IX. Applications numériques

\. Application de la solution relative à la sphère, et comparaison avec les températures variables du solide infiniment profond. XI. Conséquences générales.

Pour citer un exemple de ce genre de questions, nous choisirons celle qui est indiquée dans le VIIe article.

On suppose un solide homogène, de dimensions infinies, terminé par un plan horizontal; tout l'espace inférieur au plan infini est occupé par la masse solide; l'espace supérieur est vide et terminé de tous côtés par une enceinte solide d'une figure quelconque et d'une température constante, que l'on désigne par zéro.

// exprime la profondeur verticale d'un point du solide, ou sa distance à la surface. La température initiale de la tranche solide dont la profondeur est u est donnée, et l'on représente cette température par F(w). La fonction F(w) est entièrement arbitraire et peut être discontinue. La substance dont le solide est formé est supposée connue, c'està-dire que l'on a mesuré : i° la densité D; i° la capacité de chaleur C ; 3° la conducibilité propre K, ou la facilité avec laquelle la chaleur passe d'une molécule solide intérieure à une autre; 4° la conducibilité extérieure h, ou la facilité avec laquelle la chaleur passe d'une molécule de la surface dans le vide. Ces trois coefficients C, A, K sont spécifiques, comme celui qui mesure la densité; ils règlent dans toutes les substances l'action de la chaleur : on en a donné les définitions exactes dans les Mémoires précédents, et l'on a fait connaître divers moyens de les mesurer.

Cela posé, le solide ayant son état initial, on commence à compter le temps écoulé pendant que la chaleur du solide se dissipe progressivement dans le vide à travers la surface. Après un certain temps t, la tranche dont la profondeur est u, et qui avait la température initiale F(//), a une température actuelle v qui varie avec le temps / et avec la profondeur //; la question consiste à trouver cette fonction v de u et de / qui exprime, pour chaque instant, l'état variable du solide pendant la durée infinie du refroidissement. Cette question exigeait une

nouvelle méthode d'Analyse dont on a donné les premières applications en 1807; elle est complètement résolue par la formule suivante (') :