SOI II

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Pour M111' cette va,eur '1*' " convienne à la question, N faul qu'elle ne change poinl lorsque la distance x esl augmentée de la quantité ••-/. rdésignanl le rayon moyen de l'anneau. Donc 2/ntr doil être mi mulliP,e ,de ,a circonférence aie, ce qui donne n \- On peul prendre P°uri*«n nombre entier quelconque; on le supposera toujours positif ',:"v'' 'I'"'- s'il étail négatif, il suffirai! de changer dans la valeur "• fsin/i* le signe du coefficient a. Cette valeur particulière

sin

'"' I rrail satisfaire à la question proposée qu'autanl qu'elle repré-

senterail l'étal mit, al du solide. Or, en faisanl / o, on trouve

u — a sin ;

supposons «lune que I- valeurs m, haies de u soienl exprimées en effel par a mu ; . c'est-à-dire que les températures primitives des différents points soienl proportionnelles aux sinus de. angles compris entre les •us .,111 passenl par ces points el .•«■lui qui passe par l'origine; le mouvement de la chaleur dans l'intérieur de l'anneau sera exactemenl représenté par l'équation

a — ae ' % i 1 1

el' si l'on ;' '-inl ;' ,;1 déperdition de la chaleur par la surface, on

trouvera

t'= ' sin

' ' cin

Dans le cas donl il s'agit, qui esl le plus simple de tous ceux que l'on

pui ncevoir, les températures variables conservent leurs rapports

Pr,m,t,fs- '■' celle d'un poinl quelconque diminue comme le. puissances successives d'une fraction, qui esl la même pour tous le. points.

On remarquera les mêmes propriétés si l'on suppose que les tempe-

ratures initiales sont proportionnelles au sinus du double de l'arc -; et cela a lieu, en général, lorsque les températures données sont représentées par a sin £, £ étant un nombre entier quelconque.

On arrivera aux mêmes conséquences en prenant, pour valeur particulière de u, la quantité ae-^cosn.x; on a aussi 2,i~r= ai* et

n = -; donc l'équation

' lu'-l

— - r i;r u = ae ' cos —7

exprimera le mouvement de la chaleur dans l'intérieur de l'anneau, si les températures initiales sont représentées par a cos — ■

Dans tous ces cas, où les températures données sont proportionnelles aux sinus ou aux cosinus d'un multiple de l'arc A les rapports établis entre ces températures subsistent continuellement pendant la durée infinie du refroidissement. Il en serait de même si les températures initiales étaient représentées par la fonction asin^ + &cosTi étant un nombre entier, a et b des coefficients quelconques.

Venons maintenant au cas général, dans lequel les températures initiales n'ont point les rapports que l'on vient de supposer, mais sont représentées par une fonction quelconque F(*). Donnons à cette fonction la forme , (f), en sorte qu'on ait F(x) =*(?)■ et concevons que la fonction tp (f) est décomposée en une série de sinus ou de cosinus d'arcs multiples affectés de coefficients convenables. On posera l'équation

,(*) = a0sinoy +.«ismi- 4-a2sin2- +•••

+ 60COSO-+^COSI- +fc2COS2- +....

( h vi* m RE i\ . vkmii.i.i:. -i\:\

Les nombres a0, a,, </ .. ... : />„. b,, />,. . . . sont regardés «oui me connus fi calculés d'avance. Il esl visible que la valeur de // sera alors représentée par l'équation