CD

= a\npn -+- p c

°*pu)dpi [i

sin/>a d<x.

(') Dans lo passage qui se trouve reproduit à la page 117 de ce Volume, Fourier indique que les formules (1) et (2) du Mémoire actuel ont été inexactement transcrites et doivent être modifiées. Il nous semble cependant que la formule fondamentale (1) est exacte et qu'on peut la vérifier de la manière suivante :

i° On a évidemment

di< __ K OU-

Ot ~ CD àû* '

misque cette équation est vérifiée par chaque élément do l'intégrale. •2" On a, pour la même raison,

liv pour

Il reste donc simplement à vérifier que l'expression de v se réduit à F(«) pour / = o. Faisons / = o; nous aurons, en changeant l'ordre des intégrations.

sjfl

— sm pu -+- p eospu K ' ' . ,

. - sin/;a (tjj

L'intégration par rapport h p peut toujours être effectuée. Il suffit d'employer les formules connues

Ç" xsmbxdx

Jo *^2 "

r* ci

eosA.r

qui conduisent à la suivante

h s'mb.x — .r cosbx

sincr dx ==

c. b, k étant des constantes positives. Par un simple changement de notations, celte d< r-

La fonction F(a) étant connue, on intègre d'abord par rapport à l'indéterminée a, entre les limites a = o et a = se. Le résultat de cette intégration est une fonction de p. On intègre ensuite, par rapport à l'indéterminée/;, entre les limites/?=o et p=?o. Le résultat de cette intégration ne contient plus p, en sorte que l'on obtient pour v une fonction de a et des constantes D, G, h, K. L'analyse dont on déduit cette solution ne consiste pas seulement a exprimer les intégrales par la somme de plusieurs termes exponentiels. Cet usage de valeurs particulières était connu depuis l'origine du calcul des différences partielles. La méthode dont nous parlons consiste surtout à déterminer les fonctions arbitraires sous les signes d'intégrale définie, en sorte que le résultat de l'intégration soit une fonction quelconque, qui est donnée, et qui peut être discontinue.

On peut connaître aussi la quantité de chaleur qui, pendant un temps donné, traverse une des tranches du solide, et, en général, il n'y a aucun élément du phénomène qui ne soit clairement exprimé par la solution. Si l'on suppose que la température initiale a une même valeur h, depuis la surface jusqu'à une certaine profondeur A, et que, au

nière formule nous donne

— sinpit -+- p cos pu l

— .— sihoa dp — <

smpoc dp — ' ~i,<-ai

lui parlant celte valeur dans l'expression de <\ on obtient le résultat suivant :

da.

Si l'on suppose que la fonction

s'annule pour -/. = -s-, il reste simplemenl

delà de cette profondeur, la température initiale est zéro, on trouve

ibh ( e (:1) fh s,\npu (2 ) ~~ WF I ~AT \ K ~~p + C0SpU l SU1 verse^A dP-

Si l'on suppose infinie la ligne dont tous les points ont la température initiale b, on trouve, par un examen très attentif,

Kl P'-TT,

?.bh I e cu (h sin pu \ ,

(3) V=^ l -— - ^. ■-- -+cospuJdp.

Pour connaître l'état variable de la surface depuis le commencement du refroidissement, il faut supposer u = o, et l'on a

Cette dernière expression équivaut à l'intégrale indéfinie

(5) e= -=eR" / e-'-dr;

la valeur de la limite R est

V/KCD

Sous cette forme, la valeur de v est toute calculée au moyen de la seconde Table que M. Kramp a donnée dans son Ouvrage Sur les réfractions astronomiques. Lorsque la valeur de t est devenue assez grande, par exemple si elle surpasse mille années, et si la substance du solide est le fer, la température variable de la surface est exprimée sans erreur appréciable par la formule très simple

b /KCD

Ainsi la température de la surface varie en raison inverse de la ra-

cine carrée des temps écoulés depuis le commencement du refroidissement. La valeur du temps / étant devenue beaucoup plus grande que mille années, c'est cette équation (6) qui exprime, en fonction de t et des constantes K, C, D, h, la température variable v de la surface du »lobe terrestre, pendant un nombre immense de siècles.

Si l'on compare le mouvement de la cbaleur dans un solide d'une profondeur infinie à celui qui a lieu dans une spbèrc solide, d'un rayon très grand, comme celui de la Terre, on reconnaît que les deux effets doivent être les mêmes pendant un temps immense, et pour toutes les parties qui ne sont pas extrêmement éloignées de la surface. 11 suit de là que les intégrales précédentes doivent aussi être données par les formules qui expriment le mouvement variable de la cbaleur dans une spbère d'un rayon quelconque.

Dans cette dernière question, on désigne par X le rayon total, et par x le rayon d'une couebe spbérique intérieure. La température initiale du solide est connue; elle est représentée par ¥(x), et la fonction F(a?) est entièrement arbitraire; / désigne le temps écoulé à partir de cet état initial, et v est, après le temps écoulé /, la valeur actuelle de la température d'une couebe spbérique dont le rayon est x. On suppose que la cbaleur se dissipe librement à la surface dans un espace vide, que termine une enceinte solide dont la température constante est zéro. Les coefficients spécifiques D, C, h, K mesurent les quantités que nous avons déjà définies. Cela posé, les équations différentielles qui expriment le mouvement de la cbaleur dans cette spbère sont

Os deux équations et l'intégrale (9) que nous allons rapporter ont été données, pour la première fois, dans un Mémoire remis à l'Institut de France, le 21 décembre 1 80- ( p. i/j3, i44°l i5o). Il est nécessaire

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