CHAPITRE III. SOLIDE RECTANG1 LAIRE INFINI

II11MIIU lAlMI'Ii: DI L'OSAGB DUS s| km s TniCONOMftTlUQUES DANS l v rHÉORIE ni: 1 v CHALEI H.

Nous reprendrons tnaintenanl l'équation

i = acosv-f- 0cos3v -hccosïy ■+- dcosyy + . . .,

dans laquelle il faul déterminer les coefficients a, h, c, <l, .... Pour que cette équation subsiste, il est nécessaire que 1rs constantes satisfassent aux équations que l'on obtient par des différentiations successives, ce <|iii donne 1rs résultats suivants

i =acosv -+- 6cos3/-i- ccos5j+ dcosyy -f-. . . , o — ,, -in t — 3 isin '- 1 + 5 csin5j-t-7 dsin 7/4-. o = rtcos/-i-326co- 3 r ')2ccos57 + 72rfcos77 + . .., o = asin^-+-3»6sin 3 » --h 5ac sin5jK-i- 73</sin 77 -f-.

el ainsi de suite à l'infini.

Ces équations devant avoir lieu lorsque/y = o, on aura

o = a + 3i6 + 52c + frf + f)!e + [iï/+...,

o = aH-3*ô-4-5*c ;■-/ ■-.,'•'•—

o — a -f- 3*0 4-5'c -L- 7*rf 4-. . .,

o = // - ;• /. ",sc -f-. . ..

'''' nombre de ces équations esl infini comme celui des indéterminées a, b, c, d, e, .... La question consiste à éliminer toutes les inconnues, excepté une seule.

T II KO RIE J>K LA CM M Cl II.

Pour se former une idée distincte du résultat de ces éliminations,

on supposera que le nombre des inconnues a, h, c, d, ... est d'abord défini et égal à m. On emploiera les m premières équations seulement, en effaçant tous les termes où se trouvent les inconnues qui suivent les m premières. Si l'on fait successivement m = 2, m = 3, m = 4, m — 5, ainsi de suite, on trouvera dans chacune de ces suppositions les valeurs des indéterminées. La quantité a, par exemple, recevra une valeur pour le cas de deux inconnues, une autre pour le cas de trois inconnues, ou pour le cas de quatre inconnues, ou successivement pour un plus grand nombre. Il en sera de même de l'indéterminée b, qui recevra autant de valeurs différentes que l'on aura effectué de fois l'élimination; chacune des autres indéterminées est pareillement susceptible d'une infinité de valeurs différentes. Or la valeur d'une des inconnues, pour le cas où leur nombre est infini, est la limite vers laquelle tendent continuellement les valeurs qu'elle reçoit au moyen des éliminations successives ('). Il s'agit donc d'examiner si, à mesure que le nombre des inconnues augmente, chacune des valeurs a, b, c, d, ... ne converge point vers une limite finie, dont elle approche continuellement. Supposons que l'on emploie les sept équations suivantes :

1 = a -h b -h c -\- d + e -+- /+ g, 0 = a -+- 3- b 4- 52 ç ■+- 7* d-\-gt e + 112 f-\- 13* g,

o = a -h 3V b -t- 5V c -+- -'* d-\-çf e-t-ii4 /+i3v g, o = a -f- 36 b -+- 5° c -t- 7° d -+- o15 e -+- 1 16 /-t- 1 36 g, a -+- 38 b -+- 58 c + 78 rf -h 9S e -t- 1 1 8 / -4- 1 3S g , a-+-310&H-510c-+-710<r/ + 9,0<? + ii10/-t- i310£-,

1 ' 1 Ce point n'est nullement évidenl el aurait besoin de démonstration. Quoi qu'il en soit, la méthode si naturelle que suit ici Fourier, el qu'il emploie aussi plus loin dans l'étude des séries trigonomé triques les plus générales, anus paraît, malgré son insuffisance, mériter l'ut t cul i< m des géomètres; car il y a. dans les différentes parties de la Science, bien des questions donl la solution peut se rattacher à la considération d'un nombre infini d'équations linéaires contenant un nombre infini d'inconnues. G. I).