LA THÉORIE DES MOMENTS
Journal de l'Ecole Polytechnique, Ve Cahier, p. 20, année 1798.
Géométrie est probare.
AnisT.
1. On trouve dans les écrits des Grecs le germe des théories mécaniques que nous possédons aujourd'hui. Archimède appliqua la Géométrie à la Statique, et même la Statique à la Géométrie; il trouva de cette manière la première quadrature d'une aire curviligne. Ses découvertes en Mécanique servent encore de fondement à cette science.
Les plus anciens Traités qui nous soient parvenus sur la Mécanique rationnelle sont ceux d'Aristote; ils ont été loués sans mesure par ses commentateurs, et depuis négligés sans examen. Ce philosophe parait avoir connu les principes les plus importants de la Mécanique. Il expose, en termes précis, celui de la composition des mouvements ('); il a même eu quelque idée de la manière dont les forces centrales agissent dans les mouvements en ligne courbe (2). Son explication physique de la
(') Manifestum igitur quod id quod secundum diametrum in duabus Jertur lationibm necessario secundum laterum proportionem fertur. (Ouïes t. mechaii,, Cap. II.)
( 2 ) Quod quidem ea quee circulant describit duos simul feratur lationes manifestum est . . . omni quidem circulum describenti illud accidit; et jertur eam quidem lationem
secundum circumfercntiani illam, vero in transversum et secundum centrant. (Quœst . mechan., Cap. II.)
cause de l'équilibre des poids inégaux dans le levier est ingénieuse, quoique imparfaite. 11 rapporte à cette première machine le tour, les moufles, les roues dentées, le coin ('), etc.; ailleurs, il enseigne que les forces sont égales lorsque les masses sont réciproquement proportionnelles aux vitesses (2). Voilà ce qu'il me semble avoir reconnu dans ses Traités, à travers mille obscurités et une foule d'idées singulières, ou qui paraissent aujourd'hui incohérentes. On peut ajouter que ses écrits offrent les premières vues sur le principe des vitesses virtuelles.
Galilée et Descartes eurent depuis quelque connaissance de cette vérité. Jean Bernoulli, qui en est, à proprement parler, l'inventeur, l'annonça au commencement du siècle sans en publier de démonstration (voir le IIe Volume de la Mécanique de Varignon). Cette découverte fut communiquée à Varignon dans le temps qu'il composait sa nouvelle Mécanique : il parvint à prouver le théorème dans plusieurs cas particuliers; mais cette énumération, nécessairement incomplète, ne l'a point conduit à la démonstration générale. Depuis, la Mécanique a été rapidement perfectionnée : cette science n'a plus aujourd'hui de difficultés qui lui soient propres, et, considérée dans ses rapports les plus étendus, elle se réduit à une question de calcul. Ce résultat, l'un des plus beaux que l'on ait obtenus dans les sciences exactes, est l'objet de la Mécanique analytique. L'auteur de ce grand Ouvrage a vu, dans la proposition longtemps stérile de Bernoulli, une vérité primordiale, dont les conséquences les plus fécondes découlent sans exception et sans effort.
Maintenant que l'importance du théorème est bien établie, il est temps de suppléer au silence de l'inventeur, et de reconnaître si le principe des vitesses virtuelles peut être fondé sur des preuves générales, exemptes d'obscurité et d'incertitude. Je me suis proposé cette
( ' ) Ea quee circa veclem fiunt, ad ipsam libram . . . refertuitur ; alla autern fere omnia quœ circa mechanicas sunt motiones, ad vectem. {Quœst médian., Cap. 1.)
('2) Si igitur a est quod movet, [3 quod movetur, ~( longitudo per quam rnotum est, o tempus quo movetur, sane œquali tempore 8 œqualis vis a dimidium ipsius (3 movebil per longitudlnem di/plo majorent quam y .... (Natur. auscult., Lib. VU, Cap. VI.)
recherche; et, quoiqu'elle ne soit pas le seul hut de cet Ecrit, je l'ai eue principalement en vue. J'ai pensé aussi qu'il ne suffisait pas de prouver, d'une manière absolue, la vérité de la proposition, mais qu'on devait le faire indépendamment de la connaissance que nous avons des conditions de l'équilibre dans les différentes espèces de corps, puisqu'il s'agit de considérer ces conditions comme des conséquences de la proposition générale. Cet objet se trouve rempli par les démonstrations que nous allons rapporter; il nous semble qu'elles ne laissent rien à désirer sous le double rapport de l'étendue et de l'exactitude. Nous supposerons connu le principe du levier, tel qu'il est démontré dans les Livres d'Archimède, ou, ce qui revient au même, le théorème de Stevin sur la composition des forces, et quelques propositions qu'il est aisé de déduire des précédentes.
2. Si un corps est déplacé par une cause quelconque suivant une certaine loi, chacune des quantités qui varient avec sa position, comme la distance d'un de ses points à un point ou à un plan fixe, est une fonction déterminée du temps, et peut être considérée comme l'ordonnée d'une courbe plane dont le temps est l'abscisse; la tangente de l'angle que fait cette courbe à l'origine avec la ligne des abscisses, ou la première raison de l'accroissement de l'ordonnée à l'abscisse, exprime la vitesse avec laquelle cette quantité commence à croître, ou, pour nous servir d'une dénomination reçue, la fluxion de cette quantité.
Le corps étant soumis à l'action de plusieurs forces, si l'on prend sur la direction de chacune un point fixe dont la force tende a rapprocher le point du système où elle est appliquée, le produit de cette forée par la fluxion de la dislance entre les deux points est le moment de la force : le corps peut être déplacé d'une infinité de manières, et à chacune répond une valeur du moment. Si l'on prend le moment de chaque force pour un même déplacement, la somme de tous ces moments contemporains sera appelée le moment total, ou le moment des forces, pour
ce déplacement. Nous distinguerons d'abord les déplacements compatibles avec l'espèce et l'état du système, de ceux qu'on ne peut lui faire éprouver sans altérer les conditions auxquelles il est assujetti, et nous supposerons ces conditions exprimées, autant qu'il est possible, par des équations.
Maintenant le principe des vitesses virtuelles consiste en ce que les forces qui sollicitent un corps, de quelque nature qu'il puisse être, étant supposées se faire équilibre, le moment total des forces est nul pour cbacun des déplacements qui satisfont aux équations de condition.
Jean Bernoulli considère au lieu des fluxions les accroissements naissants. 11 faut alors regarder cbacun des points du système comme décrivant un petit espace rectiligne d'un mouvement uniforme pendant un instant infiniment petit. Ce petit espace projeté perpendiculairement sur la direction de la force est la vitesse virtuelle; et si on la multiplie par la force, le produit représente le moment. J'adopterai cette beureuse abréviation, et tous les procédés usités du Calcul différentiel.
Nous examinerons, en premier lieu, l'équilibre des forces qui sollicitent un point, et nous cbercherons quelle est la valeur du moment total lorsque ce point est infiniment peu dérangé de sa situation. De là nous passerons à la recherche des conditions de l'équilibre, lorsque les forces agissent sur une ligne droite inflexible ou sur deux surfaces qui se résistent mutuellement; on peut toujours faire dépendre de ces éléments l'équilibre d'un système matériel quelconque.
3. En généralisant le théorème de Stevin, on reconnaît que les forces qui se font équilibre sur un point sont représentées en quantité et en direction par les côtés d'un polygone situés ou non dans le même plan; et cela prouve que, si l'on projette les droites proportionnelles aux forces", sur une ligne qui passe par le point qu'elles sollicitent, la somme des projections est nulle. Maintenant, si l'on appelle p, p', p", ... les forces en équilibre; //, u', u", ... les angles formés par les
directions de ces forces et une ligne droite quelconque qui passe par le point où elles sont appliquées, et dr l'espace parcouru sur la ligne lors du déplacement de ce point, la somme des projections sera
p cos u ■+■ p' cos u' -+- p" cos u" -h. . .,
et la somme des moments
p dr cos u -+- p' dr cos u' -+- p" dr cos u" M-
Cette dernière quantité sera donc nulle, de quelque manière que le point soit dérangé de sa position actuelle.
Cette proposition peut être prouvée de différentes manières : par exemple, elle se déduit facilement des propriétés du centre de gravité. Si, à partir du point mobile, on porte sur les directions des forces des lignes qui les représentent, le point commun est, comme on le démontre dans les éléments, le centre de gravité des extrémités des lignes; d'un autre côté, le centre de gravité de plusieurs points a, comme il est aisé de le voir, cette propriété que la somme des carrés des distances du centre aux points est un moindre : donc, en nommant ces distances e, é, e", e", ..., on aura
ede-^é de' 4- e" de1 + e'" dem + ...= o.
4. Supposons maintenant que deux forces égales et contraires, appliquées aux extrémités d'une ligne droite inflexible, agissent dans sa direction, et cherchons la valeur du moment total pour un dérangement quelconque de la ligne. Si- l'on regarde d'abord comme entièrement libres les deux points que les forces sollicitent, et que l'on prenne chacun des deux points pour le centre fixe de la force qui sollicite l'autre, il sera aisé de voir que, leur distance étant une fonction de leurs coordonnées, la vitesse virtuelle du premier sera égale à la différentielle de la distance, prise en faisant varier seulement les coordonnées de ce point; il en sera de même du second : en sorte que le moment total, qui est ici proportionnel à la somme des vitesses virtuelles, le sera aussi à la somme des différentielles partielles qui repré- II. 6i
sentent ces vitesses, c'est-à-dire à la différentielle complète de la distance entre les deux points {voir la Mécanique analytique , Ire Partie, 2e Sect., art. 4). Ainsi, dans le cas où la distance est constante, la valeur du moment total est nulle.
On peut s'assurer autrement de la vérité de cette proposition. Les déplacements qu'une ligne droite peut éprouver se composent de cinq mouvements simples : dans les trois premiers, la ligne, qui se confondait d'abord avec l'un des trois axes, demeure parallèle à elle-même, et s'avance suivant un de ces trois axes; dans les deux autres, la ligne tourne autour d'un de ses points dans un plan parallèle, ou dans un plan perpendiculaire au plan rectangulaire où elle se trouvait d'abord. Or, si la ligne n'éprouvait qu'un seul de ces dérangements simples, quel qu'il fût, la somme des moments serait évidemment nulle : de là et des principes du Calcul différentiel, il suit que le moment total relatif à un mouvement composé quelconque est aussi nul.
En général, il arrive toujours que les moments partiels dus aux mouvements simples d'un système quelconque s'ajoutent pour composer le moment total, de la même manière que les différentielles partielles forment la différentielle complète (wo*> plus bas, art. 8).
Il suit encore de l'expression du moment total que, si la distance des deux points est variable, et que les forces tendent à l'augmenter, la somme des moments sera négative si cette distance devient, en effet, plus grande, et positive si la distance diminue. Si les deux forces tendent à rapprocber les deux points, leur moment total sera négatif ou positif, selon que ces deux points s'approcheront ou s'éloigneront.
5. Si les deux forces, au lieu d'être opposées, agissent dans le même sens, il est clair, d'après ce qui vient d'être dit, que le moment de la première sera égal au moment de la seconde pour un même déplacement de la ligne supposée inflexible. Il en est donc du moment d'une force comme de son effet; l'un et l'autre ne changent point lorsqu'on applique cette force à différents points de sa direction, considérée comme une ligne solide; au reste, cette conséquence, dont on fera un
usage fréquent, peut se déduire immédiatement du calcul, comme il suit :
Appelons x, y, z les coordonnées d'un point indéterminé de la ligne, rapportée à trois plans rectangulaires, e la longueur de cette ligne depuis ce point jusqu'à celui où elle rencontre le plan des xy. Nous désignerons par S les variations dues au dérangement de la ligne, et par d les différences finies des coordonnées de ses différents points. Si z varie seule de oz, la vitesse virtuelle du premier point est moindre
que Sz dans la raison de z à e, ou de dz à de. Cette vitesse est -r-&s;
celle due à la seule variation Ix serait ~r-;Ox; et Sy donnerait aussi la
vitesse virtuelle -r&~- Si les trois changements ont lieu à la fois, la vitesse virtuelle sera donc
dx . dy . dz .
— àx ■+■ -j- àv + -7- oz.
de de de
Or on peut voir que la valeur de cette expression ne dépend point de celles des coordonnées x, y, z, ou, ce qui est la même chose, que la différence prise selon d est nulle; car on trouve pour cette différence,
en remarquant que -t-> -^-» -^ sont constantes par la nature de la ligne
droite,
dx , . dy ,. dz , »
dàx+^dèy+j-dàz,
quantité qui se réduit à zéro. En effet, les points de la ligne déplacée ne changeant point de distance, la différentielle prise selon S de dx2 -+- dy2 -\- dz'2 doit être nulle. On a donc l'équation
dx ddx -+■ dy àdy -+- dz ddz =: o,
ou, divisant par de et transposant d et £,
dx ,, dy ,„ dz .^
—r- ddx h — ~ dùy -\ — =- ddz = o.
de de de
C'est pourquoi les vitesses virtuelles de deux points quelconques de la ligne sont les mêmes, de quelque manière qu'elle soit déplacée. Cette
proposition ne signifie pas que la première raison des deux espaces contemporains, parcourus dans le sens de la ligne, est toujours l'unité, mais que les expressions de ces deux espaces ne peuvent différer que dans les parties où les dimensions des variations sont élevées.
6. Si l'on considère deux forces qui se font équilibre étant appliquées aux extrémités d'un fil inextensible, il sera facile de connaître leur moment total pour un déplacement compatible avec la nature du corps en équilibre. Il suit de l'article précédent que le moment est nul toutes les fois que la distance est conservée, c'est-à-dire lorsque l'équation de condition est satisfaite. Pour tous les autres déplacements possibles, le moment est positif, et le système en équilibre ne peut être troublé de manière que le moment total soit négatif.
7. Concevons maintenant que deux surfaces inflexibles se résistent mutuellement, étant pressées au point du contact par deux forces égales, contraires, et perpendiculaires au plan du contact : il s'agit de trouver la valeur du moment total pour un dérangement quelconque du système en équilibre. Si l'on regarde chacune des normales comme une ligne inflexible, on pourra appliquer les forces à des points quelconques de leur direction sans que la valeur du moment total dû à un déplacement quelconque du système diffère de celle qu'on aurait obtenue d'abord pour ce même déplacement. Or on peut remarquer que, si l'on désigne en dedans des surfaces deux points des perpendiculaires très voisins du point de contact, ces deux points ne peuvent être moins distants qu'ils ne le sont présentement dans la situation de l'équilibre; en sorte que la distance augmente, ou ne change point, toutes les fois que le système est dérangé. Cette première distance est donc la moindre de toutes celles qui ont lieu lorsqu'on fait varier la position respective des deux superficies qui ne cessent pas de se toucher; et, la loi de continuité étant observée, il est nécessaire que la différentielle soit nulle. D'un autre côté, le moment total des deux forces est proportionnel à la variation de la distance des deux points qu'elles sollicitent; donc ce moment total est nul, quel que soit le déplacement.
8. On peut parvenir directement à ce résultat par l'énumération des dérangements simples que le système des deux surfaces peut éprouver. En effet, on peut choisir à volonté un point sur chacune des deux surfaces, et, regardant l'une comme fixe, placer l'autre de manière que les deux points désignés se confondent dans le contact; puis, sans que ce contact cesse d'avoir lieu entre les mêmes points, faire tourner d'une quantité arbitraire la seconde surface sur la normale au point du contact, considérée comme un axe fixe. De plus, les deux superficies conservant entre elles la même situation, on peut en déplacer le système de la même manière qu'un corps solide. Ainsi, il entre onze quantités arbitraires dans le dérangement des deux surfaces, savoir : deux pour chacun des deux points désignés, une pour le mouvement autour de la normale, et six qui répondent, comme on le sait, au déplacement d'un système solide. Il suit de là que la somme des deux espaces décrits lors du dérangement, et dans le sens de la normale, par les points qui se touchaient d'abord est une certaine fonction des onze indéterminées, lesquelles sont toutes supposées nulles dans la situation de l'équilibre. La variation de cette somme, qui est la somme des vitesses virtuelles, est donc une fonction linéaire des variations arbitraires de ces indéterminées. Il en résulte un moyen facile de reconnaître la valeur du moment total dû à un dérangement quelconque : il suffira de faire varier séparément une ou plusieurs des onze indéterminées, et de distinguer, dans chacun des cas en particulier, la valeur du moment total; car la somme de ces valeurs partielles sera la valeur complète d u moment. Or il est aisé de remarquer que, si l'on fait varier les deux premières seulement, ou les deux suivantes, ou la cinquième seule, ou les six dernières, le moment total des deux forces est toujours nul : d'où l'on doit conclure que la somme cherchée des moments des deux forces est nulle, de quelque manière que les deux surfaces soient déplacées sans qu'elles cessent de se toucher.
Il n'en est pas de même si les deux surfaces se séparaient entièrement lors du déplacement. Au reste, il suit de l'article précédent que le moment total, qui est toujours proportionnel à la variation de la
i8G STATIQUE.
distance des deux points que les forces sollicitent, et qui est de même signe, parce que les forces tendent à diminuer la distance, est nécessairement nul ou positif, quel que soit le dérangement qui survienne dans la situation des deux surfaces. Ainsi on ne peut pas les faire sortir de la position actuelle de l'équilibre de manière que le moment ait une valeur négative.
9. Les principes qui viennent d'être exposés suffisent pour déterminer directement, et, pour ainsi dire, a priori, la valeur du moment des forces qui se font équilibre sur un système quelconque, solide, flexible ou fluide.
On peut remarquer d'abord qu'il suit de l'article 3 que, si des forces sont appliquées à un point et qu'on leur substitue leur résultante, le moment de cette dernière force, dû à un déplacement quelconque, est le même que la somme des moments des composantes pour ce même déplacement. D'un autre côté, le moment d'une force ne change point lorsqu'on l'applique à différents points de sa direction (art. 4). De plus, si plusieurs forces parallèles sollicitent un plan, la somme de leurs moments sera égale au moment de leur résultante pour un dérangement quelconque du plan. Nous ne nous arrêtons point à la démonstration de cette dernière proposition, qui peut, d'ailleurs, être regardée comme une conséquence des deux précédentes. Les procédés de la composition et décomposition des forces, se réduisant à prolonger les directions des forces et à composer les forces parallèles ou celles qui agissent sur un point, il en résulte cette propriété générale des moments, qu'on ne change pas le moment total des forces pour un déplacement quelconque, en leur substituant leurs résultantes, ou les combinant suivant les règles connues de la composition et décomposition des forces. Ainsi le moment des forces est constant, tant que l'effet qu'elles tendent à produire n'est point changé.
10. Cette remarque s'applique naturellement à l'équilibre des corps durs : en effet, si l'on suppose que plusieurs forces appliquées à un corps solide se font équilibre, et qu'on se propose de connaître la
valeur du moment de ces forces lorsque le corps éprouve un déplacement quelconque, il suffira de déterminer les résultantes des forces, et d'estimer le moment de ces résultantes pour le même déplacement. Or, si l'on prolonge les directions des forces jusqu'à la rencontre d'un plan commun, qu'à ces points de rencontre on décompose chaque force en deux, dont l'une sera dans le plan et la seconde perpendiculaire au plan, il sera d'abord nécessaire, comme on peut s'en assurer, que les forces perpendiculaires se détruisent séparément et se réduisent à deux résultantes égales, contraires, et appliquées au même point. De même, en prolongeant les directions des forces qui agissent dans le plan jusqu'à la rencontre d'une commune ligne, et décomposant chacune d'elles en deux, dont l'une est perpendiculaire à la ligne, et l'autre est dirigée suivant celte ligne, il faudra que ces forces perpendiculaires à la ligne aient deux résultantes égales, contraires, et appliquées au même point. Enfin les forces qui agissent dans la direction de la ligne se réduisent aussi à deux qui se détruisent entièrement; en sorte que, en tout équilibre d'un corps dur, il se trouve toujours un plan, une ligne et un point sollicités par deux forces égales et contraires. Les six résultantes étant ainsi déterminées, il est manifeste que leur moment total est toujours nul ; d'où l'on doit conclure que, de quelque manière qu'on déplace un corps solide soumis à l'action de plusieurs forces qui se détruisent, la somme des moments de ces forces est toujours nulle.
11. On peut prouver par les mêmes moyens la proposition réciproque, qui consiste en ce que les forces qui sollicitent un corps solide se font nécessairement équilibre si la somme de leurs moments est nulle pour tous les déplacements possibles.
L'équilibre d'un corps solide libre se réduit toujours à l'opposition directe des forces égales. Si le corps n'est pas libre, ce sont les résistances qui détruisent les dernières résultantes. Les équations de condition expriment alors que les points du système où les forces résultantes agissent sont fixés à des points immobiles, ou ne peuvent être
transportés hors de certaines surfaces. C'est pourquoi, pour tous les dérangements qui satisfont aux équations de condition, le moment des résultantes est nul; donc le moment total des forces appliquées est nul pour ces mêmes déplacements.
Comme il arrive souvent que les points du système s'appuient seulement sur les obstacles fixes, sans y être attachés, il est évident qu'il y a des déplacements possibles qui ne satisfont pas aux équations de condition : on voit encore que, par ces déplacements, le moment des résultantes est nécessairement positif, puisque la direction de ces forces doit être perpendiculaire aux surfaces résistantes. Ainsi la somme des moments des forces appliquées est positive pour tous les déplacements de cette espèce; mais il est impossible que l'on dérange un corps dur, en équilibre, de sorte que le moment total des forces appliquées soit négatif. Au reste, si l'on considère les résistances comme des forces, ce qui fournit, comme on le sait, le moyen d'estimer ces résistances, le corps peut être regardé comme libre, et la somme des moments est nulle pour tous les déplacements possibles.
12. Pour connaître la valeur du moment total des forces qui sollicitent un corps dur et se font équilibre, on pourrait distinguer les six mouvements simples dont un pareil corps est susceptible, et l'on reconnaîtrait sur-le-champ que, dans chacun de ces mouvements en particulier, la somme des moments est nulle.
Cette propriété des moments, qui consiste en ce que la valeur du moment des forces appliquées est la même que celle du moment correspondant des résultantes, présente une analogie manifeste avec le principe des vitesses virtuelles ; car, si l'équilibre d'un certain système peut être réduit par les procédés de la composition des forces à l'opposition directe de résultantes égales, il s'ensuit que la somme des moments des forces appliquées est nulle. On ne peut opérer cette réduction sans démontrer en même temps la vérité du principe des vitesses virtuelles. Il nous semble que cette simple remarque aurait épargné à Varignon les détails dans lesquels il se crut obligé d'entrer
lorsqu'il voulut prouver la proposition de Bernoulli : car, ayant le premier expliqué les différentes espèces d'équilibre, avec beaucoup de sagacité et d'exactitude, par les seuls principes de la composition des forces, il avait par cela même établi dans tous ces cas la vérité de cette proposition.
La considération des forces se lie donc naturellement à celle des moments. Ils se composent de la même manière et se transforment par les- mêmes procédés. De là vient qu'ils se déduisent en même temps, dans le cas de l'équilibre.
13. Il est facile d'appliquer à l'équilibre des corps flexibles les principes exposés ci-dessus.
Concevons un système de corps solides unis par des fils inextensibles et sollicités par des forces quelconques, telles qu'il y ait équilibre indépendamment de toute résistance extérieure; il est question de déterminer la valeur du moment total pour un déplacement du système. On remarquera d'abord que les forces qui sollicitent ebacun des corps pris en particulier se détruisent mutuellement; et ces forces ne sont pas seulement celles qui lui étaient appliquées, mais aussi celles qui proviennent des résistances ou tensions des fils placés entre les points de ce corps et les points des corps voisins : la somme des moments de ces forces qui agissent sur ebacun des corps est donc nulle en particulier. C'est pourquoi, en considérant à la fois toutes les forces (jui agissent sur tous les corps, on peut dire que leur moment total esl nul pour tous les déplacements imaginables, même pour ceux que la présence des fils ne permet pas. Il faut maintenant choisir, parmi ces déplacements, ceux qui satisfont aux équations de condition, et chercher quelle est pour ces derniers la valeur du moment total des seules forces qui proviennent des tensions. On reconnaît bientôt que cette valeur est nulle. En effet, ebacun des fils est tiré à ses deux extrémités par deux forces égales et contraires; et ces mêmes forces, prises en sens oppose, sont précisément celles que l'on [tonnait substituer an fil sans que l'équilibre fût troublé. Or, la distance des points que ces II. 62
deux forces tendent à rapprocher étant conservée, leur moment total est nul, et il en est de même de toutes les forces de tension prises deux à deux. On doit conclure de là que la somme des moments des seules forces appliquées au système en équilibre est nulle pour tous les déplacements qui satisfont aux équations de condition.
Si la distance des extrémités des fils n'est pas conservée lors du déplacement, comme elle ne peut que devenir moindre, et que les forces que nous appelons forces de tension tendent en effet à la diminuer, il s'ensuit que la somme des moments de toutes ces dernières forces est négative : c'est pourquoi la somme des moments des seules forces appliquées est nécessairement positive pour les dérangements de cette espèce, et le système en équilibre ne peut jamais être déplacé de manière que le moment des forces soit négatif.
14. Supposons maintenant qu'un amas indéfini de corps durs, de figure et de dimensions quelconques, soit sollicité par des forces auxquelles ces corps résistent, en se servant mutuellement d'appui, tellement qu'il y ait équilibre; on propose de déterminer la valeur du moment total pour un dérangement du système. Pour y parvenir, on remarquera que chacun des corps est en équilibre en vertu des forces qui peuvent lui être appliquées et de celles qui équivalent aux résistances des corps voisins; que ces dernières forces de pression sont égales deux à deux et dirigées en sens contraire selon la perpendiculaire au plan de contact; en sorte que deux forces conjuguées, étant prises en sens opposé, tiendraient seules en équilibre les superficies auxquelles elles sont appliquées. 11 suit de cette dernière condition que, si le contact dont la pression résulte est conservé, quoique en des points différents, lors du déplacement du système, le moment total des deux forces est nul; mais que ce moment est négatif si ces deux corps se séparent entièrement. Maintenant, en considérant à la fois toutes les forces qui agissent sur tous les corps, il est certain que la somme de leurs moments doit être nulle pour tous les dérangements que l'on peut concevoir, même pour ceux qui sont empêchés par l'impénétrabi-
lité mutuelle des solides. Or, pour les déplacements compatibles avec cette dernière condition, le moment de toutes les forces de pression est nul ou négatif. Donc, pour tous les dérangements possibles, la somme des moments des seules forces appliquées est nulle ou positive : elle est nulle lorsque les équations qui expriment que le contact doit avoir lieu sont satisfaites, et positive toutes les fois que deux corps qui se touchaient et se pressaient sont entièrement séparés : il n'y a aucun dérangement possible pour lequel la somme des moments soit négative. Si l'on regardait les fluides incompressibles comme des assemblages de molécules extrêmement ténues indépendantes entre elles, et qui se résistent mutuellement à la manière des corps solides, on leur appliquerait immédiatement le résultat que nous venons d'obtenir, puisqu'il ne dépend ni du nombre, ni de la figure des corps; mais cette supposition, qui se présente si naturellement, ne nous semble pas devoir être admise : tout nous avertit, au contraire, que la matière fluide n'est point un amas de petits corps durs qui se touchent. II est vrai que les forces qui s'opposent au rapprochement des éléments voisins produisent le même effet que le contact; c'est pourquoi nous emploierons des moyens analogues pour rechercher les conditions de l'équilibre des fluides incompressibles.
I."). 11 est d'abord certain que, si un pareil fluide, soumis à l'action de plusieurs forces, demeure en équilibre, il n'y a aucun des points matériels dont il est composé qui ne soit sollicité par des forces qui se détruisent. Ces forces ne sont pas seulement celles qui étaient appliquées au système, mais, de plus, celles qui équivalent aux résistances que le fluide oppose à la compression : chacune de ces forces de résistance est le résultat de l'action séparée de certains points de la masse sur celui que l'on considère. Cette action d'un point sur un autre ne peut s'exercer que dans le sens de la ligne qui les joint. Chacun de ces deux points en souffre autant qu'il en produit; et ces deux forces, qui s'opposent à la compression du fluide et contribuent à en conserver le volume, tendent actuellement à augmenter la distance des deux points.
Y,\-l STATIQUE.
Si l'on considère en même temps les forces appliquées et celles qui proviennent des résistances, il est visible que la somme de leurs moments est nulle pour un déplacement quelconque, compatible ou non avec l'incompressibilité du fluide. Or cette dernière qualité consiste en ce que les forces qui s'opposent à la diminution du volume ne peuvent pas être vaincues; ou, ce qui est la même chose, que les distances, que ces forces tendent actuellement à augmenter, ne peuvent pas être rendues moindres : de sorte qu'on ne doit pas supposer que le fluide, étant incompressible, puisse être déplacé de manière que ces distances diminuent. Il en faut conclure que la somme des moments des seules forces de résistance ne peut être positive pour aucun des déplacements possibles; donc la somme des moments des seules forces appliquées n'est jamais négative, de quelque manière que le système soit déplacé : de là il s'ensuit, comme nous allons le prouver, que cette somme est toujours nulle pour les déplacements du fluide qui satisfont aux équations de condition.
On peut faire voir, en général, que, si les conditions auxquelles le système matériel est assujetti sont exprimées par des équations, et (jue pour aucun des dérangements que le système peut éprouver la somme des moments des forces ne soit négative, il est nécessaire qu'elle soit nulle lorsque les équations de condition sont satisfaites. En effet, l'expression analytique du moment total comprenant toujours les coordonnées des différents points du système et leurs différentielles linéaires, si l'on différentie les équations de relation entre ces coordonnées, on pourra, dans tous les cas, concevoir, quel que soit le nombre de ces équations, qu'on s'en sert pour éliminer le plus grand nombre possible de différentielles de la formule qui exprime le moment total. Il ne restera plus dans cette formule d'autres différentielles que celles qu'on doit regarder comme absolument arbitraires. Soient du, du', du", du", ... ces différentielles restantes, dont les coefficients A, 1$, C, D, . . . sont des fonctions des coordonnées. Puisque, selon l'hypothèse, la quantité
A du + B du' -+- C du" ■+ D du'" -h . . .
ne peut pas avoir de valeurs négatives, il s'ensuit qu'elle ncn peut avoir non plus de positives; car si, en déterminant d'une certaine manière les différentielles du, du', du", du", ..., la quantité
A du + B du' + C du" h- . . .
était positive, il suffirait de prendre chacune de ces différentielles avec un signe contraire pour que sa valeur devînt négative : or les variations du, du, du", du", ... peuvent être choisies à volonté; et, de quelque manière qu'on les détermine, il est certain que le déplacement du système qui en résultera sera possible, étant compatible avec les équations de condition. Donc il arriverait qu'on pourrait déranger le système de manière que la somme des moments des forces fût négative, ce qui est contre l'hypothèse : ainsi il est nécessaire que la quantité
A du -+- B du' -+- C du" -+- . . . ,
qui ne peut être ni positive, ni négative, soit toujours nulle lorsque les équations de condition sont satisfaites.
Il est aisé d'en faire l'application à l'équilibre des fluides. En effet, on exprime par des équations qu'il n'y a aucune des molécules, quelque petite qu'on la suppose, qui ne conserve son volume; et il est visible que tous les déplacements pour lesquels cela a lieu sont compatibles avec l'incompressibilité de la masse fluide. Il suit de cette dernière propriété que, pour chacun de ces dérangements, la somme des moments des forces appliquées est nulle ou positive : de là, et de ce que les équations de condition sont remplies, on déduit que cette somme est nulle.
Les fluides incompressibles présentent donc aussi ces propriétés générales, dont la première est le principe des vitesses virtuelles, que, de quelque manière que le système en équilibre soit déplacé, la somme des moments des forces est nulle toutes les fois que les équations de condition sont satisfaites; que, pour tous les autres déplacements possibles, le moment total est positif, et que, par conséquent, le système n'en peut éprouver aucun pour lequel la somme des mo-
ments soit négative.
16. Nous avons été conduits naturellement à reconnaître dans un système matériel quelconque des forces qui s'opposent, dans certains corps, au rapprochement des éléments voisins, dans d'autres à leur éloignement, ou quelquefois à tout changement de la distance. Au reste, ces expressions ne doivent pas être prises dans un sens absolu : les forces dont il s'agit ne sont jamais excitées que par quelque variation dans la distance. La matière des corps durs et des fluides incompressibles n'est pas privée d'élasticité. Les raisonnements précédents supposent seulement l'existence de ces forces, qui n'est pas incertaine, mais il se mêle à l'idée que nous nous en formons aujourd'hui quelque chose d'obscur. L'ignorance où nous sommes de la constitution intérieure de la matière ne permet guère de juger clairement de cette action réciproque des points physiques, qui conserve les distances et protège en quelque sorte, contre toute action étrangère, la forme particulière du composé. Nous avons déjà évité ces considérations, en traitant de l'équilibre des corps solides, et l'on peut y parvenir de la même manière dans les deux autres cas; mais il y a des moyens plus généraux de trouver les conditions de l'équilibre; nous allons en faire usage, et nous établirons le principe des vitesses virtuelles sans avoir égard à la nature particulière du système que les forces sollicitent. Nous avons pensé qu'on ne pouvait apporter trop de soins à présenter avec clarté la démonstration d'un principe qui doit servir de base à la Mécanique.
17. Nous avons trouvé dans les articles précédents que la valeur du moment des forces qui se font équilibre se réduit toujours à zéro, ou, plus généralement, qu'elle est nulle ou positive. Voici d'autres moyens de se convaincre de la vérité de cette proposition :
Au lieu de transformer, comme nous l'avons fait jusqu'ici, les forces qui sollicitent le système, nous substituerons à ce système, sur lequel elles agissent, un corps plus simple, mais susceptible d'être déplacé de la môme manière, et par là nous ferons dépendre les conditions de
l'équilibre du système des propriétés de l'équilibre du corps qui le remplace.
Supposons que les puissances appliquées à un système matériel solide ou fluide, assujetti à des conditions quelconques, aient un moment total nul pour un certain déplacement, il sera facile de reconnaître, comme nous allons le prouver rigoureusement, que les puissances ne peuvent point opérer dans le système le dérangement en question. Soient p, q, r, s, ... les points où les forces P, Q, R, S, . . . sont appliquées; considérons en particulier le dérangement qui a lieu lorsque les points /?, q, r, s, . . . , venant à se mouvoir suivant des lignes que nous pouvons désigner par p', q', r, s', . . . , prennent les vitesses virtuelles initiales dp, dq, dr, ds, ... rapportées aux directions des forces. La valeur du moment est
P dp -+- Q dq 4-Rrfr-h...,
et on la suppose nulle; d'où il s'agit de conclure que ce déplacement ne peut pas résulter de l'action des forces. Nous imaginerons un corps différent du système, qui passe aussi par les points de l'espace désignés par les lettres/;, q, r, s, . . . , et qui puisse être tellement dérangé
que les points/?, q, r, s, . . . , étant mus sur les lignes p', q', r', s'
décrivent les espaces infiniment petits contemporains dp, dq , dr,
ds, Il nous sera aisé de démontrer le théorème en transportant
l'action des forces sur ce nouveau corps, qui est, comme on le voit, capable des mêmes vitesses virtuelles que le système, et que nous supposerons de plus ne pouvoir être déplacé que de cette manière. .Ahiis il faut auparavant examiner quel peut être ce corps que nous substituons au système.
18. On cherchera d'abord de quelle manière il faut unir le point/? au point q pour qu'en faisant mouvoir ce premier point avec une certaine vitesse, scion la ligne donnée/?', le point q commence à se mouvoir suivant la ligne q' avec une vitesse donnée. Que l'on fasse passer par le point/? un plan perpendiculaire à la ligne/?', et par le point q un
plan perpendiculaire à la ligne q' ; que par le point p on abaisse une perpendiculaire h sur la commune intersection des deux plans, et que par le point où cette perpendiculaire rencontre la commune intersection on élève dans le plan qui passe par le point q une seconde perpendiculaire h'; enfin, que par le point q on abaisse une troisième perpendiculaire h" sur la seconde perpendiculaire h' : on pourra regarder les deux perpendiculaires h et h' comme formant un levier dont les deux rayons font un angle invariable mobile autour de la commune intersection, considérée comme un axe. La troisième perpendiculaire h" peut aussi représenter un levier droit mobile autour d'un axe fixe, qui serait placé dans le second plan, et perpendiculaire au levier en un point dont le lieu est arbitraire. Si donc on fait mouvoir le point/? suivant la ligne//, le levier angulaire communiquera le mouvement à l'extrémité du second rayon; cette extrémité fera mouvoir celle du levier droit, et le mouvement initial passera ainsi au point q, dans la direction donnée q' ; la position du point d'appui du levier droit étant arbitraire, on la déterminera de manière que la condition de la raison proposée des deux vitesses soit remplie. Si l'on conçoit un assemblage analogue de leviers entre le point q et le point /', entre le point r et le point s, etc., on aura un nouveau système capable des vitesses virtuelles dp, dq, dr, ds, ..., c'est-à-dire susceptible d'éprouver le déplacement particulier que l'on attribue au premier système, et qui ne pourra être dérangé que de cette manière.
Au reste, il n'est ici question que du mouvement initial, et les leviers que nous venons de décrire sont propres à le transmettre. Mais, si l'on supposait que les espaces parcourus suivant les lignes p', q', r', . . . sont de grandeur finie, il faudrait faire quelque ebangement à la construction des leviers, en plaçant à chacune de leurs extrémités un secteur qu'un fil envelopperait.
19. Nous pouvons prouver maintenant que les forces qui sollicitent le système n'y occasionneront pas le déplacement qui répond aux vitesses virtuelles dp, (/q, dr, .... En effet, si ces mêmes forces sol 1 i-
citaient aux points /;, q, r, ... l'assemblage des leviers, qu'on ne suppose point d'abord unis au système, il est certain qu'elles se feraient équilibre. Cela résulte assez clairement du principe du levier et de celui de la composition des forces pour que nous ne nous arrêtions point à le démontrer : or on doit en conclure que ces mêmes forces, appliquées au système seul, ne feraient point éprouver le déplacement qui peut lui être commun avec les leviers. Supposons le contraire, afin de juger si cette hypothèse peut subsister. Les points p, q, r, s, ... venant donc à prendre les vitesses virtuelles dp, dq, dr, ..., si l'on conçoit que le point p du premier système est uni au point /; du second, il en résultera que l'assemblage des leviers sera entraîné lors du déplacement que l'on suppose occasionné par les forces, et, par hypothèse, les points q et q, r et r, ... des deux systèmes ne se sépareront point. De là il s'ensuit évidemment que les mêmes mouvements auraient lieu si ces points q et q, r et r, .. . n'étaient pas seulement coïncidents, mais unis, ainsi que les points p et p; conséquence qu'il serait superflu de démontrer. Ainsi nous sommes obligés de supposer que les forces P, Q, R, ... agissant sur les deux systèmes réunis, aux points p, q, r, s, . . . , produiraient du mouvement : or cela est impossible; car nous avons vu que les forces appliquées aux seuls leviers se détruiraient mutuellement. Si, dans cet état, on fait coïncider le premier système avec le second et qu'on les unisse, il est manifeste que l'équilibre ne peut être troublé. Donc on est parti d'une supposition fausse, savoir que les puissances appliquées au premier système seulement y occasionneraient le déplacement auquel répondent les vitesses
virtuelles dp, dq, dr, On prouvera de la même manière que tout
autre dérangement, pour lequel le moment total des forces est nul, ne peut être occasionné par ces forces; et de là on tire cette conséquence particulière, en quoi consiste le principe des vitesses virtuelles, que si, parmi tous les dérangements possibles, il n'y en a aucun qui ne réponde à un moment nul, il doit y avoir équilibre.
20. Il n'est pas même nécessaire, pour que les forces se détruisent, II. 63
<|iic la somme des moments soit toujours nulle : il suffit qu'elle ne soit pas négative, en sorte qu'il n'y ait aucun déplacement possible pour lequel cette somme ne soit nulle ou positive. En effet, si cette condition est remplie, en conservant la construction qui sert de fondement à la démonstration précédente, on sera conduit aux mêmes conséquences. On prouve aisément, par la simple théorie du levier, que ces forces, appliquées au second système seulement, ne peuvent y occasionner un dérangement pour lequel le moment. total est positif; et, comme on suppose que la présence des obstacles rend tout autre déplacement impossible, il faut que les forces, agissant sur les leviers, les maintiennent en équilibre. Cet état ne cessera point si l'on applique le premier système sur le second. Donc ces forces ne peuvent produire, séparément, dans le premier système, le déplacement en question; car cela aurait encore lieu si l'on appliquait le second système sur le premier; et nous venons de voir que cet effet est impossible.
21. Réciproquement, si des puissances tiennent un système matériel quelconque en équilibre, il ne peut y avoir aucun dérangement possible pour lequel la somme des moments soit négative : ce qui se démontre ainsi. Si l'on admet que le système puisse passer dans une telle position que le moment des forces soit négatif, il faut en conclure qu'il n'y a point équilibre; car l'équilibre ne cesserait point si ce déplacement devenait seul possible. II est aisé de se représenter ce dernier effet en concevant, entre tous les points/;, q, /■, s, ... du système, des assemblages de leviers pareils à ceux que nous avons décrits ci-dessus, et capables des vitesses virtuelles qui répondent au déplacement dont il s'agit. On n'a pas besoin de démontrer que l'équilibre ne serait pas troublé par l'apposition de ces leviers : or il est impossible qu'il n'y ait pas du mouvement; car les forces se trouveraient alors appliquées à un assemblage de leviers qui ne manquerait pas d'être déplacé si la somme des moments des forces était négative, ainsi qu'il résulte de la théorie du levier. Donc il est nécessaire, dans le cas de l'équilibre, que la somme des moments des forces ne soit jamais négative.
22. Toutes les fois que les déplacements que le corps peut éprouver sont déterminés par des équations de condition auxquelles ils doivent satisfaire, le moment total des forces qui se font équilibre ne peut pas être positif, parce que, si cela avait lieu, le moment qui répond au déplacement contraire serait négatif (voir art. 15); et comme ce dernier déplacement est également possible, puisqu'il satisfait aux équations de condition, les forces ne pourraient point se détruire, comme il suit de l'article précédent. C'est pourquoi il est nécessaire, dans ce cas, que la somme des moments des forces soit nulle pour qu'il y ait équilibre, ce qui est le véritable sens du principe des vitesses virtuelles. Mais si les déplacements ne sont point assujettis à des équations de condition, ce qui arrive souvent, l'équilibre peut subsister sans que le moment des forces soit nul, pourvu qu'il ne soit pas négatif.
Il n'en est pas de même lorsqu'on regarde les résistances occasionnées par des obstacles comme des forces appliquées au système. La somme des moments des forces doit toujours être égalée à zéro; mais il faut, de plus, avoir égard au signe que le calcul donne pour les forces qui tiennent lieu des résistances.
23. Nous pouvons aussi déduire les conditions générales de l'équilibre des corps de considérations qui diffèrent, à quelques égards, de celles que nous venons d'employer.
Concevons qu'un système matériel solide ou fluide, ou généralement d'une nature quelconque, et de plus assujetti, dans les mouvements qu'il pourrait prendre, à de certaines conditions, est sollicité par plusieurs puissances P, Q, R, S, . . . appliquées aux points p, q, r, s, ... ; supposons que l'équation
I ' dp -]-Qdg + ïldr-t-... = o
soit satisfaite, quelles que soient les variations dp, dq, dr, ... compatibles avec les équations de condition; il est question de prouver que le corps demeurera en équilibre. La conclusion sera évidente lorsqu'on
oOO STATIQUE.
aura démontré cette proposition plus générale que, si, pour un déplacement particulier, l'équation est satisfaite, ce déplacement ne pourra être occasionné par les forces, soit qu'il y ait équilibre ou non. Il faut donc imaginer que le corps est déplacé de manière que la somme des moments des forces qui le sollicitent à se mouvoir soit nulle, et faire voir qu'il est impossible que les forces lui impriment ce mouvement. Nous ferons abstraction de l'action que les puissances exerceraient sur le corps immédiatement après qu'il aurait pris une situation différente de celle qu'il a; car, si la première impulsion des forces le maintient en équilibre, il ne sera pas nécessaire d'avoir égard aux impulsions subséquentes, lesquelles pourraient différer des premières si le mouvement avait lieu. Maintenant concevons que la force P exerce son action au moyen d'un fil qui, étant renvoyé par un anneau fixe, se réfléchit verticalement de bas en haut; son extrémité supérieure est attachée à celle d'un levier horizontal qui porte un poids à l'autre extrémité; la valeur du poids est telle qu'il convient pour représenter la force. Le fil auquel ce poids est attaché enveloppe un secteur fixé à l'extrémité du levier, et passe de suite dans un anneau de renvoi, au-dessous duquel le poids se trouve placé. Il en est de même de toutes les autres
puissances Q, R, S Maintenant, lorsque le point P du système
change de position, en prenant dans la direction de la force une vitesse
initiale représentée par dp, ou, plus exactement, par ~, le poids se
meut aussi, et sa vitesse initiale dépend de la construction, et particulièrement de la raison des deux bras de levier. Mais la vitesse virtuelle du poids ne peut différer de celle du point p où la force P est immédiatement appliquée, sans que la quantité de ce poids diffère aussi de celle de la force P que le poids remplace. Il suit de la simple théorie du levier que le moment du poids est égal à celui de la force, ou à P dp.
On peut, afin de rendre la preuve indépendante des notions des quantités infiniment petites, supposer que le poids p ne se meut point en ligne droite et uniformément; mais la figure du secteur que porte
le levier peut être tellement adaptée au mouvement varié du point p. qu'il en résulte dans le poids un mouvement uniforme suivant une verticale. Maintenant, comme la construction est arbitraire et que les puissances P, Q, R, S, . . . seront toujours remplacées, quant à leur effet actuel, par les poids correspondants pourvu que les quantités de ces poids soient convenables, rien n'empêche de disposer de la raison des bras de levier en sorte que tous les poids aient la même vitesse, en observant seulement que cette vitesse sera positive pour tous les poids qui s'élèvent lors du déplacement, et négative pour les autres; de plus, on peut supposer que tous les poids qui s'élèvent coïncident au même point de l'espace et que ceux qui s'abaissent se confondent aussi en un second point placé à la même hauteur que le premier. Il est aisé de voir que la somme des poids qui s'élèvent doit être égale à celle des poids qui s'abaissent, pour que l'équation
soit satisfaite. C'est pourquoi, si l'on joint par une droite inflexible les deux points où tous les poids sont suspendus, et qu'on fixe au milieu un poids double, cette seule force tiendra lieu de toutes celles qui agissent actuellement sur le système; et ce qui le prouve clairement, c'est que ces dernières forces, prises en sens contraire, feraient équilibre à la première. On pourra supposer, au lieu de la ligne horizontale, une poulie d'un diamètre égal à cette ligne, enveloppée par le prolongement des fils verticaux et chargée à son centre du poids qui remplace la force. Il ne reste plus qu'à distinguer si le corps, soumis à la seule action du poids, peut éprouver le déplacement dont il s'agit. Or, si cela avait lieu, tout le système tournerait autour du milieu de l'horizontale ou du centre de la poulie, c'est-à-dire qu'un poids produirait seul un mouvement de rotation autour du point auquel il est attaché; ce dont on pourrait démontrer l'impossibilité si on ne la devait pas regarder comme manifeste.
On peut donc conclure, avec certitude, que le poids qui remplace les forces n'occasionnera point dans le système le déplacement pour
lequel la somme des moments est nulle; que les forces elles-mêmes ne peuvent pas produire ce déplacement en vertu de leurs premières impulsions; enfin, que cette action des forces ne peut imprimer aucun mouvement si, pour chacun en particulier, la somme des moments est nulle.
Les transformations du genre de celles dont nous venons de faire usage nous paraissent fournir le moyen le plus simple de manifester l'existence du principe des moments. Si l'on se contentait de substituer à chacune des forces un poids attaché à un fil renvoyé par une poulie fixe, on reconnaîtrait que, pour chaque déplacement du système en équilibre, la quantité de mouvement des poids qui s'élèvent est égale à celle des poids qui s'abaissent; et, quoique cette remarque ne puisse pas être considérée comme une démonstration, néanmoins elle ramène le principe des vitesses virtuelles à celui de Descartes, ou au principe employé par Torricclli. Il est naturel de penser que Jean Bernoulli connaissait quelque construction analogue. On trouve les mêmes idées dans un Ouvrage de Carnot, imprimé dès 1783, sous ce titre : Essai sur les machines en général. Ce Traité renferme des vues importantes sur la Mécanique générale, et spécialement sur le principe des vitesses virtuelles.
24. L'équilibre, tel que nous venons de le considérer, est un état abstrait que la nature ne présente jamais : la destruction des forces n'est point instantanée; à proprement parler, elle ne peut s'opérer entièrement. Les corps en équilibre éprouvent des mouvements peu sensibles qui les portent alternativement en deçà et au delà d'un état moyen : c'est ce dernier état qui est représenté par les formules des géomètres. Nous nous proposons de déduire des principes exposés ci-dessus les conditions de la stabilité de l'équilibre.
Pour que l'équilibre physique ait lieu, il ne suffit pas que la somme des moments des forces soit nulle; car il résulte seulement de cctlc condition que le corps, étant placé dans une certaine situation, la con-
servera toujours : mais la stabilité consiste en ce que le système, étant excité par de légères impulsions, ne s'écartera pas sensiblement du lieu qu'il occupait d'abord. Supposons donc qu'il en soit ainsi d'un corps d'une nature quelconque, soumis à l'action de plusieurs forces P, Q, R, S, ... qui le maintiennent dans la position A de l'équilibre. On voit d'abord que, cet équilibre étant stable, il ne cessera point de l'être si l'on suppose que quelques-uns des déplacements infiniment petits que le système pourrait éprouver soient rendus impossibles par la présence de certains obstacles. Concevons que le corps puisse être transporté de A en B, les coordonnées x, y, z, ... de ses différents points se cliangeant, lors du déplacement, en x 4- dx, y -+- dy, z -+- dz, ... ; que, de plus, tout autre déplacement devienne impossible, effet qu'il est aisé de se représenter (voir art. 21). Cette dernière circonstance ne peut pas nuire, ou plutôt elle ne peut que contribuer à la stabilité de l'équilibre : c'est pourquoi il sera nécessaire que le système, étant placé en B, soit sollicité à se mouvoir de B en A, ce que l'on reconnaîtra par le signe du moment. La valeur du moment est, en général,
P. àp 4- Q àq 4- R <5r 4- . . . ,
S indiquant les variations dues au déplacement : dans le cas où le corps se trouve en B, elle devient
PSp 4- ÔQ q -H. . .4- d(P8p 4- Q dq -+-. . .)
ou simplement
rf(Pd/> -h Qfy +...),
puisque la première partie est nulle par hypothèse. Maintenant il est nécessaire que le déplacement de B en A réponde à un moment négatif. Pour exprimer l'espèce de ce déplacement, il faut, au lieu de o, écrire — d; on a donc, pour la valeur du moment,
-rf(P dp + Qdq + ...),
quantité qui doit être négative. On reconnaît ainsi que, dans le cas où l'équilibre est stable, l'expression
d(Pdp + Qdg-Ç-Rdr+...)
doit être positive, quels que soient les accroissements dx, dy, dz, supposés d'ailleurs compatibles avec les conditions auxquelles le système est assujetti.
25. Réciproquement, si d(Vdp -+- Qdq -+- . . .) est une quantité toujours positive, le système étant supposé placé en A résistera à tout changement d'état; car, de quelque manière qu'on le déplace, il faudra détruire la force qui le ramènerait de sa nouvelle position dans la précédente s'il n'en pouvait prendre aucune différente de ces deux-là. Ainsi, le corps étant en A, les forces ne pourront lui imprimer aucun mouvement, parce que la somme de leurs moments est nulle; et, de plus, ces forces résisteront dans tous les sens aux causes étrangères qui tendraient à déplacer le système : or ces deux circonstances ne peuvent se rencontrer que dans l'équilibre stable; d'où il suit que les conditions de cet équilibre sont : i° que la somme des moments soit nulle; i° que la quantité différentielle d(V dp -+- . ..) soit toujours positive.
26. Nous avons vu que l'équilibre peut avoir lieu sans que le moment total Po/» + Q oq -h Rc/' -+- . . . soit nul; il suffit qu'il soit toujours positif; dans ce cas, l'expression
Pèp + Qàg + ... + d(P8p + Q ôy +. . .)
ne se réduit plus à la seconde partie seulement, mais à la première. Si donc au lieu de o on écrit — d, on connaîtra que la quantité
— (Pdp + Qdg + ...)
doit toujours être négative; et, comme cela a lieu par hypothèse, il s'ensuit que, dans ce cas, l'équilibre est toujours stable. Ainsi la condition unique de l'équilibre physique proprement dit consiste en ce que la somme des moments soit toujours positive; ou, si elle est nulle, ce qui doit arriver pour tous les déplacements déterminés par des équations «le condition, il faut que son accroissement soit toujours positif. Quand
cette condition n'est pas remplie pour toutes les situations voisines, l'équilibre n'a point lieu, et il est impossible que la nature en offre jamais de semblables.
27. Il ne reste plus qu'à indiquer les moyens de reconnaître si cette quantité différentielle d(Pdp -hQdq -+- . . .) est toujours positive. Soient u, u , u", u" ', ... les variables entièrement arbitraires dont dépendent tous les mouvements possibles du système; on pourra donc, par des éliminations convenables, trouver, pour la somme des moments
Pdp + Qdg + ...,
une expression de cette forme
U du + U' du' -h U" du" + IV" du'" + . . . ;
U, U, U", U", ... sont des fonctions des variables u, u', u", u'", .... Différentiant cette formule et supprimant les termes qui contiennent U, U', U", . . . , parce que chacun de ces coefficients est nul dans le cas de l'équilibre, on trouve
r/U du + dV du' -+- dU" du" + ...,
quantité qui est de la forme
a du"- -+- b du du' -4- c du du" -t- ... 4- a' du'* ■+- b' du' du" -t- ... -+- a" du"2 -+-...;
a, b, r, ... , a', //, . . . , a", . . . sont des fonctions des valeurs que les coordonnées ont dans la position de l'équilibre, et ces valeurs sont fournies par les équations
Ainsi a, l>, c a , b', . . . , a", . . . sont des constantes connues.
Si la quantité
Pdp + Qdq + Kdr-h... ou Vdu + V du' -h U" du" -h. . . .
est une différentielle exacte dX, il est simplement question de reconnaître si V est un minimum : il parait même qu'on n'a recherché les U. 64
conditions de l'équilibre stable que dans ce cas, qu'on est fondé à regarder comme celui de la nature. L'analyse précédente nous fait voir que, dans une hypothèse quelconque de forces, on reconnaîtra la stabilité de l'équilibre en vérifiant si la quantité
a du* + b du du' -+- ...-+- a' du'1 -+- . . .
est positive pour toutes les valeurs arbitraires que l'on peut attribuer
à du, du', du", Cette condition suppose des relations entre les
coefficients a, b, c, ... , a', b', c', ... , a", ... ; et on les obtiendra de la même manière que s'il s'agissait de distinguer le cas du minimum.
On connaît une solution fort simple de cette dernière question; elle se réduit à décomposer la quantité proposée en plusieurs carrés, ce qui manifeste sur-le-champ les relations cherchées. Si les coefficients a, b, c, . . . , a' , b', c', . .., a", . . . s'évanouissent à la fois, la quantité différentielle qui lui succède doit avoir aussi des coefficients nuls pour qu'il y ait équilibre. Il restera alors à vérifier si la somme des termes où les différentielles ont quatre dimensions est nécessairement positive. Mais il faut remarquer qu'ici la méthode de la décomposition en carrés n'est point suffisante : nous nous sommes assuré que les relations qu'on en déduirait ne seraient pas réciproques. La solution générale du problème dépend de la théorie des équations.
Nous avons dessein de publier dans ce Recueil une suite de Mémoires contenant des recherches nouvelles sur la théorie des équations. On se propose de reprendre dans son entier le problème de la résolution générale des équations. Ainsi l'on aura occasion de traiter la question particulière dont il s'agit dans cet article.
28. Nous n'avons point considéré les petits mouvements que peut éprouver le système dans le voisinage de l'équilibre. La solution générale du problème des petites oscillations fournit aussi les conditions de la' stabilité de l'équilibre; et l'on peut en conclure, de la manière la plus directe, que, lorsque l'accroissement du moment est toujours positif, non seulement le corps résiste à tout changement d'état, mais
encore il ne doit s'écarter que fort peu de sa première situation. Cette question a été soumise à une analyse très élégante par l'illustre auteur de la Mécanique analytique.
On peut encore démontrer, par les résultats de cette solution, une proposition importante que Daniel Bernoulli a connue le premier et prouvée dans plusieurs cas particuliers : c'est que les petites oscillations des corps se composent d'oscillations simples qui s'accomplissent en même temps sans se nuire {voir aussi le premier Volume de Y Exposition du Système du monde). Sans entrer dans des détails déjà connus et qui seraient du ressort de la Dynamique, je me contenterai d'ajouter les remarques suivantes, qui me paraissent appartenir autant à la Physique générale qu'à la Géométrie.
29. On sait que les équations qui représentent les petits mouvements du système sont du second ordre et linéaires : ces équations sont entre les indéterminées arbitraires dont dépendent toutes les coordonnées. En substituant de nouvelles indéterminées aux précédentes, on peut, généralement parlant, obtenir des équations séparées de la forme
drq
il est facile de s'en assurer; et cela fournit le moyen d'intégrer les proposées. On en conclura que, si l'on fixe sur un axe commun horizontal différents pendules simples, leurs mouvements peuvent correspondre parfaitement avec ceux du système. Le nombre et les longueurs de ces pendules ne dépendent que de la nature du système et des forces qui l'animent. Les coordonnées des divers points sont des fonctions linéaires des arcs décrits par les pendules; la position initiale de ces pendules, et les vitesses qui leur sont d'abord communiquées, dépendent de la figure initiale du système et des impulsions primitives. Ces pendules étant d'abord placés de manière à représenter le premier état du système, puis abandonnés à l'action de la pesanteur, jointe à la vitesse initiale, détermineront à chaque instant la position actuelle du sys-
tème; et tous les mouvements dont le même corps est susceptible seront pareillement représentés par ceux du même assemblage de pendules.
Cette construction s'applique aux mouvements de tous les corps en général, et il n'y en a aucun dans lequel il ne se trouve certaines indéterminées entièrement indépendantes entre elles, qui oscillent séparément. C'est ainsi que se composent toutes les petites agitations, en apparence tumultueuses et confuses, que nous pouvons observer à l'approche de l'équilibre.
30. Il est aisé de connaître dans quel cas les corps sont disposés à reprendre leur figure initiale. Cette circonstance dépend des rapports de longueurs entre les pendules, c'est-à-dire des dimensions du corps et des forces qui le sollicitent.
i° Lorsque cette disposition existe, l'état initial du corps n'y peut apporter de changement; et, quel que soit cet état, le corps reprendra sa figure initiale, puis il la quittera pour la reprendre de nouveau : toutes ces vibrations successives seront de la même durée.
2° Les impulsions primitives que le corps pourrait avoir reçues ne troubleront pas la disposition dont il s'agit; le corps reprendra toujours sa première situation, et les vitesses initiales seront exactement rétablies.
3° La durée de ces vibrations ne dépendra ni de la première figure, ni des premières impulsions, mais seulement de la nature du système; de sorte que, en quelque lieu qu'il se trouve d'abord placé et de quelque manière qu'on le frappe, il accomplira ses vibrations dans le même temps qu'il aurait employé s'il eût été mû différemment. C'est en cela que consiste l'isochronisme proprement dit, qualité singulière que nous éprouvons dans les corps sonores, et que le Calcul nous apprend à distinguer, comme on le voit, dans toute matière susceptible d'osciller régulièrement. Cette durée, commune à toutes les oscillations possibles, est, à proprement parler, le ton du corps, qui change avec la nature et les dimensions du système, ainsi qu'il est aisé de le
remarquer dans le pendule simple. Les corps se distribuent donc en deux classes : ceux qui ne peuvent jamais reprendre leur première figure, et ceux qui ne peuvent point la perdre, dans ce sens qu'ils s'y retrouvent toujours après un temps déterminé.
Les conséquences de cette théorie générale sont trop multipliées pour que leur énumération puisse trouver place dans cet écrit : nous avons dû seulement indiquer ce qui peut contribuer à mieux faire connaître la nature des agitations presque insensibles qui précèdent et accompagnent toute espèce d'équilibre.
31. Pour rendre complète cette théorie de l'équilibre, il ne nous reste plus qu'à traiter des principes mêmes dont nous sommes parti, de celui du levier et de celui de la composition des forces : l'un se réduit facilement à l'autre; aussi nous nous occuperons du premier seulement. Archimède a expliqué l'équilibre des poids inégaux dans le levier par celui des poids égaux dans la balance. Soit une ligne droite chargée, en chacune de ses parties égales, de poids égaux, et en équilibre sur un point fixe placé au milieu : si depuis l'extrémité on prend sur la longueur entière -xa une longueur 2À, on pourra, sans rompre l'équilibre, réunir au milieu de la ligne ih les poids distribués sur cette longueur, et opérer de même sur la ligne restante ia — ih : alors les bras de levier seront a — h et h, et les poids seront proportionnels à h et a — h.
Il serait inutile do chercher rien de plus simple que ce raisonnement; seulement il semble nécessaire de prouver que l'équilibre n'esl point troublé lorsqu'on réunit deux poids égaux au milieu de leur distance; ce qui paraît d'autant moins évident que le point d'appui peut se trouver placé entre les deux poids. On a remarqué depuis longtemps cette imperfection de la démonstration d'Archimède (voir les Ouvrages de d'Alembert), et plusieurs géomètres ont tenté d'y remédier. Le célèbre Huygens a laissé un écrit particulier sur cet objet. On pour-
rait croire qu'Archimède avait prouvé le lemme dont il s'agit, dans un Traité séparé sur les centres de gravité : voici, en effet, un moyen fort simple de lever cette petite difficulté.
32. Il suffit de démontrer que deux forces égales et parallèles font équilibre à une force double placée au milieu de la distance. En effet, ce lemme étant une fois admis, supposons qu'un levier en équilibre soit chargé, entre autres, de deux poids égaux P et P aux deux points a et b; si aux deux extrémités et au milieu d'une ligne égale à la distance ab on applique trois forces parallèles, dont deux soient égales et une double et contraire, il y aura équilibre. On peut maintenant réunir cette ligne ab en équilibre au levier, qui s'y trouve aussi, et concevoir que les deux forces égales qui agissent en a et b sont égales et contraires aux poids P et P. Il est manifeste que l'équilibre ne peut être troublé par cette application de la ligne sur le levier. Or, les forces P et P se trouvant détruites, il ne restera plus qu'un poids double au milieu de la distance.
Il s'agit maintenant de prouver le lemme en question. Je remarque d'abord que trois forces égales, qu'on peut comparer à trois poids, appliquées à un point et dirigées suivant les trois rayons qui divisent le cercle en trois secteurs égaux, se font manifestement équilibre.
Maintenant, par chacun des points A et B d'une horizontale AB, je mène deux lignes qui font avec la ligne AB, et des deux côtés, des angles équivalents au tiers d'un droit ; j'applique à chacun des points A,
B, C, D trois forces qui se font équilibre séparément, et sont toutes égales entre elles. De plus, je suppose le milieu de la ligne sollicité par deux forces doubles des précédentes et opposées entre elles. Si la figure est regardée comme un plan matériel, et la disposition des forces telle qu'on le voit ci-contre, il est clair que toutes ces forces se détruisent, excepté celles qui se doivent faire équilibre conformément au lemme. On obtient ainsi la preuve rigoureuse de cette proposition, qui peut d'ailleurs être démontrée de plusieurs manières.
33. Il est aisé maintenant d'établir, au moyen du seul calcul, le principe du levier, comme on peut le voir dans les nouveaux Mémoires de Turin, tome II. En voici une démonstration entièrement exacte. Soit une force p appliquée à un levier droit en un point x, dont la distance au point d'appui est x; on se propose d'estimer le moment de rotation de cette force, c'est-à-dire le poids qui lui ferait équilibre étant placé de l'autre côté du point d'appui, à une distance déterminée, qu'on peut supposer égale à l'unité de mesure. Nous appellerons Q ce moment, dont la valeur dépend, comme on voit, de p et x; ainsi
Q = <?{p, x), 9 étant ici l'inconnue.
Nous remarquons d'abord que, si p devenait p + dp, x étant constant, il faudrait aussi augmenter la valeur de Q. Il est manifeste que cet accroissement de Q n'est rien autre chose que le moment de rotation de la force dp agissant à la distance x. Donc
-j- dp = o{dp, x),
ou, parce que le second membre ne contient pas/;,
ainsi Q = ap -+- b, ou simplement ap, Q etp devant être nuls en même temps, quel que soit x. Ainsi, il est prouvé que y(p,x) est de la forme p'\>(x), -j> étant l'inconnue.
Maintenant, si de part et d'autre du point x on prend la distance e, et qu'aux extrémités on applique les forces \p et \p, le moment de rotation de ces deux forces, ou, ce qui est la même chose, la somme des moments de rotation de chacune d'elles sera toujours Q : donc
p<l)(.r) = ±pty(x — e) -i-\p<\)(x + e)
OU
Différentiant, en regardant e comme seule variable et représentant r/[-|(w)] par '\i'(u)du, on trouve
<ty'{x -+- e) = ty'(x — e) ou, faisant e = x,
<|/(aaO = +'(o).
Le second membre est une constante inconnue. On a donc aussi
et, intégrant,
<\>{x) = ax -+- b.
Comme <\>(o) — o et <j/(i) = r, il s'ensuit que Q =px; ce qui fournit le théorème connu.
34. Faisons maintenant le rapprochement des différentes propositions démontrées dans cet écrit, afin de rendre plus sensible leur dépendance mutuelle.
Les Grecs, qu'on peut regarder comme les inventeurs de la Statique, ont fait consister la théorie de l'équilibre dans le seul principe du levier. Descartes et Galilée ont entrevu des vérités plus générales. Varignon , empruntant de Stevin le principe de la composition des forces, le choisit pour le fondement de la Mécanique; et les éléments de cette science parurent être fixés. En même temps, Jean Bernoulli proposa le principe des vitesses virtuelles ou des moments : cette découverte, dont il est peut-être redevable à la lecture des écrits de Descartes, fut reproduite dans tout son jour, et même rendue plus
générale dans la Mécanique analytique. Ce dernier Ouvrage, que l'on doit compter parmi les plus belles productions du siècle, offrit la Mécanique sous une forme nouvelle, et l'on connut alors toute l'importance de la proposition de Bernoulli.
Les démonstrations rapportées plus haut ne laissent aucun doute sur la vérité de ce principe général; elles servent encore à en indiquer plus exactement la nature et le véritable sens, et nous conduisent à des théorèmes nouveaux.
Les propriétés de l'équilibre dépendent donc entièrement de la considération des moments; elles se déduisent, avec toute l'exactitude que l'on peut désirer, du seul principe du levier. L'équilibre du levier dépend de celui de la balance; et nous avons ramené ce dernier au cas de trois forces opposées qui se détruisent évidemment.
Lorsqu'un corps est soumis à l'action de plusieurs forces qui ne se font point équilibre, il penche plus ou moins, si l'on peut parler ainsi, vers les diverses situations qui avoisinent la sienne. Cette disposition à être déplacé d'une certaine manière peut être mesurée, et cette mesure est le moment.
Le moment est, au signe près, le produit de la force par l'effet qu'elle obtient.
Le corps tend vers une position donnée si la somme des moments qui répondent à ce déplacement est négative, et il prendrait cette position s'il ne pouvait se mouvoir autrement : au contraire, il est porté à s'en éloigner si la somme des moments est positive. Ainsi le moment n'exprime pas seulement une combinaison d'idées abstraites, mais on peut se le représenter comme l'exposant d'une circonstance physique, savoir de la tendance au déplacement.
Parmi toutes les situations qui conviennent à un corps, celle de l'équilibre est unique; et, quand le corps y est placé, toutes les autres, ou plus exactement toutes les situations immédiatement prochaines, lui sont indifférentes, c'est-à-dire que le moment pour chacune de ces situations est nul. Ce n'est point une imperfection de cette théorie de l'équilibre, comme on l'objectait à Descartes, d'avoir à considérer les II. 65
petits mouvements du système : c'est qu'il est nécessaire de comparer la position actuelle avec toutes celles qui l'avoisinent.
Lorsque le système est en mouvement, le moment, pris en ne considérant que le lieu actuel du corps et celui où il se trouvera l'instant suivant, a une infinité de valeurs successives. Tous ces degrés s'accumulent, pour ainsi dire, dans le mobile, et composent sa force vive. Lorsqu'il n'a plus de force vive à acquérir, le corps est dans la situation de l'équilibre relatif; je veux dire que, si on l'y plaçait et qu'il ne pût se mouvoir autrement qu'il le faisait d'abord, il y demeurerait.
Il n'est pas nécessaire que le moment soit nul pour que le corps reste en équilibre; il suffit que le moment ne soit négatif pour aucun déplacement possible, c'est-à-dire que, de toutes les situations qui conviennent au mobile, il n'y en ait aucune vers laquelle il soit porté, soit qu'il n'ait aucune tendance vers elle, soit qu'il en ait une contraire. Tels sont les vrais éléments de la Statique; le principe de la composition des forces, la considération des moments de rotation, sont des résultats particuliers et insuffisants. La théorie générale des moments, telle que nous venons de l'exposer, contient toute la science de l'équilibre, et a l'avantage de se prêter à l'application du Calcul différentiel (voir la Mécanique analytique).
35. Ces propriétés des moments se manifestent de différentes manières; ce qui se présente d'abord consiste à chercher dans tous les cas la valeur du moment total. On peut le faire en distinguant tous les mouvements simples dont se forme un mouvement quelconque d'un système. Le moment total est la somme des moments dus à chacun de ces mouvements partiels.
Si l'on suppose le système en équilibre, on trouvera que la valeur du moment est toujours nulle ou positive.
Cela est, pour ainsi dire, évident pour le cas du point en équilibre. Il en est de même de la ligne droite sollicitée à ses deux extrémités par des forces qui se détruisent. Par la même raison, dans l'équilibre d'un fil tendu à ses deux extrémités, le moment est nul ou il est positif.
Ce résultat a lieu aussi dans le cas où deux corps se servant mutuellement d'appui sont maintenus en équilibre.
L'effet d'une force ne change point lorsqu'on l'applique à un point quelconque de sa direction, regardée comme une ligne inflexible; il en est de même du moment de cette force.
En général, le moment des composantes est, pour le même déplacement, toujours égal à celui des résultantes, quoique les unes n'agissent pas aux mêmes points que les autres. On démontre donc la vérité du principe des moments toutes les fois qu'on réduit les forces qui se font équilibre à des résultantes égales et opposées.
Cette réduction se présente d'elle-même dans le cas des corps durs; et dans tout équilibre d'un pareil corps, il se trouve un plan, une ligne et un point pressés par deux forces égales et directement opposées : le moment est donc nul dans le cas de l'équilibre.
Si un système de corps unis par des fils et sollicités par des forces qui se détruisent est déplacé de manière que ces fils demeurent tendus, le moment est nul; il est positif si les extrémités des fils se sont rapprochées; il ne peut jamais être négatif.
Un assemblage de molécules solides en équilibre présente les mêmes conditions; le moment, ou la tendance au déplacement, est nul tant que les molécules qui se pressaient ne cessent point de se toucher. Pour toutes les autres situations, le moment est positif.
L'équilibre des fluides incompressibles dépend encore de la valeur du moment total. La masse sur laquelle agissent les forces qui se détruisent ne pourrait changer de situation qu'en augmentant ou conservant ou perdant son volume. Le premier cas n'a pas lieu, parce que le système a une tendance contraire, c'est-à-dire que les forces ont un moment positif pour toutes les situations dans lesquelles cela arriverait; ni le second, parce qu'alors toutes les situations sont indifférentes, le moment étant nul; ni le troisième, par hypothèse.
36. On peut présenter d'une- manière générale la preuve des propositions précédentes.
ol6 STATIQUE.
Lorsqu'une portion de matière solide, flexible ou fluide, douée ou non d'élasticité sensible, libre ou éprouvant la résistance de surfaces ou de points fixes, est sollicitée par des forces qui se détruisent, chacun de ses points, pris séparément, est en équilibre au moyen des forces qui peuvent lui être appliquées et de l'action qu'exercent immédiatement sur lui d'autres points matériels du système. Parmi ces autres points, qui agissent sur le premier, j'en distingue un seul, et je vois que le système des deux points en question, considéré isolément, est en équilibre; c'est-à-dire que, si l'on remplaçait par de nouvelles forces extérieures celles qui proviennent de l'action exercée sur chacun de ces deux points par les autres points voisins, il y aurait équilibre. Or il est certain que l'action réciproque des deux points équivaut à deux forces contraires égales et dirigées dans le sens de la ligne qui joint les points. Donc il est nécessaire que les forces qui leur sont appliquées se réduisent de part et d'autre à deux forces égales contraires et dirigées dans le sens de la même ligne. Si l'action mutuelle des deux points tend actuellement à les éloigner, il faut que les résultantes des forces extérieures tendent à les rapprocher; il faut de plus que la distance des deux points ne puisse pas devenir moindre; je veux dire que le composé dont ils font partie doit être tel qu'en le déplaçant de toute manière, mais librement et en employant une force infiniment petite, les deux points en question ne puissent pas se rapprocher au premier instant du déplacement, ou, pour parler plus exactement, que la différentielle première de la distance des deux points ne soit jamais négative : car, si ce rapprochement était possible, il aurait lieu en vertu des résultantes des forces extérieures, et le système des deux points ne serait pas en équilibre. L'existence de cette action réciproque des deux points, qui s'oppose actuellement à leur rapprochement, prouve donc que le déplacement du composé pendant lequel ils se rapprocheraient n'est pas compatible avec l'état de ce composé, et ne peut se faire qu'en luttant contre des forces qui lui sont inhérentes.
Si les résultantes des forces appliquées aux deux points tendent à les éloigner, il faudra, pour les mêmes raisons, que la variation linéaire
de leur distance ne puisse jamais être positive, de quelque manière que le corps soit déplacé.
11 suit de là que, ,dans le premier cas, les forces équivalentes que l'on substituerait à l'action des deux points ne peuvent pas avoir un moment total positif; et que dans le second, où elles s'opposent à l'augmentation de la distance, elles ne peuvent pas non plus avoir un moment total positif, de quelque manière que le composé soit dérangé. On démontrera de même que le moment de deux des forces équivalentes aux résistances mutuelles de deux autres points ne peut jamais devenir positif; et de là il est aisé de conclure que le moment total des seules forces appliquées qui se font équilibre ne peut être négatif pour aucun déplacement. S'il s'agit d'un déplacement qui satisfasse à des conditions exprimées par des équations, on prouvera facilement que la somme des moments ne peut être ni négative, ni positive. A l'égard des résistances fixes que le corps éprouve, il est évident que l'action d'un point fixe pendant l'équilibre peut être remplacée par une force extérieure, et que le moment de cette force, lors d'un déplacement quelconque, est nul. S'il s'agit d'une surface résistante, la force que l'on pourrait substituer à son action lui étant perpendiculaire, le point du système qui éprouve cette action ne peut pas être déplacé de manière que le moment de la force soit positif; c'est pourquoi la présence des obstacles ne change rien aux conséquences que nous avons déduites précédemment.
37. Au lieu de transformer les forces qui sollicitent le système, on peut le remplacer par un nouveau système capable des mêmes vitesses virtuelles que lui et dont les conditions de l'équilibre soient déjà connues : on prouve de cette manière que si, pour une situation voisine de celle que le corps occupe, la somme des moments est nulle, ou, à plus forte raison, si elle est positive, il est impossible que le corps soit déterminé par l'action des forces à prendre cette situation.
Cette proposition est capitale et se trouve démontrée rigoureusement; le principe des moments en est une conséquence évidente. En
général, et soit qu'il y ait équilibre ou non, le système ne peut être porté par les forces dans une position pour laquelle la somme des moments n'est pas négative.
On peut obtenir autrement le même résultat, et démontrer ainsi le principe des vitesses virtuelles, sans recourir à la notion des quantités infiniment petites. Il s'agit seulement de substituer à toutes les forces une seule résultante qui, agissant sur un corps intermédiaire, produise clans le système le même effet que ces forces. Il devient manifeste alors que la résultante ne peut mouvoir le système, soit parce que le point où elle agit est immobile, soit parce qu'elle est nulle; car les deux cas peuvent avoir lieu séparément, suivant les constructions qu'on emploie.
Toutes ces conséquences sont indépendantes de la nature du système; les fluides en particulier sont assujettis à la même loi. Le principe des moments étant exactement démontré, rien ne doit empêcher d'en faire l'application à l'Hydrostatique, sans avoir recours à aucun fait particulier fourni par l'expérience. On peut aussi démontrer directement, par les mêmes raisonnements que ci-dessus, la propriété de l'égalité de pression en tous sens. Ainsi nous devons considérer les corps fluides comme des amas de molécules entièrement soumises aux lois générales de la matière; et il n'y a plus, sous ce rapport, d'intervalle entre la mécanique des fluides et celle des autres espèces de corps. J'ai rapporté ces dernières démonstrations pour jeter un nouveau jour sur la théorie des moments, pensant que l'importance du sujet justifierait tous ces détails. Je ne doute pas qu'on ne puisse envisager l'équilibre sous d'autres points de vue. On a publié récemment en Italie un Ouvrage étendu sur le principe des vitesses virtuelles : je n'en ai eu connaissance qu'après avoir composé ce Mémoire, qui a été livré à l'impression au commencement de l'an VI.
38. La position de l'équilibre n'est pas seulement celle que le corps conserverait si on la lui donnait : elle est plutôt celle dont on ne pourrait le faire sortir, de quelque manière que ce fût, sans détruire une
partie des forces qui l'animent. Ainsi le corps penche vers l'équilibre de tous les lieux voisins, ou, ce qui est la même chose, le moment naissant est toujours positif. De là, la manière de distinguer l'équilibre vrai de l'équilibre faux.
Si, dans la position de l'équilibre, le moment n'est pas nul, mais positif, la condition de la stabilité est toujours remplie. La stabilité de l'équilibre dépend du signe du moment; et cette qualité de l'équilibre est susceptible d'être mesurée sous le double rapport de sa valeur et de son étendue.
La nature ne peut jamais offrir l'équilibre exact ; seulement les corps nous paraissent dans cet état, et leurs excursions échappent à tous nos sens, ou à quelques-uns d'entre eux. Lorsque le système est placé dans le voisinage de l'équilibre, il oscille à l'entour de cette position et s'en écarte peu; mais il ne peut jamais y demeurer, et le lieu dans lequel un corps pourrait rester en repos est celui qu'il est le plus porté à quitter lorsqu'il y passe.
La nature des petits mouvements que les corps éprouvent dans la région de l'équilibre nous est connue, et elle est bien digne de remarque. La situation du corps dépend à chaque instant des valeurs de certaines indéterminées. Chacune d'elles oscille librement et varie comme l'arc décrit par un pendule simple. Toutes ces vibrations s'accomplissent ensemble sans se troubler, en sorte que le mouvement du système est parfaitement analogue à celui de plusieurs pendules attachés à divers points d'un axe horizontal. On peut, d'après cela, trouver à chaque instant la figure et la position du système; mais il est essentiel de ne point perdre de vue la nature de la méthode qui nous fournit ces résultats. Comme on rejette les dimensions supérieures des variables, ou que l'on prend l'une pour l'autre deux quantités inégales, mais dont la dernière raison est l'unité, il s'ensuit que les circonstances du mouvement déterminé par ces procédés n'ont jamais lieu, quelque voisin que le corps soit de l'équilibre : elles conviennent à ce mouvement régulier dont les agitations du corps approcheront d'autant plus que les impulsions primitives seront plus petites. Ainsi la figure
représentée par les résultats du calcul n'a qu'une existence abstraite et ne peut jamais être celle du corps qui oscille. Cette remarque donne la solution des difficultés qu'on a proposées sur la figure des cordes vibrantes.
Tous les corps, de quelque nature qu'ils puissent être, sont sujets à osciller ainsi, et nous jugeons qu'ils sont en équilibre dès que leurs oscillations deviennent insensibles : mais les uns quittent et reprennent sans cesse leur position initiale, en divisant le temps en mesures égales; les autres changent continuellement de situation. Les premiers, quoique susceptibles de vibrations infiniment variées, n'en peuvent éprouver que de symétriques; et non seulement la durée est la même pour les vibrations qui se succèdent, mais elle est aussi la même pour celles que le corps aurait éprouvées si on lui eût donné toute autre figure initiale. On a remarqué d'abord cette propriété dans le pendule simple; mais l'isochronisme des petites oscillations ne convient pas plus au cercle qu'à toute autre courbe. Cette commune durée, ou le ton du système, ne dépend ni du premier état ni des premières vitesses. Ainsi, un corps de cette espèce, qui, à la vérité, ne peut demeurer dans la position singulière de l'équilibre, occupe successivement des lieux environnants; il n'y a aucun de ces lieux dans lequel il ne revienne à de certains instants, séparés tous par un intervalle constant que des impulsions quelconques ne peuvent pas changer. C'est la raison pour laquelle les corps sonores rendent un son également grave ou également aigu, de quelque manière qu'ils soient frappés. Les exceptions ne sont dues qu'à l'intensité des sons subordonnés. Les corps susceptibles d'oscillations régulières, ou qui conservent leur ton, sont donc propres à diviser la durée en parties égales et procurent ainsi la mesure naturelle du temps. Lorsque plusieurs sont mis en contact et qu'il existe entre eux certains rapports de figure et de dimension, il suffit d'en ébranler un seul pour exciter et entretenir les mouvements des autres. Loin que, dans leurs vibrations particulières, ils se heurtent et se contrarient, il arrive bientôt que le système de tous ces corps se meut symétriquement et en temps égaux. C'est ainsi que, au
défaut de nos sens, le calcul seul nous avertirait de la coexistence des vibrations simples et, si l'on peut parler ainsi, de la composition harmonique des oscillations.
Les résultais que nous venons d'exposer se rencontrenl dans toute espèce de matières. La nature reproduit ces phénomènes sous les formes les plus variées : on les observe particulièrement dans les frémissements des corps sonores; et c'est une branche du Calcul intégral qui fournit les principes fondamentaux de l'harmonie.
