CHAPITRE II. EQ1 ETIONS DIFFERENTIELLES. toi
Or, pour qu'elle ne change poinl de température, il est nécessaire qu'elle conserve autant de chaleur qu'elle en contenait d'abord, en sorte que ce qu'elle en acquierl dans un sens serve à compenser ce qu'elle en perd dans un autre. Donc la somme «les huis quantités do chaleur acquises doit être nulle, et l'on forme ainsi l'équation
Il reste maintenant à exprimer les conditions relatives à la surface. Si l'on suppose que !<■ point /// appartient à l'une des faces de la barre prismatique et «j m* cette face est perpendiculaire aux r. on voit que le rectangle dxdy laisse échapper dans l'air, pendant l'unité de temps, une quantité de chaleur égale à
hdxdy\ .
en désignant par V la température du point m à la surface, c'est-à-dire ce que devient la fonction cherchée ip x,y,z) lorsqu'on fait z = l, demi-largeur du prisme. D'un antre côté, la quantité de chaleur «pii, en vertu de l'action des molécules, traverse pendant l'unité de temps nue surface infiniment petite co, située dans l'intérieur du prisme perpendiculairement aux -. est, d'après les théorèmes cités, égale à
- Kco -p- Cette expression est générale et, en l'appliquant aux points
pour lesquels la coordonnée z a sa valeur complète /, on en conclut que la quantité de chaleur qui traverse le rectangle dxdy, placé à la superficie, est
— k (lr ,h — •
en donnant a - dan- l.i fonction ' sa valeur complète /. Dune les deux quantités -k'/V'/v et h dxdyv doivent être égales, pour que l'action d<'> molécules convienne avec celle du milieu. Cette égalité doit
aussi subsister si l'on donne à s dans les fonctions ^ et p la valeur — /, ce qui a liou pour la face opposée à celle que l'on considérait d'abord. De plus, la quantité de chaleur qui traverse une surface plane infiniment petite a), perpendiculaire à l'axe des y, étant -- Kw^, il s'ensuit que celle qui s'écoule à travers un rectangle dxdz, placé sur une face du prisme perpendiculaire aux y, esl
— K dx dz -— >
ày
en donnant à y dans la l'onction j- sa valeur complète /. Or ce rec
(h ày
tangle rZr^- laisse échapper dans l'air une quantité de chaleur exprimée par
h dx dz v\
il est donc nécessaire que l'on ait l'équation
ày lorsqu'on fait y = L ou y = — /, dans les fonctions v et ^
La valeur de la fonction v doit être, par hypothèse, égale à A lorsqu'on suppose x = o, quelles que soient les valeurs de v et de s. Ainsi la fonction cherchée v est déterminée par les conditions suivantes :
i° Elle satisfait, pour toutes les valeurs de x, y, z, à l'équation générale
(T- v (Pv d1^ __ ùxl dyi dz*
2° Elle satisfait à l'équation
h dv
CHAPITRE II. li M ETIONS DIFFÉRENTIELLES. 103 sque ) équivaul à /. ou à — /. quelles que soient x cl 3, el a l'équa-
tion
// dv
lorsque s équivaul à /. ou à — /. quelles que soienl x el y, Elle satisfait à l'équation
lorsque -r ■ o, quelles que soien m et s.
vl|..\s Di muimmim \ Vlill Dl iv CHALEUB DANS IN CCB1 SOLIDE.
in solide de forme cubique <l<»ni tous les points onl acquis une même température esl placé dans un courant uniforme d'air atmosphérique, entretenu à la température o. Il s'agil de déterminer les états successifs du corps pendant toute la durée tin refroidissement.
Le centre du cube esl pris pour origine des coordonnées rectangulaires; les trois perpendiculaires abaissées de ce point sur 1rs faces -(.ut les axes des x, des y et des s; il est le côté du cube, v esl la température à laquelle un point dont les coordonnées sonl x,y, z se trouve abaissé après le temps t qui s'esl écoulé depuis le commencement du refroidissement : la question consiste à déterminer la fonction v, qui
itienl ' . y, z el /.
Pour former l'équation générale à laquelle v doil satisfaire, on cherchera quel est le changement de température qu'une portion infinimenl petite du solide doil éprouver pendant l'instant dt, en vertu de l'action des molécules qui en sonl extrêmemenl voisines. On considérera don< une molécule prismatique comprise entre six plans rectangulaires; les trois premiers passent par le poinl m dont les coordonnées sonl x, > .
1(,', THÉORIE DE LA CH M. Kl R.
z, et les trois autres par le point m' dont les coordonnées soûl x ■+- ctr,
La quantité de chaleur qui pénètre pendant l'instant dt dans la molécule, à travers le premier rectangle dydz perpendiculaire aux x, est
— K dy dz -y- dt,
et celle qui sort dans le même temps de la molécule, par la face opposée, se trouve en mettant x -+- dx au lieu de x dans l'expressi précédente; elle est
- K dy dz ~dt-k dy dz d -£- dt, dx ox
on
cette différentielle étant prise par rapport à x seulement. La quantité de chaleur qui entre pendant l'instant dt dans la molécule, à travers le premier rectangle dxdz perpendiculaire à l'axe des r, est
— k d.r dz-r- dt, dy
et celle qui sort de la molécule, dans le même instant, par la face
opposée, est
— K d.r dz V- dt — K dx dz d -r- di .
dy v}
la différentielle étant prise par rapport à y seulement. La quantité de chaleur que la molécule reçoit pendant l'instant dt, par sa face inférieure perpendiculaire a l'axe des s, est
— K dx dv -3- dt • dz
et celle qu'elle perd par la face opposée est
— kdxdv~dt—\\ dxdyd-^ dt,
■ dz • dz
la différentielle étant prise par rapport à z seulement.
Il faut maintenant retrancher la somme de toutes les quantités de
