*v \ (hdt « h \d.c- x <h

La quantité de chaleur qui traverse, pendant l'instante, la surface cylindrique < 1< • 1 1 1 le rayon est x étant généralement exprimée par

•k-r -—///, il s'ensuit que l'on trouvera celle qui sort pendant le

même temps de la superficie du solide en faisant, dans la valeur précédente, c \ : d'un autre côté, cette même quantité qui se dissipe dans l'air est, selon le principe de la communication de la chaleur, TzXhvdt; on doit donc avoir à la surface l'équation déter-

niiir K :-=àp. La nature de ces équations est expliquée avec

plus d'étendue, soil <lans le> articles qui se rapportent à la sphère, dans ceux où l'on donne les équations générales pour un corps d'un.- figure quelconque. La fonction v, qui représente le mouvement <le la chaleur dans un cylindre infini, doit donc satisfaire : i \ l'équation générale

dv K d i <)<

Jt ' Cli ' ~,)~ , Ta >'

qui a lieu quelles que soient a et /:

2° A l'équation déterminée

A dv

qui a lieu, quelle que soit la variable t, lorsque x--- X; V1 A l'équation déterminée

cette dernière condition doit èlre remplie pour toutes les valeurs de v, où l'on fait t = o, quelle que soit la variable x. La fonction arbitraire F(.r) est supposée connue et elle correspond à l'étal initial.

ÉQUATIONS DU MOUVEMENT UN1FOKME DE LA CHALEUR DANS IN PRISME SOLIDE DÏNI LONG! Il H INFINIE.

Une barre prismatique est plongée par une de ses extrémités dans une source constante de chaleur qui maintient cette extrémité a la température A; le reste de cette barre, dont la longueur est intime, demeure exposé à un courant uniforme d'air atmosphérique entretenu à la température o; il s'agit de déterminer la plus haute température qu'un point donné de la barre puisse acquérir.

Cette question diffère de celle de l'article 7)5 en ce qu'on a égard ici a toutes les dimensions du solide, ce qui est nécessaire pour que l'on puisse obtenir une solution exact.'. En effet, on est porte à supposer que, dans une barre d'une très petite épaisseur, tous les points d'une même tranche acquièrent des températures sensiblement égales; cependant il peut rester quelque incertitude sur les résultats de cette supposition. Il est donc préférable de résoudre la question rigoureusement et d'examiner ensuite, par le calcul, jusqu'à quel point et dans quel cas on est fonde à regarder comme égales les températures des divers points d'une même section.

I HAP1TRE II. ÉQl VTIONS DIFFÉRENTIELLES. 99

La section faite perpendiculairement à la longueur de la barre esl un carré donl le côté es( il; l'axe de la barre esl l'axe des x e( l'origine est à l'extrémité A. Les trois coordonnées rectangulaires d'un point de la l'.n iv sont r, y . : : la température Qxe du même poinl esl désignée par i .

La question consiste à déterminer les températures que l'on doil donner aux divers points de la barre, pour qu'elles continuent de subsistei sans aucun changement, tandis que la surface extrême A <|iii communique avec la source de chaleur demeure assujettie, dans tous - - points, à la température permanente A : ainsi v esl une fonction

«le r. de ) i't di' r.

On considérera le mouvement de la chaleur dans une molécule prismatique, comprise entre six plan- perpendiculaires aux trois axes des i . desj el des r. Les trois premiers plans passenl par le poinl m

donl h'- c tonnées sonl r, y, -. ci les autres passenl par le point ///

donl les coordonnées sonl x — dx, y + dy, z — riz.

Pour connaître la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, pénètre dans la molécule, a travers le premier plan passant par !<• point /// el perpendiculaire aux x, il faul considérer que la surface de la molécule qui esl située sur ce plan a pour étendue <lz dy, cl (pic le Qux (|iii traverse cette aire esl égal, suivant le théorème de l'article 98,

à — K ; ainsi la molécule reçoit, à travers le rectangle dœdy passant par le poinl m, nue quantité de chaleur exprimée par

— K ri r ri Y , •

il r

I'«>n r trouver la quantité de chaleur qui traverse la lace opposée el sorl

de la molécule, il faul substituer, dans l'expression précédente, x-\-dx

qui esl la même chose, ajouter a cette expression sa diffé-

100 THÉORIE DE L \ Cil iLEUR.

rentielle prise par rapport ;i x seulement; on en conclut que la molécule perd, p;ir s;i seconde face perpendiculaire aux x, une quantité de chaleur équivalente à

-Kdzdy^-JLdzdy * (¥)dx;

on doit par conséquent la retrancher de celle qui était entrée par la face opposée; la différence de ces deux quantités est

R ds dy dx-. — :;

J dx1 '

elle exprime combien il s'accumule de chaleur dans la molécule, à raison de la propagation suivant le sens des x\ et cette chaleur accumulée ferait varier la température de la molécule, si elle n'était point compensée par celle qui se perd dans un autre sens.

On trouve, de la même manière, qu'à travers le plan perpendiculaire aux y et passant par le point m, il entre dans la molécule une quantité de chaleur égale à

- - R dzdx —î

ày

et que la quantité qui sort par la face opposée est

— R dz dx — Kdz dx d -^- »

dy dy

celte dernière différentielle étant prise par rapport à y seulement. Doue la différence de ces deux quantités, on

R dz dx dv ——-,

J ôy-

exprime combien la molécule acquiert de chaleur, à raison de la propagation dans le sens des y.

Enfin on démontre de même que la molécule acquiert, à raison de la propagation dans le sens des z, une quantité de chaleur égale à

()' i R dx dy dz -— - •

J ùz-