THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR

Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France pour l'année 182 5, t. VIII, p. 58 1 ù 622. Paris. Didot, 1829.

Objet de la question, formule qui en donne la solution.

Ce Mémoire a pour objet la solution d'une question d'Analyse qui appartient à la théorie de la chaleur. Cette nouvelle recherche servira à perfectionner les applications, en introduisant dans le calcul les variations que l'on observe dans les coefficients spécifiques. On peut à la vérité regarder ces coefficients comme constants dans la question des températures terrestres, qui. est l'application la plus importante; mais il y a d'autres questions pour lesquelles il serait nécessaire d'avoir égard aux variations que les expériences ont indiquées. Les propositions qui sont démontrées dans le Mémoire ont un rapport direct avec l'analyse de ces approximations successives.

Je ne rappellerai point ici les questions fondamentales de la théorie de la chaleur. II y a peu d'années qu'elles n'avaient point encore été soumises au calcul; on pouvait même douter que l'Analyse mathématique s'étendit à cet ordre de phénomènes et fût propre à les exprimer d'une manière aussi claire et aussi complète par des intégrales d'équations à différences partielles. Les solutions que j'ai données de ces

questions principales sont aujourd'hui généralement connues; elles ont été confirmées par les recherches de plusieurs géomètres.

J'ai traité ensuite une question beaucoup plus composée que les précédentes, mais que l'on peut encore soumettre à l'Analyse mathématique. Elle a pour objet de former les équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les liquides, les variations des températures étant occasionnées par la communication de la chaleur entre les molécules, et en même temps par les déplacements infiniment variés que subissent toutes les parties du liquide à raison des changements continuels de densité. J'ai donné les équations dont il s'agit dans un Mémoire lu à cette Académie, et dont l'extrait a été publié.

Je me propose maintenant d'ajouter à la même théorie la solution d'une question nouvelle, que je considère d'abord comme purement analytique, et dont je présenterai par la suite des applications variées. 11 s'agit d'assujettir les deux extrémités d'un prisme (' ) à des températures entièrement arbitraires exprimées par deux fonctions différentes du temps, qu'elles soient ou non périodiques. L'état initial du prisme est donné; il est représenté par une troisième fonction; on se propose d'intégrer l'équation différentielle du mouvement de la chaleur en sorte que l'intégrale comprenne trois fonctions arbitraires, savoir : celle qui représente l'état initial du solide, et deux autres dont chacune exprime l'état donné et variable d'une extrémité.

On pourrait appliquer à cette question les théorèmes que j'ai donnés dans mes recherches précédentes, et qui servent à transformer une fonction quelconque, soit en séries exponentielles, soit en intégrales définies; car l'emploi des deux propositions principales peut évidemment conduire à l'intégrale cherchée; mais, sous cette forme, le calcul est très composé, et ne pourrait point faire connaître les lois simples auxquelles les résultats sont assujettis.

('/est par l'application de ces théorèmes que j'ai déterminé autrefois

(') Dans lequel tous les points d'une section droite quelconque ont la môme température. C'est ce qui a lieu si, la section droite étant très petite, le prisme peut être assimilé à un fil. G. D.

les lois du mouvement périodique de la chaleur solaire qui pénètre la masse terrestre jusqu'à une certaine profondeur et cause les variations diurnes ou annuelles; mais, dans cette recherche sur les mouvements alternatifs de la chaleur solaire, les températures de l'extrémité du solide sont exprimées par des fonctions périodiques, ce qui rend l'analyse plus facile. Dans la question actuelle, les températures des deux extrémités du solide sont exprimées par des fonctions quelconques, et, quoique les principes déjà connus suffisent pour montrer que la solution est possible, ils ne donneraient point cette solution sous une forme propre à représenter clairement les résultats. J'ai donc déduit l'intégrale cherchée de considérations différentes et spéciales, qui rendent les conséquences très manifestes et facilitent toutes les applications. Voici la formule qui donne la solution de cette question :

V,=:+ - f{t) + - ^ -.e-i'-'sïnixcosiK /(o) + I f'{r)e'irdr ; = i L

(i) / -+- - o(t) > -e-'2'siru\r 9(0) H- / (f'(r)ei'rdr

Je ' '-}>(/■) sinirdr;

x désigne la distance d'un point quelconque m du solide à sa première extrémité o; t est le temps écoulé à partir de l'état initial; \t exprime la température du point m après le temps i\ la distance de la seconde extrémité iï à l'origine o est représentée par le nombre -; les fonctions du temps/(/), o(t) sont arbitraires; elles expriment respectivement les températures variables des deux extrémités o et - du prisme (' ). La troisième fonction arbitraire '\*(oc), qui affecte la distance variable r d'un point intérieur à l'extrémité o, représente le système des températures initiales.

(') Fourier suppose, sans le dire explicitement, que les unités de longueur ont été choisies de telle manière que la longueur du prisme soit mesurée par le rapport de la cir-

CD

conférence au diamètre et que le quotient -zp soit égal à l'unité. G. D.

On doit donner au nombre entier i sous le signe £ toutes les valeurs possibles depuis et y compris i ; il faut prendre la somme de ces valeurs. Le signe d'intégration définie / porte, suivant notre usage, les limites entre lesquelles l'intégrale doit être effectuée; r est une quantité auxiliaire qui disparaît après l'intégration définie, en sorte qu'il ne reste dans l'expression de Yt que des quantités connues.

La solution a trois parties distinctes.

La valeur \t donnée par l'équation (i) contient trois parties différentes. Si, dans la première, qui forme la première ligne, on écrit t: — x au lieu de .r, et cp au lieu de/, on trouve la seconde partie. On verra par la suite que la première représente l'état où le solide parviendrait après le temps écoulé / si, toutes les températures initiales des points dont la distance à l'origine o est plus grande que zéro et moindre que - étant supposées nulles, on assujettissait pendant le temps / le point o à la température constante zéro, et le point ti à la température variable /(ï).

La seconde partie de la formule représente l'état où se trouverait le même solide après le temps écoulé t si, les températures initiales des mêmes points intermédiaires dont la distance à l'origine o surpasse zéro et est moindre que tt étant supposées nulles, on assujettissait pendant le temps t le point o à la température variable <p(ï), et le point à la température fixe zéro.

Enfin la troisième partie de la formule (i) représente l'état où se trouverait le solide après le temps écoulé t si, le système des températures initiales étant exprimé par une fonction quelconque ^(oc) de la distance x, on assujettissait le solide à cliacunc de ses deux extrémités ii la température fixe zéro.

Quant à la valeur complète V„ elle fait connaître quel sera, après le temps écoulé /, l'état du prisme si, les températures initiales étant

exprimées par ^(oc), les deux extrémités sont assujetties à des températures variables, savoir : l'une f(t) au point o, et l'autre ç(Y) au point 7T.

Première démonstration. La formule satisfait à l'équation différentielle, aux conditions des extrémités, et à l'état initial.

Sans développer dans ces premiers articles la suite des raisonnements qui m'ont conduit à la solution, j'en démontrerai d'abord la vérité en la fondant sur un principe général qui est évident, et dont voici l'énoncé. Si l'on forme une valeur v de la température variable qui satisfasse à l'équation différentielle du mouvement de la chaleur et ii toutes les conditions relatives aux extrémités, et qui, pour un temps donné, coïncide avec l'état du système, on est assuré que l'expression de v est l'intégrale cherchée. Il ne peut y avoir aucune autre intégrale réellement différente de celle-là, quel que puisse être d'ailleurs le nombre des fonctions arbitraires. Il suffira donc de prouver que la formule qui donne l'expression Yc satisfait à l'équation différentielle et aux conditions des extrémités, et que de plus, en donnant au temps t sa première valeur zéro, la température V„ représente le système ^(a?) des températures initiales.

Or l'équation différentielle du mouvement linéaire de la chaleur est

dv R d'v dt ~ CD dx*'

K / et, si l'on écrit t au lieu de ^> on a

dv d2 v

dt ~~ dx*'

Il faut donc considérer l'équation à différentielles partielles très

simple

dv d*v ôl ~ dx2'

On reconnaîtra, comme il suit, que l'expression de V, satisfait à cette dernière équation. En effet, on conclut de l'équation (i)

d2\< dx'2

et

y\ ie~ri sini

XCOS17Î

ie~iStsin ix

o) + f <?'(r)ei%rdr\

dt

— - V ï2e~iU sinix I <\>(r) sin ir dr,

- /'(O — -^ie-P'simxcosiTi f(o) + Çf{r)eiirdr\

-i- - > -e~l ' simx cosin — T-

7Î ^nJ i dt

— y'(Q + - ^te~p<sinta; 9(0) -h / y'(/')e'3''dA-

— > -e-' ' sini^;— =-

- - 2, î2e~ r~l sinijc I ty(r)sinir dr. On représente par P le facteur

/(o) + f f\r)e*>-dr,

et par Q le facteur

(o) + i y'(r)eiirdr;

or, pour trouver la différentielle de P par rapport à 1 ou, ce qui est la

même chose, la différentielle du terme / f'(f)eli-rdr, il faut omettre le

signe d'intégration définie et donner à la variable auxiliaire r la valeur / qui est sa limite; nous supposons connue cette règle, qui est démontrée dans plusieurs Ouvrages, et dont la vérité est pour ainsi dire évidente; on a donc

dP dt

ef, suivant la même règle, on a

Il reste donc, dans la première partie de -j-S le dernier terme