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2f,(j VIBRATIONS DES FORCES ÉLVSTIQUES

La Note qui précède se l'apporte à celle qui a été insérée dans le Bulletin du mois de juin. L'auteur de cette dernière Note a publié dans !c Bulletin, de juillet un second Article concernant les vibrations des surfaces élastiques, ce qui nous donne lieu d'ajouter les remarques suivantes :

i° Nous avons rapporté, dans le Mémoire présenté à l'Académie des Sciences, le 8 juin 1818, différents procédés de calcul qui conduisent à l'intégrale de l'équation (A). Le premier résulte de l'application des théorèmes qui expriment une fonction arbitraire en intégrales définies. L'objet direct de cette application n'est pas de sommer une série infinie, mais de déterminer une fonction inconnue sous le signe d'intégration en sorte que le résultat de l'intégration définie soit une fonction donnée.

Le second procédé consiste à découvrir une valeur particulière, telle que

qui, étant prise pour v, satisfait à l'équation (A), et dont on peut déduire facilement la valeur générale de v.

Nous avons prouvé aussi que cette même intégrale peut se déduire du développement en série. Lorsqu'on est une fois parvenu à connaître l'intégrale d'une équation différentielle, il est facile d'arriver par d'autres voies à ce même résultat; mais il nous avait paru utile d'indiquer ces procédés différents dans une recherche nouvelle dont les principes ne sont pas généralement connus.

20 La généralité de ces intégrales se démontre par des principes rigoureux, sans recourir à la considération indirecte du développement de l'intégrale en série ordonnée selon les puissances d'une des variables.

3° 11 importe surtout de remarquer que la forme de l'intégrale doit changer avec la nature de la question. Si la surface élastique dont on veut déterminer le mouvement n'avait pas les dimensions infinies, par exemple si cette surface était un rectangle dont les arêtes sont ap-

payées sur des obstacles fixes, il faudrait employer l'intégrale sous une forme totalement différente de celle que nous avons donnée dans notre Mémoire. Ces deux résultats ont entre eux une relation nécessaire, et l'on peut toujours déduire l'un de l'autre; mais il est beaucoup plus facile de les conclure directement des conditions proposées, et c'est un des principaux avantages des théorèmes que nous avons cités.