COS

6,cos i

Vkl

Il =

En effet :

i" Cette valeur de // satisfera à l'équation

du <)- u

dx*'

parce qu'elle esl la somme de plusieurs valeurs particulières;

Elle ne changera poinl lorsqu'on augmentera la distance •*■ d'un multiple quelconque de la circonfén nce de l'anneau;

I Elle satisfera à l'étal initial, parce que, en faisant / = o, on trouvera l'équation (e).

Doue toutes les conditions de la question seront remplies; el il ne i estera plus qu'à multiplier par < 'celle valeur de m.

A mesure que le temps t augmente, chacun des termes qui et nu posent la valeur de u devienl de plus en plus petil : le système des températures tend donc continuellement à se confondre avec l'état, régulier el constant, dans lequel la différence de la température u à la constante A„ est i eprésentée pai

i'w • 6, cos )e '' .

Vinsi les valeurs particulières que nous avons considérées précédemment, el donl u "u- composons la valeur générale, tirent leur origine d< la question elle-même. Chacune d'elles représente un étal élémentain qui peut subsister de lui-même dès qu'on le suppose formé; ces \a-

■2ÏÏ THÉORIE DE LA CH \LKl 15.

leurs ont une relation naturelle cl nécessaire avec les propriétés physiques de la chaleur ').

Pour déterminer les coefficients a0, alf a2, as, . . .; b0, A, , />,, bt

on emploiera 1 <m| nation (II) (art. 231), qui a été démontrée dans la dernière Section du Chapitre précédent.

L'abscisse totale désignée par X dans cette équation sera ■?.-/, x sera l'abscisse variable et /(a?) représentera l'état initial de l'anneau; les intégrales seront prises depuis x = o jusqu'à x = 2~r; on aura donc

nrf(x)

x ) dr

[ cos — / cos — /l a \ dx -+- cos 2 — / cos 2 - /( a da

\ sin — / sin — /(x) dx -+- sin > — / sin 2 — /(x) dx

Connaissant ainsi les valeurs de a0, a,, <z2, a3, ...; bu, b{, b2, b3, — on les substituera dans l'équation et l'on aura l'équation suivante, qui contient la solution complète de la question :

(E) nrv—e

-ht

x) dx -

isin — / sin — f(.r)dx >s — / cos — ./ !■' l da

kt isin2 j. /sin 2 jj\.i ■■//./• ;a — / cos 2 —f(x)dx

cos 2

Toutes les intégrales doivent être prises depuis .r = o jusqu'à x = ?.~r.

Le premier terme ; / f(x)dx, qui serl à former la valeur de v, est

évidemment la température moyenne initiale, c'est-à-dire celle qu'aurait chaque point si toute la chaleur initiale était également répartie entre tous les points.

On peut appliquer l'équation précédente (E), quelle que soit la forme de la fonction donnée f(oc). Nous considérerons deux cas particuliers, savoir : 1" celui qui a lieu lorsque, l'anneau ayant élé élevé par l'action d'un foyer à des températures permanentes, on supprime

(') /'r»//-. pour plus de netteté, les développements donnés .1 cette idée à la fin de l'article 2i6. G- D.

<:n vpi nu: i\. - vkmii.i.i :. ■>;:>

loul à coup le foyer; .>" le cas où la moitié de l'anneau, échauffée également dans tous ses points, sérail réunie subitement à l'autre moitié, (|iii aurail dans toutes ses parties la température initiale «>.

On a vu précédemmenl art. 106 que 1rs températures permanentes «If l'anneau — ■ ► 1 1 1 exprimées par l'équation

«'t la quantité a a pour valeur < s hs; l esl le contour de la se. 'lion

ératrice el S la surface de cette section. Si l'on suppose qu'il \ ail

un seul foyer, il sera nécessaire que l'on ait l'équation — = o au

point opposé à celui qui est occupe par le foyer. La condition

sera d satisfaite en ce point. Regardons, pour plus <lc facilite dans

le calcul, la fraction ^r comme égale à l'unité, el prenons le rayon r ,'«' l'ai au pour le rayon des Tables trigonométriques; on aura

v — ae* ■+■ be :

'loue l'étal initial de l'anneau esl représenté par l'équation

t> = be~'n

•I ne reste plus qu'à appliquer l'équation générale E et, en désignant par M ' la chaleur J moyenne initiale, on aura

M V"*<-4-™ ' SSËÈ W. \

Cette équation exprime l'étal variable «l'un anneau solide .pu, ayant

1 "I- supprimés par F fer, on u [a valeui liéi

■i celle de ! - lalion

' ,r| Bt dans quelque.» ssages, 1 irier emp] : chaleur pour indiquer

l.i tempéra (| |,

246 THEORIE DE LA Cil ULEl R.

été échauffé par un de ses [»<> i n is ci élevé à des températures stationnaires, se refroidit dans l'air après la suppression du loyer.

Pour faire une seconde application de l'équation générale (E), nous supposerons que la chaleur initiale est tellement distribuée qu'une moitié de l'anneau, comprise depuis x = o jusqu'à x = -, a, dans tous ses points, la température i et que l'autre partie a la température o. Il s'agit de déterminer l'état de l'anneau après un temps écoulé /.

La fonction /(x) qui représente l'état initial est telle, dans ce cas, que sa valeur est i toutes les fois que la variable est comprise entre o et -. Il en résulte que l'on doit supposer

et ne prendre les intégrales que depuis x = o jusqu'à x = ~; les autres parties des intégrales sont nulles d'après l'hypothèse. On obtiendra d'abord l'équation suivante qui donne le développement de la fonction proposée, dont la valeur est i depuis x = o jusqu'à x — -, et nulle depuis a7 = iT jusqu'à x = 2-,

fix) = — 1 — ( sin.a? + ~ sin3.r -1- ^sinSx h — sin7.a? + . . . ). •' 2 7r \ 3 5 7 /

Si maintenant on substitue dans l'équation générale les valeurs qu'on vient de trouver pour les coefficients constants, on aura l'équation

— z= e-'"( 4 -\- e/''sin.r -+- 77 e-3'*' sin3.r + ^e-iSkts\n5x -+-...),

qui exprime la loi suivant laquelle varie la température à chaque point de l'anneau, et fait connaître son état après un temps donné.

Nous nous bornerons aux deux applications précédentes et nous ajouterons seulement quelques observations sur la solution générale exprimée par l'équation (E).

ill U'ITIll. I\ . - UîMII.I.I".. 2V7

Si l'on suppose k infini, l'étal de l'anneau sera exprimé ainsi

ou, en désignant par M la température moyenne initiale,

p = Me-*'.

La température d'un poinl quelconque deviendra subitement égale à la température moyenne et les différents points conserveront toujours des températures égales, ce qui est une conséquence nécessaire de l'hypothèse où l'on admet une conducibilité infinie.

1 ui aura le même résultat si le rayon r de l'anneau est infinimenl

petit.

I Pour trouver la température moyenne de l'anneau après un temps /. il faut prendre l'intégrale I v dx, depuis .>■ = o jusqu'à x= aicr, et diviser par ?.-r. En intégrant entre ces limites les différentes parties de la valeur de v et supposant ensuite x = 2-/', on trouver.! que h^ valeur- totales des intégrales sont nulles, excepté pour le premier terme; la température moyenne a donc pour valeur, après le temps /. la quantité M<-/iC. Ainsi, la température moyenne de l'anneau décroit de la même manière que si la conducibilité était infinie; les variations occasionnées par la propagation de la chaleur dans ce solide n'influent poinl sur la valeur de cette température.

Dan- les trois cas que nous venons de considérer, la température décroît proportionnellement aux puissances de la fraction e '" ou, ce qui est la même chose, ï l'or lonnée d'une courbe logarithmique, l'abscisse étant égale au temps écoulé. Cette loi est connue depuis longtemps; mais il faut remarquer qu'elle n'a lieu, en général, que si les corps ont une petite dimension. L'analyse précédente nous apprend que, si le diamètre d'un anneau n'est pas très petit, le refroidisseraenl d'un point déterminé ne serait pas d'abord assujetti à cette loi; il n'en est

248 THÉORIE DE L V CH \l.lll R.

pas de même de la température moyenne, qui décroît toujours proportionnellement aux ordonnées d'une logarithmique. Au reste, il ne faut point perdre de vue que la section génératrice de l'armille est supposée

avoir des dimensions assez petites pour que les points de la même section ne diffèrent point sensiblement de température.

4° Si l'on voulait connaître quelle est la quantité de chaleur qui - i (happe dans un temps donné par la superficie d'une portion donnée de l'anneau, il faudrait employer l'intégrale hlldtjvdx, et prendre cette intégrale entre les limites qui se rapportent au temps. Par exemple, si l'on choisit o, 2-Ttrpour les limites de a; et o, x pour les limites de t, c'est-à-dire si l'on veut déterminer toute la quantité de chaleur qui s'échappe de la superficie entière pendant toute la durée du refroidissement, on doit trouver, après les intégrations, un résultat égal à toute la chaleur initiale ou 2-ïtrMCDS, M étant la température moyenne initiale.

5° Si l'on veut connaître combien il s'écoule de chaleur dans un temps donné, à travers une section déterminée de l'anneau, il faudra employer l'intégrale — KSf-^dt, en mettant pour ^ la valeur de cette fonction, prise au point dont il s'agit.

6° La chaleur tend à se distribuer dans l'anneau suivant une loi qui doit être remarquée. Plus le temps écoulé augmente et plus les termes qui composent la valeur de c dans l'équation (E) deviennent petits par rapport a ceux qui les précèdent. Il y a donc une certaine valeur de i pour laquelle le mouvement de la chaleur commence à être sensiblement représenté par l'équation

/ OC 3C\ â

u = b0 -+- I a, sin - -\- bt cos - j e '" .

Celte même relation continue à subsister pendant la durée infinie du refroidissement. Si, dans cet état, on choisit deux points de l'anneau

i II MM II; I . l\ . Ml Ml M ,E. 2W

situés aux deux extrémités d'un même diamètre, en représentant par x, et v. leurs distances respectives à l'origine, par v, el e. leurs températures correspondantes au temps /. on aura

i't = l b0-i- ( a, sin-7 bt cos - '''.

«', = 1 />„ -+- (</, sin'-^ -+- b, COS I < ,: e y''.

Les sinus des arcs ' el — ne diffèrent Que par le signe, el il en esl de

ir i i -

même des quantités cos el cos ; donc

Ainsi la demi-somme des températures des points opposés donne une quantité b0e '■•'. qui sérail encore la même si l'on avait choisi deux points situés aux extrémités d'un autre diamètre. Cette quantité A,,' u est, comme on l'a vu plus haut, la valeur de la température moyenne après le temps /. Donc la demi-somme «les températures des deux points opposés quelconques décroît continuellement avec la température moyenne de l'anneau el en représente la valeur sans erreur sensible, après que le refroidissemenl a duré un certain temps. Examinons plus particulièrement en quoi consiste ce dernier état, qui est exprimé par l'équation

Si l'on cherche d'abord le poinl de l'anneau pour lequel on a la condition

-m A, COS — O

- =an lang ,

• ■u voit que la température de ce poinl est, à chaque instant, la tempé-

250 THÉORIE DE L \ Cil VLKl II.

rature moyenne de l'anneau. Il en esl de même du poinl diamétralement opposé, car l'abscisse <t de ce dernier punit satisferait encore à l'équation précédente

= arc tang — -

Désignons par X la distance à laquelle le premier de ces points esl placé, on a

\ bl — — «i tang —

et, en substituant cette valeur de b{,

Si l'on prend maintenant pour origine des abscisses le point qui repondait à l'abscisse X, et que l'on désigne par u la nouvelle abscisse x x, on aura, b désignant une nouvelle constante.

v = e- ''' [ b0-\-b sin - e '''

A l'origine, où l'abscisse u est o, et au point opposé, la température v est toujours égale à la température moyenne; ces deux points divisent la circonférence de l'anneau en deux parties dont l'état est pareil. mais de signe opposé. Chaque point de l'une de ces parties a une température qui excède la température moyenne, et la quantité de cet excès esl proportionnelle au sinus de la distance à l'origine ; chaque point de l'autre partie a une température moindre que la température moyenne, et la différence est la même que l'excès dans le point opposé. Cette distribution symétrique de la chaleur subsiste pendant toute la durée du refroidissement. Il s'établit, aux deux extrémités de la moitié échauffée, deux (lux de chaleur diriges vers la moitié froide, et dont l'effet est de rapprocher continuellement l'une et l'autre moitié de l'armille de la température moyenne.

I I! M'I I RE l\ . - Ut M II. II. 251

On remarquera maintenant que, dans l'équation générale qui donne

la valeur de r, chacun des ternies est de la tonne

i ■/ sin i— h cosi ) e

un pourra dune tirer, par rapport à chaque tenue, des conséquences analogues aux précédentes. En effet, désignant parX la distance pour laquelle le coefficient

'/ -III / A COSJ

esl mil. <mi aura l'équation

■' lailg / — ,

et cette substitution donne, pour la valeur du coefficient,

a étant une constante. Il suit de lit que, en prenant pour l'origine des coordonnées le point dont l'abscisse était X, et désignant par // la nouvelle abscisse c - X, on aura, pour exprimer les changements de

cette partie de la valeur de v, la fonction ae 'sin

eiie même partie de la valeur de v subsistait seule, en sorte que les coefficients de toutes les autres fussent nuls, l'étal de l'anneau serait représenté par la fonction

ae '' -in / — e r

et la température de chaque point serait proportionnelle au sinus du multiple i de la distance angulaire de ce point à l'origine. Cet étal est analogue à celui que nous avons décrit précédemment : il en diffère en ce que le nombre des points qui ont une même température toujours égale a la température moyenne de l'anneau n'est pas i seulement,

mais est en général égal à ii. Chacun de ces points ou nœuds sépare deux portions contiguës de l'anneau, (jiii sont dans un état semblable, mais désigne oppose. La circonférence se trouve ainsi divisée en plusieurs pai'ties égales dont l'étal est alternativement positif ou négatif. Le flux de la chaleur est le plus grand possible dans les nœuds; il se dirige toujours vers la portion qui est dans l'état négatif et il est nul dans le point qui est à égale distance de deux nœuds consécutifs. Les rapports qui existent alors entre les températures se conservent pendant toute la durée du refroidissement, et ces températures varient ensemble très rapidement, proportionnellement aux puissances successives de la fraction

Si l'on donne successivement à i les valeurs o, i, 2, 3, 4» ••• 1 on connaîtra tous les états réguliers et élémentaires que la chaleur peut affecter pendant qu'elle se propage dans un anneau solide. Lorsqu'un de ces modes simples est une fois établi, il se conserve de lui-même et les rapports qui existaient entre les températures ne changent point; niais, quels que soient ces rapports primitifs et de quelque manière que l'anneau ait été échauffé, le mouvement de la chaleur se décompose de lui-même en plusieurs mouvements simples, pareils à ceux que nous venons de décrire, et qui s'accomplissent tous à la fois sans se troubler. Dans chacun de ces états, la température est proportionnelle au sinus d'un certain multiple de la distance à un point iixe. La somme de toutes ces températures partielles, prises pour un seul point dans un même instant, est la température actuelle de ce point. Or les parties qui composent cette somme décroissent beaucoup plus rapidement les unes que les autres; il en résulte que ces états élémentaires de l'anneau, qui correspondent aux différentes valeurs de i et dont la superposition détermine le mouvement total de la chaleur, disparaissent en quelque sorte les uns après les autres. Ils cessent bientôt d'avoir une influence sensible sur la valeurde la température, et laissent subsister seul le premier d'entre eux, pour lequel la valeurde/ est la

i il \m it.k i\ . ARMILLE. 233

moindre de toutes. On se formera de cette manière une idée exacte de la loi siii\aiii laquelle la chaleur se distribue dans une armille el se dissipe par ^;> surface. L'étal de l'armille devienl de plus en plus symétrique; il m1 tarde point à se confondre avec celui vers lequel il a une tendance naturelle, el qui consiste en ce que les températures îles différents points doivent être proportionnelles aux sinus d'un même multiple de l'arc qui mesure la distance à l'origine. La disposition initiale n'apporte aucun changement à ces résultats.

ni U COraUXICATIOK Dl Iv CHALBCH IMIII lu- HA.SSBS DISJOINTES.

Nous avons maintenant à faire remarquer la conformité de l'analyse précédente avec celle que l'on doil employer pour déterminer les loide la propagation de la chaleur entre des masses disjointes; nous arriverons ainsi à une seconde solution de la question du mouvement de la chaleur dans une armille. La comparaison des deux résultats fera connaître les véritables fondements de la méthode que nous avons suivie pour intégrer les équations de la propagation de la chaleur dans le- corps continus. Nous examinerons en premier lieu un c;is extrêmement simple, qui est celui de la communication de la chaleur entre deux masses égales.

Supposons que deux masses cubiques m et />, d'égale dimension el de même matière, soienl Inégalement échauffées, que leurs températures respectives soienl a el b, el qu'elles soienl d'une conducibilité infinie. Si l'on mettait ces deux corps en contact, la température deviendrai! subitement égale dans l'une el l'autre à la température moyenne '. a-t-b . Supposons que les deux masses soient séparées par un très petit intervalle, qu'une tranche infiniment petite du premier corps s'en détache pour se joindre au second, el qu'elle retourne au premier immédiatement après le contact. En continuant ainsi de se

->.,', THÉORIE DE LA <:il ILEUR.

porter alternativement, et dans des temps égaux et infiniment petits, de l'une des masses a l'autre, la tranche interposée l'ait passer successivement la chaleur du corps le plus échauffé dans celui qui l'estmoins; il s'agit de déterminer quelle serait, après un temps donné, la température de chaque corps, s'ils ne perdaient par leur surface aucune partir de la chaleur qu'ils contiennent. On ne suppose point que la transmission de la chaleur dans les corps solides continus s'opère d'une manière semblable à celle que l'on vient de décrire; on veut seulement déterminer par le calcul le résultat d'une telle hypothèse.

Chacune des deux masses jouissant d'une conducibilité parfaite, la quantité de chaleur contenue dans la tranche infiniment petite s'ajoute subitement à celle du corps avec lequel elle est en contact, et il en résulte une température commune, égale au quotient de la somme des quantités de chaleur par la somme des masses. Soit eu la masse de la tranche infiniment petite qui se sépare du corps le plus échauffé, dont la température est a; soient a et [4 les températures variables qui correspondent au temps /, et qui ont pour valeurs initiales a et b. Lorsque la tranche w se sépare de la masse m, qui devient m - w, elle a, comme cette masse, la température a et, dés qu'elle touche le second corps affecté de la température [i, (die prend en même temps que

lui um; température égale à

m (3 -t- au

m -+- co

La tranche co, retenant cette dernière température, retourne au premier corps, dont la masse est m - co et la température a. On trouvera donc, pour la température de ce corps après le second contact.

m p ■+- au

Les températures variables a et (3 sont donc devenues, après 1 instant dt,

CH U'I I i;i. l\ . \ KM il. M . 255

on trouve ces valeurs en supprimant les puissances supérieures de <•). On ;i ainsi

la masse qui ;i\;nt la température initiale (3 a reçu, dans un instant, une quantité de chaleur égale à md$ ou (a — J3)(o, laquelle a été perdue dans li' même temps par la première masse. On voil par la que la quantité de chaleur qui passe en un instant du corps plus échauffé dans celui qui l'est moins est, toutes choses d'ailleurs égales, proportionnelle a la différence actuelle des températures de ces deux corps. Le temps étant divisé ru intervalles égaux, la quantité infinimenl petite '■> pourra rire remplacée par K dt, K étant le nombre des unités de masse dont la somme contient tu a ni a ni de fois que l'unité de temps contient '//, en sorte que l'on a— = , • On obtient ainsi les écruations

<ly. = :> ; - dt, y v - dt.

Si l'un attribuait uni' plus grande valeur au volume co qui sert, pour ainsi dire, ;i puiser la chaleur de l'un des corps pour la porter a l'autre, la transmission serait plus prompte; il faudrait, pour exprimer cette condition, augmenter dans la même raison la valeur de K qui entre dans les équations. On pourrait aussi conserver la valeur de co el supposer que cette tranche accomplit dans un temps donné un plus grand nombre d'oscillations, ce qui sérail encore indiqué par une plus grande valeur de K. Ainsi ce coefficient représente en quelque sorte la vitesse de la transmission, un la facilité avec laquelle la chaleur passe de l'un des corps dans l'autre, c'est-à-dire leur conducibilité réciproque.

En ajoutant les deux équations précédentes, on a

et, si Ton retranche l'une des équations de l'autre, on a

da — e?3 -f- 2 ( a — 6) — dl — o ' r m

ou, en faisant a — (3 = v,

(IV -r- ->. — Vdt = O.

Intégrant et déterminant la constante par la condition que la valeur initiale soit a — b, on a

La différence/ des températures diminue donc comme l'ordonnée d'une logarithmique, ou comme les puissances successives de la frac-

lion e '". On a pour les valeurs de a et ,3

a=i(fl+6) + -(«-é)e '" , (3 =s - (a -h 6) — - (a — b)e ''"' .

On suppose, dans le cas qui précède, que la masse infiniment petite oj au moyen de laquelle s'opère la transmission est toujours la même partie de l'unité de masse ou, ce qui est la même chose, que le coefficient K qui mesure la conducibilité réciproque est une quantité constante. Pour rendre la recherche dont il s'agit plus générale, il faudrait considérer le coefficient K comme une fonction des deux températures actuelles a et (3. On aurait alors les deux équations

da—— (ce — (3) — dt, d&=^((x — S) — dt,

dans lesquelles K serait égal à la fonction de a et [l, que nous désignons par <p(a, (3). Il sera facile de connaître la loi que suivent les températures variables a et (3 lorsqu'elles approchent extrêmement de leur dernier état. Soit v une nouvelle indéterminée, égale à la différence entre a et la dernière valeur, qui est £(a -+- b) OU C. Soit ; une

CH M'I I I : i : l\ . MÎMII I I . 257

seconde indéterminée, égale à la différence c >. On substituera, au lieu de z el i. leurs valeurs * el c — r; et, comme il s'agil de

trouver les valeurs de t el de r- lorsqu'on les suppose très petites, on ne doil retenir dans les résultats des substitutions que la première puissance de ) el il«' s. <>n trouvera donc les deux équations

<l\ — i; — y) — cp(c — y, c — s) cil.

■ I: 5-j . II.

En développant 1rs quantités qui sont -mis le signe \ el omettant les puissances supérieures de j et de :. on trouvera

La quantité si c, c | étant constante, il s'ensuit <|iic les équations précédentes donneront, pour la valeur de la différence s y, un résultai semblable à celui <|ii«' l'on .1 trouvé plus haut pour la valeur de a - 'y

(»n en conclut que, -1 ]<• coefficient K, que l'on avait d'abord su | >posé constant, était représenté par une fonction quelconque «1rs températures variables, les derniers changements qu'éprouvenl ces températures, pendant un temps infini, seraient encore assujettis à la même loi <|ii<' >i la conducibilité réciproque était constante.

Il s'agil actuellement de déterminer 1rs Ini^ ,|r [g propagation de la chaleur dans un nombre indéfini de masses égales qui ont actuellement des températures différentes.

<>n suppose que des masses prismatiques, en nombre //, cl dont chacune est égale à m, sont rangées sur une même ligne droite, el affectées de températures différentes ". b, c, d, ... : que des tranches infiniment petites, qui ont chacune la masse o>, se séparent de ces différents corps, excepté <ln dernier, et se portent en même temps du premier au second, du second au troisième, du troisième au quatrième,

258 THÉORIE l>K l.\ CH \LVA lt.

ainsi de suite; que, aussitôt après le contact, ces mêmes tranches retournent aux masses donl elles s'étaient séparées. Ce double mouvemenl avant lieu autant de fois qu'il y a d'instants infinimenl petits dt, on demande à quelle loi sont assujettis 1rs changements de

température.

Soient a, (3, y, 8 p, files températures variables qui correspondent au même temps / et qui ont succédé aux valeurs initiales a, h, c, d Lorsque les tranches co se seront séparées des

n - i premières masses et mises en contact avec les masses voisine.. il est aisé de voir que les températures seront devenues

a(m — w) (3 (wi — m ) + «'.> y(m — 6>H pu

ou, en supprimant dans la dernière les puissances supérieures de co,

Lorsque les tranches co seront revenues a leurs premières places, on trouvera les valeurs des nouvelles températures en suivant la même règle, qui consiste à diviser la somme des quantités de chaleur par la

somme des masses, et Ton aura, pour les valeurs de a, 3. y, '-

après l'instant dt,

y + [f3-y-(y-S)]-> •••' » + (p-»>rô'

Le coefficient de £ est la différence de deux différences consécutives

prises dans la suite a, ?, y p, tr. Quant au premier et au dernier

coefficient de -. ils peuvent être considérés aussi comme des différences du second ordre; il suffit de supposer que le terme a est précédé d'un terme égal à a, et que le terme a est suivi d'un terme égal à 7. On aura donc, en substituant comme précédemment Kdi à co. les

équations suivante!

i ii vi'i ii; i : iv. - m; m m. il.

,/* z-dl\ 3 a -(«- se)],

rfff - --<// [ 7 7 7

P intégrei ces équations, on fera, suivanl la méthode connue,

n^'il