j-3'»6(i3«— 3») + 5««< i. ■ : rf(i3 -7*) + 910c(i3*— g

nio/(i3! 1

En continuant l'élimination, on obtiendra l'équation finale en a, qui

est

a 1 ïi,ï)(,,ï,ï)(9î i*)(7«-i«)(5* — is)(3s — iî) = i3s.iiï.9î.72.5î.3î.iî.

Si l'on avait employé un nombre d'équations plus grand d'une unité, on aurait trouvé, pour déterminer a, nue équation analogue à la précédente, ayant au premier membre un facteur de plus, savoir : 1 "'■ 1-. et au second membre i5a pour un nouveau facteur. La loi à laquelle ces différentes valeurs de a sont assujetties est évidente, et il s'ensuit que la valeur de a qui correspond à un nombre infini d'équations est exprimée ainsi

ou

~2.4 4-t>6.8 8.IO IO. 12 I2.l'|

Or cette dernière expression est connue et, suivant le théorème de Wallis, on en conclut

Il ne s'agit donc maintenant que de connaître les valeurs des autres indéterminé) s.

THÉORIE DE LA Cil M. Kl R.

Les six équations qui restent après l'élimination de g peuvent être eomparées aux six équations plus simples que l'on aurait employées s'il n'y avait eu que six inconnues. Ces dernières équations diffèrent des équations (c) en ce que, dans celles-ci, les lettres/, c, d, r, b, a se trouvent multipliées respectivement par les facteurs

11 suit de là que, si l'on avait résolu les six équations linéaires que l'on doit employer dans le cas de six indéterminées, et que l'on eût calculé la valeur de chaque inconnue, il serait facile d'en conclure la valeur des indéterminées de même nom, correspondantes au cas où l'on aurait employé sept équations. Il suffirait de multiplier les valeurs de/, c, d, c, b, a, trouvées dans le premier cas, par des facteurs connus. Il sera aisé, en général, de passer de la valeur de l'une des quantités, prise dans la supposition d'un certain nombre d'équations et d'inconnues, à la valeur de la même quantité, prise dans le cas où il y aurait une inconnue et une équation de plus. Par exemple, si la valeur de/ trouvée dans l'hypothèse de six équations et six inconnues est représentée par F, celle de la même quantité prise dans le cas d'une

i32 inconnue de plus sera F -^— — ■ Cette même valeur, prise dans le cas

de huit inconnues, sera, par la même raison,

i32— ii- iÔ;- ii*'

et, dans le cas de neuf inconnues, elle sera

i32 — ii2 i52 — ii2 172 — ii2'

ainsi de suite. Il suffira de même de connaître la valeur de b, corres-

CHAPITRE LU.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. [53 pondante au cas de deux inconnues, pour en conclure celle de la même

lettre qui correspond au cas de trois, quatre, cinq inconnues On

aura seulement à multiplier cette première valeur de l> par

-3S 7»-3â 9-- 3- us-,P ■'*'

Pareillement, si l'on connaît la valeur de c pour le cas de [rois inconnues, on multipliera cette valeur par les facteurs successifs

f- 5 ' 9 5 ' u»- 5»' '"'' OU calculera de même la valeur. le d pour le cas de quatre inconnues

seulement, el l'on multipliera celle valeur par

m3 i3» iV

Ml

f ,il 7« ,3*-;* ,5»7» '•••

Le calcul de la valeur de a esl assujetti à la même règle; car, si l'i prend cette valeur pour le cas (l'une seule inconnue et qu'on la mul tiplie successivemenl par

3!, JL, ji 92

3»-i*' 5»-i*5 7»-i*' 9^^' •*•' on trouvera la valeur finale de cette quantité.

La questiou esl donc réduite à déterminer la valeur de a dans le cas 'l'une inconnue, la valeur de b dans le cas de deux inconnues, celle de < dans le cas de trois inconnues, et ainsi de suite pour le- autres inconnii. s.

11 es' ^cile de juger, à l'inspection seule des équations el sans

e des eqi

155 THÉORIE DE I- V Cfl VLEl R.

aucun calcul, que les résultats de ces éliminations successives doivent

être

Il ne reste qu'à multiplier les quantités précédentes par les séries des produits qui doivent les compléter et que nous avons donnes (art. 174). On aura, en conséquence, pour les valeurs finales des inconnues a, h, c, d, c,f, ..., les expressions suivantes :

i M— jj

X2 7, 32 72 52 72 9,-2 tl2 72

32 52 ii2 '3J

^—n2 3- ii- 5*— ii* 72 — ii2 g2— ii2 i32— n1 i5*— n!