II

Nous allons maintenant démontrer que l'équation algébrique

dont ce est l'inconnue, n'a que des racines réelles; et nous prouverons qu'il s'ensuit nécessairement que l'équation transcendante <p('r)== o, dont rest l'inconnue, a aussi toutes ses racines réelles.

Pour reconnaître la nature des racines de l'équation algébrique F (a-, n) = o, nous appliquerons les théorèmes que l'on vient de rappeler.

La fonction ¥(.r,n) étant désignée par y, on trouve que y satisfait à l'équation différentielle

dx^ ~>dX+ny = °>

ce dont on peut s'assurer par la différentiation. On conclut de cette dernière équation les suivantes :

il r-

dx' dx*

dy n -T- = o, dx

c£y dx'°

. . .rf'y d3 y

dx1

d'-\v dx^1

dx'~-

Cette relation récurrente se reproduit autant de fois que la fonction y peut être différentiée sans devenir nulle, en sorte qu'il y a un nombre n de ees équations (V). Si actuellement on suppose, dans chacune des équations (e), que le second terme est rendu nul par la substitution d'une certaine valeur réelle de ce dans une fonction dérivée, on voit que la même substitution donne, pour la fonction dérivée précédente et pour celle qui suit, deux résultats dont le signe ne peut pas être le même. En effet, la valeur de x qui, substituée dans le second terme,

rend ce terme nul n'est pas un nombre négatif: car la fonction qui exprime y ne peut pas devenir nulle lorsqu'on donne à x une valeur négative, puisque tous les termes recevraient ce même signe. 11 en est

de même de -r- et de toutes les fonctions dérivées de y : aucune de ces dx

fonctions ne peut être rendue nulle par la substitution d'une valeur négative de x, car tous les termes prendraient le même signe. Donc les valeurs réelles de x qui auraient la propriété de faire évanouir une des fonctions dérivées ne peuvent être que positives. Donc, en substituant pour x, dans une des équations (e), une valeur réelle de x qui ferait évanouir le second terme, il arrivera toujours que le premier et le dernier terme n'auront pas un même signe; car leur somme ne serait pas nulle. On ne peut pas supposer que la même valeur de x qui fait évanouir le deuxième terme rend aussi nuls le premier et le troisième terme d'une des équations (e); car, si cela avait lieu, on conclurait de ces équations que la même valeur de x fait évanouir les fonctions dérivées de tous les ordres, sans aucune exception. Ce cas singulier serait celui où l'équation proposée y = o aurait toutes ses racines égales.

Il résulte évidemment de la condition récurrente qui vient d'être démontrée que l'équation

a toutes ses racines réelles. En etl'et, cette équation est algébrique, et il n'existe aucune valeur de x propre à faire évanouir une fonction dérivée intermédiaire en donnant deux résultats positifs ou deux résultats négatifs pour les fonctions précédente et suivante. Il suit donc rigoureusement des principes de l'Analyse algébrique que l'équation Y(x, ti) = o, n'ayant aucune valeur critique n'a point de racines imaginaires. Cette conséquence est entièrement indépendante de la valeur du nombre entier n ; quel que puisse être ce nombre n, et quand ou supposerait qu'il croit de plus en plus et devient plus grand que tout nombre donné, ebacune des équations que l'on formerait aurait toutes ses racines réelles et positives.

20i APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE

On supposera // infini, et, désignant par o(«,.r) la fonction transcendante, on voit que l'équation

n'est autre chose qu'un cas particulier de l'équation

Elle appartient au système de toutes les équations que l'on forme en donnant à n dans ¥(n, x) les différentes valeurs i, 2, 3, [\, 5. . . . à l'infini; et, comme on ne trouverait ainsi que des équations dont toutes les racines sont réelles, on en conclut que cette propriété, entièrement indépendante du nombre n, subsiste toujours lorsque n devient plus grand que tout nombre donné. Alors la fonction est transcendante, et l'équation devient

Donc cette équation n'a point de racines imaginaires. On pourrait regarder comme superflu tout examen ultérieur de l'équation cp(r)=^o; et toutefois la conclusion deviendra encore plus conforme aux principes communs de l'Analyse algébrique, en le présentant comme il suit.

Soit nx = r; nous avons dit que, par l'emploi des constructions, ou en remarquant les propriétés de l'expression de <p(r) en intégrale définie, on voit que la courbe dont l'équation est y = o(r) a une infinité de sinuosités, et qu'elle coupe l'axe des r en une multitude de points à la droite de l'origine O. Nous avons désigné par a, [3, y, 0, ... les distances de O à ces divers points d'intersection. Si l'on écrit nx = /• dans l'équation algébrique

qui est du degré n et a ses n racines réelles, on a une transformée algébrique que nous désignons par

/• est l'inconnue, et toutes les racines, c'est-à-dire les valeurs de r, sont réelles; car on les trouverait en multipliant par le nombre n les valeurs de x qui sont les racines de l'équation F (a?, n) = o. Or, si l'on donnait au nombre entier n une valeur immensément grande, qui surpasserait, par exemple, plusieurs millions, il est manifeste que l'équation

algébrique

donnerait pour l'inconnue r des valeurs réelles a, b, c, d, . . . extrêmement peu différentes de ces racines que nous avons désignées par a, (3,

y, o et qui, étant prises pour /•, rendent nulle la fonction cp(r).

Si l'on remarquait une des valeurs algébriques a, b, c, d, ..., par exemple la quatrième d par ordre de grandeur, on la trouverait extrêmement peu différente de la racine o du même rang qui satisfait ;i l'équation transcendante o(>) = o. En général, chacune des valeurs algébriques de r données par l'équation

et désignées par les quantités a, b, c, d, ..., approche continuellement de la valeur du même rang, prise parmi les racines de l'équation o(r) = o; elle en approche d'autant plus que le nombre n est plus grand, cl ce nombre peut être tel que la différence soit moindre que toute grandeur donnée. Les racines a, (3, y, o, ... sont les limites respectives vers lesquelles les valeurs a, b, c, d, ... convergent de plus en plus. Le nombre des valeurs données par l'équation f(r, ri) = o augmente continuellement, et ces valeurs se rapprochent infiniment des racines cherchées a, [3, y, o, .... Or l'équation /(/•, n) = o, étant algébrique, a toutes les propriétés élémentaires dont jouissent les équations algébriques et qui sont démontrées depuis longtemps; par conséquent, les théorèmes de Viète et d'Harriot sur la composition des équations s'appliquent à celle-ci.

Ainsi la fonction /(r, n) n'est autre chose que le produit des n facteurs du premier degré qui répondent aux n valeurs réelles a, b, c,

ri, ... données par l'équation /(r, n) = o. Nous écrirons donc l'équa-

tion

Il ne reste plus qu'à passer de cette équation au cas particulier où le nombre n est supposé infini.

Pour connaître la propriété qui, dans ce cas, est exprimée par l'équation (K), il suffit de porter les quantités qui entrent dans cette équation aux limites vers lesquelles elles convergent. Or la fonction /(r, n) a pour limite la fonction transcendante <p(r); les limites des valeurs a, b, c, d, ... sont les nombres que nous avons désignés par a, {B, y, c On a donc cette relation

*<') = (-:)('- S) (-rOO-ï)- ;"'inn'"-

On connaît par ce résultat que la fonction transcendante ©(/•) est formée du produit d'un nombre infini de facteurs du premier degré correspondants aux racines a, (3, y, o, ... dont chacune fait évanouir la fonction <p(V). On regarde comme utile de démontrer spécialement cette proposition pour la fonction transcendante cp(r) parce qu'il y a. comme je l'ai remarqué autrefois, plusieurs cas où le produit des facteurs simples ne forme pas le premier membre de la proposée.

Il résulte donc de l'analyse précédente que la fonction cp(>) est le produit de tous les facteurs du premier degré

qui correspondent aux racines. Cela posé, il est manifeste qu'aucune valeur différente des grandeurs réelles a, [3, y, g, . . . ne pourrait faire

évanouir cette fonction <p(r). En effet, un facteur tel que i ne

peut devenir nul que si l'on fait r = a; donc, si l'on donnait à x une

AUX EQUATIONS TRANSCENDANTES. 207

valeur quelconque réelle ou imaginaire qui ne serait ni a, ni [3, ni y, .... aucun des facteurs ne serait nul; doue le produit aurait une certaine valeur non nulle. Donc, si l'on met pour r dans cp(r) une valeur quelconque, soit qu'on la suppose ou réelle ou imaginaire, et si elle n'est point une des racines que nous avons désignées par a, 3, y, o, .... la fonction ç(r) ne devient point nulle : donc l'équation transcendante

a ces racines réelles a, (3, y, o, ... et n'a aucune autre racine ou réelle ou imaginaire.

Il est remarquable que l'on parvienne ainsi à démontrer que toutes les racines de l'équation transcendante <p(r) = o sont réelles, sans qu'il soit nécessaire de regarder comme connue la forme des expressions imaginaires, que l'on sait être celle du binôme u + v y' — r .

Au reste, en considérant a priori que, si les équations déterminées propres à la Théorie de la chaleur avaient des racines imaginaires, leur forme ne pourrait être que celle du binôme jjl -+- v \J — i ; on voit qu'il est pour ainsi dire superflu de démontrer que les équations dont il s'agit ont toutes leurs racines réelles; car, la communication de la chaleur s'opérant toujours par voie de partage, il est évident, pour ceux qui connaissent les principes de cette théorie, que le mouvement oscillatoire ne peut s'établir et subsister sans une cause extérieure. Cela résulte aussi de la nature de l'équation différentielle, qui, dans les questions dont il s'agit, ne contient pas, comme les équations dynamiques, la fluxion du second ordre par rapport au temps. Or cette oscillation perpétuelle de la chaleur aurait lieu si l'expression du mouvement contenait des quantités imaginaires. Si les équations déterminées qui conviennent à cette théorie pouvaient avoir de telles racines, on ne devrait point les introduire dans les solutions. On est assuré d'avance qu'il faudrait les omettre.

En recherchant la nature de ces racines, je n'ai d'autre but que de montrer l'accord de tous les éléments analytiques dont la théorie se compose.

Il me reste à rappeler les premières objections qui ont été présentées sur la nature des équations déterminées propres aux questions principales de la Théorie de la chaleur. Cette théorie a été donnée pour la première fois sur la fin de l'année 1807, dans un Ouvrage manuscrit qui est encore déposé aux Archives de l'Institut. Les principes physiques et analytiques qui servent de fondement à ces recherches n'ont point été saisis d'abord; il s'est passé plusieurs années avant qu'on en reconnût l'exactitude. Aujourd'hui même, les résultats cosmologiques de cette théorie, la notion de la température des espaces planétaires, les lois mathématiques de la chaleur rayonnante, les équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les liquides n'ont point encore fixé l'attention de tous les principaux géomètres. Les vérités mathématiques, quoique exactement démontrées, ne s'établissent qu'après un long examen. Les théorèmes généraux qui m'ont servi à intégrer les équations différentielles s'appliquant à un grand nombre de questions physiques qui n'avaient point été résolues, la connaissance de ces théorèmes et la méthode d'intégration qui en dérive sont devenues assez générales; mais les autres résultats de la théorie sont, pour ainsi dire, encore ignorés. Quant à l'équation transcendante déterminée qui exprime le mouvement de la chaleur dans le cylindre, elle se reproduit dans des recherches physiques très diverses : c'est pour cette raison que j'en présente aujourd'hui l'analyse avec de nouveaux développements.

On a objecté, durant plusieurs années, que les équations déterminées qui servent à exprimer le mouvement de la chaleur dans la sphère ont des racines imaginaires, et l'on a cité, comme exemple, l'équation

très simple

tangue — o.

Comme elle est formée des deux facteurs sina? et sécr, on concluait qu'elle doit avoir :

i° Les racines réelles de l'équation

sin x = o,

2" Les racines de l'équation

secx

qui ne peuvent être qu'imaginaires.

J'ai discuté avec soin celles de ces objections qu'il m'a paru nécessaire de réfuter, et j'ai écrit à ce sujet des Notes assez étendues, qui sont annexées au premier .Mémoire, et déposées aux Archives de l'Institut. Elles ont été communiquées à plusieurs géomètres, et il n'y a personne qui ne puisse en prendre connaissance. Ces pièces ont été remises à M. Laplace, qui, selon son usage, a bien voulu inscrire de sa main la date de la présentation, savoir le 29 octobre 1809. J'ai rappelé spécialement dans ces Notes l'objection relative aux racines de

l'équation

tanga; = 0;

et, pour la réfuter, j'ai prouvé, non pas que l'équation

sécz; = o

n'a aucune racine ni réelle ni imaginaire, ce qui ne serait pas conforme aux principes d'une analyse exacte, mais que les racines imaginaires de cette équation séca? — o n'appartiennent point à l'équation tang.r = o. On n'avait pas encore eu l'occasion de remarquer qu'il y a des cas où une fonction n'est pas le produit de tous les facteurs du premier degré correspondant aux racines de l'équation dont le premier membre est la fonction elle-même; je montrai que, pour l'équation dont il s'agit tango; = o, ce produit est sin.r et non point tango?.

Je termine ici ce .Mémoire, en omettant des développements qui n'appartiendraient qu'aux Traites généraux d'Analyse, (les considérations sur les propriétés des fonctions transcendantes, et sur leurs rapports avec l'Analyse algébrique, méritent toute l'attention des géomètres. Elles montrent que les principes de la résolution des équations appartiennent à l'Analyse générale, dont elles sont le vrai fondement.