II

alors comme nécessaire de développer ces propositions parce qu'elles sont autant de conséquences des principes dont j'ai rapporté la démonstration dans le Mémoire cité. Il n'y en a aucune qui soit bornée aux seules équations algébriques; mais l'application de principes très généraux peut nécessiter un examen spécial. C'est ainsi que le théorème de Viète sur la composition des coefficients s'applique différemment aux équations dont le premier membre est une fonction entière, et à celles qui ont des dénominateurs.

11 n'est pas moins évident que, si l'on considère une fonction non continue, les conséquences algébriques ne subsistent point pour toute l'étendue de la fonction : elles s'appliquent aux parties où la fonction varie par degrés insensibles et ne peut changer de signe qu'en devenant nulle. On doit aussi faire une remarque semblable au sujet de la proposition algébrique qui exprime que le produit de tous les facteurs du premier degré, correspondant aux racines de

équivaut au premier membre X de cette équation. J'ai prouvé, dans mes premières recherches sur la Théorie de la chaleur, que cette proposition ne convient pas à certaines fonctions non algébriques : par exemple à l'équation très simple

(angr = o.

La fonction tang.r est fort différente du produit de tous les facteurs du

premier degré formé des valeurs de x qui rendent tang.r nulle : ce

produit complet donne sinr et non tang.r. Gela provient de ce que la

fonction langr est le produit de sin.r par sécr. Or les racines de

l'équation

sécr = o,

qui sont imaginaires, ne rendent point langr nulle : elles donnenl à sin.r une valeur infinie, de sorte nue 'la fonction tança? devient -; et j'ai montré que, si l'on détermine exactement sa valeur, on trouve que

tang.r se réduit à \' — i , et non à zéro. Ainsi les racines du facteur

secr = o

n'appartiennent pas à l'équation

Il en est de même de toutes les équations analogues que j'ai employées dans la Théorie de la chaleur, par exemple de celle-ci :

e — "k tange = o.

z est l'inconnue, et ~k est moindre que l'imité (p. 3o6). En général, le produit, quoique complet, des facteurs formés de toutes les racines d'une équation non algébrique

cp ( X ) = o

peut différer de la fonction <p(#); et cela arrive lorsque les valeurs de x qui rendent nul un des deux facteurs dont la fonction <p(a?) est composée donnent à l'autre facteur une valeur infinie. Comme cette condition ne peut point avoir lieu dans les fonctions algébriques entières, c'est pour cette raison que le tbéorème de Viète sur la composition des coefficients convient à toutes ces fonctions. Je pourrais ici multiplier les exemples qui montrent que le produit de tous les facteurs simples peut différer du premier membre de l'équation. En général, il faut distinguer les cas où une fonction esl égale au produit d'un nombre fini ou infini de facteurs formés de toutes les racines, et les cas où cette propriété n'a pas lieu ; mais nous ne pourrions point ici entreprendre cette discussion sans nous écarter trop longtemps du but spécial de cet article, qui est d'expliquer clairement comment j'ai été conduit à prouver, par l'application d'un tbéorème algébrique, que l'équation transcendante (2), qui se rapporte à la question du cylindre, a, en effet, toutes ses racines réelles, et de montrer quelles sont ces racines.

Il est d'abord nécessaire de rappeler un tbéorème général dont j'ai

donné la démonstration dans le Bulletin des Sciences de la Société philomathique (année 1820, p. i56 et suiv.). Cette proposition peut être ainsi énoncée : Une équation algébrique X = o étant donnée, on forme toutes les fonctions qui dérivent de X par la différentiation, et l'on écrit la suite entière dans cet ordre inverse

En substituant clans cette suite de fonctions un certain nombre a, et marquant les signes des résultats, on obtient une suite de signes, qui serait ou pourrait être très différente si le nombre substitué a venait à changer. On suppose maintenant que la valeur substituée a augmente par degrés insensibles depuis a = — oc jusqu'à a = oc, et l'on considère les changements qui surviennent dans le nombre des variations de signes que présente la suite des résultats. Cela posé, nous disons que les racines réelles ou imaginaires de la proposée

correspondent aux nombres des variations de signes que la suite des résultats perd, à mesure que le nombre substitué augmente. Voici en quoi consiste cette relation. Les variations de signes que peut perdre la suite des résultats, lorsque le nombre substitué passe par une valeur déterminée, sont de deux sortes :

1" Il peut arriver, lorsque quelques-unes de ces variations disparaissent, que la dernière fonction X devienne nulle.

20 II peut arriver que des variations de signes disparaissent sans que la dernière l'onction X devienne nulle. Le premier cas répond aux racines réelles, et le second aux racines imaginaires.

J'ai reconnu que la proposée a précisément autant de racines réelles, égales ou inégales, que la suite perd de variations de signes de la première espèce; et qu'elle a précisément autant de racines imaginaires que la suite des résultats perd de variations de signes de la seconde espèce. Ce théorème, que l'on doit regarder comme fondamental, renferme comme corollaires la remarque de Hudde sur les racines égales.

la règle de Descartes concernant le nombre des racines positives ou négatives, et la proposition de de Gua relative aux équations dont toutes les racines sont réelles.

La démonstration de ce théorème général publiée dans les Mémoires cités de la Société philomathique ne diffère point de celle que j'ai donnée autrefois dans les cours de l'Ecole Polytechnique de France. Je suppose ici que le lecteur a sous les yeux cette démonstration, et je me borne à rappeler les conséquences principales.

Le nombre substitué a passant par degrés insensibles de sa valeur initiale — ce à la dernière -hoo, il ne peut survenir de changements dans la suite des signes des résultats que lorsque a atteint et dépasse infiniment peu une valeur de x qui rend nulle une des fonctions

Or, après que a a dépassé cette valeur de x, il peut arriver que le nombre des variations de signes de la suite n'ait point changé : ainsi on trouverait le même nombre de variations en les comptant avant et après. II peut arriver aussi deux autres cas : le premier, lorsque la fonction qui s'évanouit est la dernière; alors la valeur substituée a est une des racines réelles, et le nombre des variations de signes ne demeure pas le même; il est diminué d'une unité. Dans l'autre cas, la fonction qui s'évanouit n'est pas X : elle est une des fonctions dérivées intermédiaires, et il arrive que le nombre des variations de signes n'est pas le même qu'auparavant; il est diminué de deux unités, et l'on conclut avec certitude que deux des racines de l'équation proposée sont imaginaires. Ainsi :

i" Les valeurs accidentelles de x qui font évanouir une des fonctions peuvent n'apporter aucun changement dans le nombre total des variations; ces valeurs, substituées, sont indifférentes.

2° La substitution qui fait évanouir une des fonctions peut diminuer d'une seule unité le nombre i\r^ variations; alors la valeur substituée est une racine réelle.

3" La substitution qui rend nulle une fonction intermédiaire l'ail

disparaître deux variations de signes, sans rendre nulle la fonction X; alors mi esl assuré que deux des racines de l'équation sont imaginaires. Ce sont les deux cas élémentaires pour lesquels le nombre des changements de signes diminue. 11 ne peut jamais augmenter; il esl conservé, ou il est diminué d'une unité pour chaque racine réelle, ou il est diminué de deux unités pour chaque couple de racines imaginaires. Il n'y a point d'autres cas possibles; ils peuvent se réunir accidentellement, et alors ils donnent lieu à autant de conclusions séparées.

Il est fort important de remarquer ces valeurs critiques de x, qui ont la propriété de faire disparaître à la fois deux variations de signe. Cette disparition a lieu parce que la valeur de x qui rend nulle la fonction dérivée intermédiaire donne deux résultats de même signe lorsqu'on la substitue dans les deux fonctions dont l'une précède et l'autre suit la fonction intermédiaire qui s'évanouit : c'est cette condition qui esl le caractère propre des racines imaginaires. Autant de fois que ce caractère se reproduit, autant la proposée a de couples de racines imaginaires; réciproquement, il ne peut y avoir de couples de racines imaginaires que dans le cas où cette condition subsiste.

Cette considération nous fait mieux connaître la nature des racines imaginaires. En effet, elle montre que les racines manquent dans de certains intervalles, savoir ceux où il arrive que le nombre substitué a, passant d'une valeur de x à une autre infiniment voisine, rend nulle une fonction intermédiaire sans rendre nulle la fonction X, et fait ainsi disparaître deux variations de signes, en donnant deux résultats de même signe à la fonction qui précède et à celle qui suit. Cette conclusion a toujours été regardée comme évidente dans le castrés simple où la courbe de forme parabolique, et dont l'équation est y = X, s'approche de l'axe des x et, après avoir atteint une valeur minimum sans rencontrer l'axe, s'en éloigne et poursuit son cours. Mais ce n'est là qu'un cas particulier des racines imaginaires : ce minimum peut avoir lieu pour une des fonctions dérivées d'un ordre quelconque, e( alors il détermine toujours un couple de racines imaginaires. A proprement parler, les racines imaginaires sont des racines déficientes, qui manquent

dans certains intervalles; et l'on reconnaît que c'est à un de ces intervalles que correspond en effet un couple de racines imaginaires parer qu'il suffit de prouver que ces deux racines n'existent point dans l'intervalle dont il s'agit pour conclure avec certitude que l'équation proposée a deux racines imaginaires.

Quoique, dans l'énoncé de ces propositions, nous ne considérions ici que les fonctions algébriques, il est assez évident que ces racines déficientes, que l'on a appelées imaginaires, ont le même caractère dans les équations non algébriques formées d'un nombre fini ou infini de facteurs du premier degré réels ou imaginaires. Ce minimum absolu est le signe propre du manque de deux racines; mais nous écartons ici toute conclusion relative aux équations non algébriques, afin d'appliquer d'abord les principes fondamentaux à un objet simple et parfaitement défini.

Ce n'est pas seulement dans la fonction principale X que résident ces valeurs critiques de la variable x : elles peuvent appartenir à toutes les fonctions dérivées d'un ordre quelconque. Pour la résolution d'une équation il est nécessaire de connaître les intervalles où manquent les racines imaginaires; et ces derniers intervalles doivent être cberchés dans tout le système des fonctions dérivées des différents ordres.

Examinons d'après ces principes le cas particulier où l'équation proposée n'aurait que des racines réelles. Alors la suite des signes des résultats, qui perd successivement toutes ses variations à mesure que le nombre substitué passe de — se à + oc, ne perd ces variations que d'une seule manière. Elle en perd une toutes les fois que le nombre x devient successivement égal à ebacune des racines réelles. Dans tons les autres cas où l'une des fonctions dérivées devient nulle, le nombre des variations de signes n'est point changé; il n'arrive jamais qu'une valeur de x qui rend nulle une fonction intermédiaire dérivée donne le même signe à la fonction qui précède et à celle qui suit. Au contraire, toute valeur réelle de x qui rend nulle une fonction dérivée intermédiaire donne deux signes différents à la fonction qui précède et à celle qui suit; et celte dernière condition n'a [tas lieu seulement pour

une des valeurs réelles de x qui font évanouir une fonction intermédiaire; elle a lieu pour toutes les valeurs réelles de x qui ont cette propriété : s'il y avait une seule exception, il y aurait un couple de racines imaginaires. Réciproquement, si l'on est assuré que toute valeur réelle de x qui rend nulle une des fonctions intermédiaires donne deux résultats de signes contraires lorsqu'on la substitue dans les deux fonctions précédente et suivante, il est certain que l'équation algébrique proposée a toutes ses racines réelles : c'est la proposition donnée par de Gua; on voit qu'elle est un corollaire évident du théorème général que j'ai énoncé plus haut.

Dans tous les cas possibles, une équation algébrique a nécessairement autant de racines imaginaires que la suite de signes perd de variations lorsque le nombre substitué passe par de certaines valeurs réelles de x, qui font disparaître des variations de signes sans que la dernière fonction X s'évanouisse. Ainsi, lorsqu'il n'y a point de telles valeurs de x, il n'y a point de racines imaginaires.

Il suffit donc, pour être assuré qu'une équation algébrique a toutes ses racines réelles, de reconnaître qu'il n'existe aucune de ces valeurs réelles de x qui, sans rendre nulle la dernière fonction X, fassent disparaître deux variations à la fois.

Nous considérons maintenant la fonction transcendante

afin de prouver que l'équation

a toutes ses racines réelles. Cette équation est celle qui se rapporte au mouvement de la chaleur dans un cylindre solide.

Je me suis d'abord proposé de connaître la forme de la ligne courbe dont l'équation est

y = o{r), v désignant l'ordonnée dont /• est l'abscisse. Cette ligne a des pro-

priétés fort remarquables, que l'on déduit d'une expression de ç(r) en

intégrale définie. Dans mon premier Mémoire sur la Théorie de la

chaleur (1807), j'ai employé cette intégrale pour déterminer la forme

de la ligne dont l'équation est y — <p(r); et j'ai indiqué une propriété

principale, que j'ai rappelée dans la Théorie analytique de la chaleur,

page 3:'j4- Le Mémoire de 1807, qui demeure déposé dans les archives

de l'Institut, contient d'autres détails, article 127, page 180; on en

conclut évidemment que la courbe dont il s'agit coupe une infinité de

fois son axe, et forme des aires qui se détruisent alternativement.

L'examen attentif de l'intégrale définie ne laisse aucun doute sur la

multiplicité et les limites des racines réelles. On voit clairement que

l'équation transcendante

a une infinité de ces racines réelles : nous les désignons par a, [3, y,

0. £, Mais, pour compléter la discussion, il restait à examiner si

cette équation <p(r) = o est en effet du nombre de celles qui ne peuvent avoir que des racines réelles.

Au lieu d'appliquer immédiatement à cette équation transcendante les théorèmes que nous avons rappelés ci-dessus, nous examinons d'abord la nature de la fonction algébrique suivante :

Cette fonction est à deux variables x et n; n est un nombre entier. Le nombre des termes est a + i; et, si l'on suppose n infini, la fonction transcendante qui en résulte ne contient que le produit nx et devient

Faisant nx = r, on trouve la fonction transcendante y(r) qui est l'objet de la question.