II

déjà connu est n, une seule opération en fera connaître plusieurs autres en nombre n', et n' est égal à n plus ou moins un nombre constant k, qui est le même pour toutes les opérations.

4° On peut aussi se dispenser de calculer séparément la valeur de la seconde limite p' suivant la règle du paragraphe (i°) du présent article; il suffit de déterminer la première de ces limites, et de connaître d'avance le nombre des chiffres exacts qu'elle doit contenir.

On y parviendra au moyen des équations suivantes

9 (a) <?(>«) 2<jf>(«)

la première donne l'expression déjà connue de a', et la seconde montre que, pour trouver une seconde valeur approchée (3', il faut retrancher de a' le terme rQ, i étant la différence connue des deux limites a et (3. Dans les applications numériques, cette différence est une unité décimale d'un ordre donné, par exemple ( — ) > ( — j » — Le coefficientQ est un nombre constant, commun à toutes les opérations qui se succèdent.

Dans l'expression ? ; [ > on désigne par A celle des deux limites a

ou [3, qui, étant substituée pour a: dans y''(.x)> donne la plus grande valeur numérique, abstraction faite du signe (■). Dans le calcul du quotient Q, il suffit de trouver le premier chiffre, en observant de

( ' ) II semble que la règle donnée ici par Fourier ne sera pas sûrement applicable si l'équation

tp'"(x) = o

a une racine comprise entre a et p.

Soit, en effet. a-+-/< la valeur exacte de la racine; on aura

o = <p(a-H/i) = tp(a)-4-/i«p'(a)-+- — <p"(a -h8//),

0 désignant une quantité comprise entre o et i. On déduit de là

cp(a) h"- ip*(« + 9A) o'(a) a <?'(a)

D'après les hypothèses faites par Fourier, les deux termes du second membre sont mani-

prendre toujours ce chiffre trop fort. On connaîtra facilement, par ce moyen, jusqu'où l'approximation doit être portée dans le calcul de la

quantité a' ou a — ,,* • On s'arrêtera donc, dans la division, au der-

1 <?la)

nier chiffre dont l'exactitude est assurée. La plus grande limite doit toujours être prise trop forte, et la moindre limite trop faible ; ces deux nouvelles limites a' et [3' doivent différer d'une unité décimale d'un certain ordre. Connaissant ces limites, on continuera l'application des mêmes règles.

VII. Les bornes de cet écrit ne nous permettent point de rapporter la démonstration des propositions précédentes; nous nous proposons de l'insérer dans quelques-uns des numéros suivants : elle se déduit des principes connus de l'Analyse algébrique, et il y a une partie de

feslement de même signe. Si donc on remplace le second successivement par zéro et par une valeur M qui soit supérieure et de même signe, on aura deux limites

1^> et -1^+M, <?'(<*) cp'(a)

comprenant la valeur exacte de //. Par suite, les deux nombres

a = a — -t) — et a -, h M

tp (a) tp (a)

comprendront dans leur intervalle la racine cherchée. Pour obtenir M, on peut toujours remplacer h par i. Si l'équation

n'a pas de racine entre a et p, on pourra évidemment substituer cp( A) à tp"[a -+- 0(P — a)], A étant le nombre déOnipar Fourier; ce qui donnera, pour la racine, les deux limites

a', a'—i*Q, indiquées dans le texte.

Mais, si l'équation

a une racine comprise entre a et p. <p"(A) ne sera pas nécessairement une limite maxima de o"[x -T- 0i|3 — a)]. Il faudra substituer à cette quantité une limite supérieure des valeurs que prend f"(x), quand x varie entre a et p.

On connaît, d'ailleurs, plusieurs moyens d'obtenir de telles limites. Par exemple, on peut, dans tous les termes de o"< .n qui ont le signe de ce polynôme, remplacer x par le plus grand en valeur absolue des deux nombres a et (3 et, dans les termes qui ont le signe contraire, remplacer x par le plus petit de ces deux nombres. G. D.

cette démonstration que l'on peut aussi rendre très sensible par des constructions, comme nous l'avons indiqué autrefois dans nos premiers Mémoires, et dans ceux de 1807 et 181 1. Si l'on prend pour exemple l'équation

à laquelle Newton et plusieurs autres analystes ont appliqué leurs méthodes d'approximation, on trouvera qu'en choisissant, pour les premières limites a et b, les valeurs

les nouvelles valeurs seraient

«'= 2,og455i48i5, b'= 2,0945514816,

les limites suivantes a" et b" contiendraient un nombre double de chiffres communs.

Les propositions que l'on vient de rapporter ne conviennent pas seulement aux équations algébriques; elles s'appliquent à toutes les équations déterminées o{x) = o, quel que soit le caractère de la fonction 9O).

Nous omettons aussi diverses remarques concernant la manière de procéder aux substitutions successives. C'est par l'usage même des règles qui viennent d'être énoncées que l'on reconnaîtra combien elles rendent les calculs faciles et rapides. Aucune méthode d'approximation n'est donc plus simple et plus générale que celle qui est rapportée dans l'article I, et qui est connue depuis l'invention de l'Analyse différentielle. Mais il était nécessaire d'ajouter à l'opération principale les règles qui servent à distinguer : i° si les premières limites sont assez approchées; 20 à laquelle de ces limites l'opération doit s'appliquer; 3° quel est le nombre des chiffres exacts que peut donner chaque partie de l'opération.

Pour connaître l'origine de la question qui vient d'être traitée, et les progrès successifs de cette méthode d'approximation, on peut consulter : Y Algèbre de Wallis; Newton, De Analysi per œquationes infinitas; Raphson, Analysis œquationum universalis; les Mémoires de l Académie de Paris, année 1744*' Lagrange, Résolution des équations numériques.