CONTENUES DANS LA SUTE DU MÉMOIRE INTITULÉ

Des températures terrestres et du mouvement de la chaleur dans l'intérieur d'une sphère solide dont la surface est assujettie à des changements périodiques de température .

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80. Remarques générales sur la question des températures terrestres 3

81. On suppose que tous les points de la surface d'une sphère d'un très grand

diamètre ont une température commune c, qui est une fonction périodique du temps écoulé. Cette fonction o(t) ne change point de valeur lorsqu'on écrit / -+- 6 au lieu de t ; 0 est une constante égale à la durée de la période. Quelles que soient les températures primitives des molécules du solide, elles s'approchent de plus en plus d'un certain état périodique, qui ne dépend que des variations auxquelles la surface est assujettie. Cet état est représenté par l'équation suivante :

- ;j'ii')'"+i

-vS

COS \ l -t- t —

T^V^)/1?(0c0S(iï')'" sinU'-^f — uU i~ J I <p(0 eos (i^ M dt

v est la température (pie doit prendre, après le temps t, la couche sphérique qui esl placée au-dessous de la surface à la profondeur u. Il faut développer le signe 2 en mettant au lieu de i les valeurs successives i , 2, 3, î, ...,*....

8:2. Lorsqu'on donne à la variable u une valeur un peu considérable, les termes placés sous le signe X s'évanouissent presque entièrement, d'où il suit que les variations périodiques de la surface deviennent insensibles à une certaine profondeur

83- La température permanente des lieux profonds, étant exprimée par le premier terme de la valeur de i', est égale à la valeur moyenne de toutes les températures que l'on observerait à la surface pendant la durée 0 de la période.. .

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Si. Lorsque la profondeur est telle que les variations périodiques ne sont pas entièrement insensibles, mais ont seulement de petites valeurs, ces variations

v — xl ^(Od1) ou "'' sont exprimées par le premier des termes qui

entrent sous le signe 2.

Cette différence w entre la température d'un point intérieur et la température moyenne varie avec le temps, et comme le sinus du temps qui s'est écoulé depuis l'instant où elle était nulle. Elle reprend toutes ses premières valeurs pendant la durée 6 de la période suivante.

Le maximum de la différence vo n'est pas le môme pour différentes profondeurs; il décroît en progression géométrique à mesure que la profondeur augmente de quantités égales. Les différents points d'une même verticale ne parviennent point dans le même temps à la température moyenne, et cette dernière température passe d'un point à un autre avec une vitesse uniforme.

La durée 6 de la période et la conducibilité du solide influent beaucoup sur la profondeur à laquelle les variations deviennent insensibles, et sur la distance des deux points d'une môme verticale qui atteignent en même temps la température moyenne .' 1 1

85. On applique ces résultats à une masse sphérique homogène de fer, dont la sur-

face serait assujettie à des variations diurnes et annuelles de température. Ayant déterminé, par les expériences rapportées dans ce Mémoire, la valeur approchée du nombre K, on trouve que les variations diurnes sont presque nulles à a"1, 3, et que les variations annuelles sont insensibles à 6om environ. La température moyenne descend dans l'intérieur du globe avec une vitesse d'environ 3om en six mois M

86. On applique la solution générale au cas où les températures de la surface varie-

raient comme les sinus des temps écoulés.

La durée 6 de la période est partagée en deux saisons égales. Pendant la première, le globe s'échauffe, le foyer lui communiquant une nouvelle quantité de chaleur; pendant la seconde, le solide perd celte même chaleur qu'il avait acquise et la rend à l'espace extérieur.

Le globe commence à s'échauffer un huitième d'année avant que la température de la surface passe au-dessus de sa valeur moyenne; il commence à se refroidir six mois après. On peut déterminer toute la quantité de chaleur qui, pendant la saison de réchauffement, pénètre dans le solide en traversant une portion déterminée de la surface.

Dans le climat où la température annuelle s'élève de 8° (octogésim.) audessus de la valeur moyenne, la chaleur totale qui pénètre pendant le cours d'une année une surface de imq serait, pour un globe de fer, équivalente à 2856; c'est-à-dire qu'elle pourrait fondre a856kg de glace 16

87. La température fixe des lieux profonds n'est point la même dans tous les cli-

mats, et elle diminue à mesure que l'on s'éloigne de l'équateur. Si l'on fait abstraction de l'enveloppe sphérique dont les points sont assujettis à des variations périodiques de température, on peut considérer le globe terrestre comme une sphère solide dont les points situés à la surface sont entretenus à des températures fixes, mais qui diffèrent d'un point a un autre. On peut déterminer par le calcul l'état des molécules intérieures.

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x désigne la distance d'un point da solide au plan de l'équateur, et y la distance de ce point à l'axe de l'équateur. X et Y sont les valeurs de x et de y pour les points de la surface. Des causes extérieures quelconques retiennent tous les points de la surface situés sur un môme parallèle à une température commune et fixe F (X); il en est de môme de chacun des parallèles, en sorte quo la loi suivant laquelle les températures diminuent, depuis le pôle jusqu'à l'équateur, est représentée par la fonction connue F(X); quelles quo soient les températures initiales des points intérieurs, elles changent continuellement et elles s'approchent de plus en plus d'un état final permanent.

Cet état est exprime par l'équation

0*v d2i> i dv drâ + Jyi "^ J Ty ~ °'

c est la température fixe du point dont les coordonnées sont x et y.

On peut assigner pour une valeur particulière de v la fonction cosx fercos t dq, ou

cos.r() + ^ + T+^+...j.

Si donc on donne aux différents points d'une sphère solide les températures exprimées par cette fonction, et si l'on maintient ensuite dans leur état actuel les températures do la surface, il ne pourra y avoir aucun changement dans l'intérieur de la sphère 20

88. Cette solution, quoique particulière, fait connaître comment la chaleur pénètre

par les régions équatoriales, et s'avance de plus en plus dans l'intérieur du globe pour remplacer celle qui se détourne et se dissipe vers les pôles 25

Des lois- mathématiques de l'équilibre de la chaleur rayonnante.