SUR

Recherches statistiques sur la ville de Paris et le département de la Seine; 187.6.

L'étude des propriétés du climat, celle de la population et de la richesse agricole ou commerciale, exigent le plus souvent que l'on

1 ') Nous lisons dans Y Eloge de Fourier par Arago (CEuvres complètes de François Arago, I. I, p. 36o) qu'à la seconde Restauration le préfet de la Seine, M. de Chabrol, ayant appris que Fourier, son ancien professeur à l'École Polytechnique, se trouvait sans place et presque sans ressources, lui confia la direction supérieure du Bureau de la Statistique de la Seine.

« Fourier. nous dit Arago, répondit dignement à la confiance do M. de Chabrol. Les .Mémoires dont il enrichit les intéressants Volumes publiés par la Prélecture de la Seine sers iront désormais de guide à tous ceux qui ont le bon esprit de voir dans la Statistique autre chose qu'un amas indigeste de chiffres et de travaux. >>

Le Recueil auquel Arago fait allusion a été publié sous te titre suivant : Recherches statistiques sur la V die de Paris et le département de la Seine. Il se compose de quatre Volumes publiés successivement en 1821, i8i'i, 1826 et [829. Chacun d'eux contient à la fois des .Mémoires et des Tableaux statistiques. Les Mémoires, non signés, sont certainement de Fourier. Nous avons, sur ce point, les témoignages des contemporains, et, d'ailleurs, il suffit de lire les Notions générales mr la population, insérées dans le Volume de 1821, et le Mémoire sur ta population de la Ville de Paris depuis la fin du xvn'' siècle, qui fait partie du Volume de 182Î, pour y reconnaître la main et le style même de Fourier.

Par un sentiment que tout le monde comprendra, l'illustre géomètre a tenu à s'effacer

détermine la valeur numérique moyenne d'une certaine quantité. On observe, ou l'on extrait des registres publies, un grand nombre de valeurs différentes de cette quantité; on ajoute tous les nombres qui l'expriment, et l'on divise la somme par le nombre des valeurs qui ont été mesurées : le résultat est la valeur moyenne. Par exemple, si l'on entreprend de déterminer la durée de la vie bumaine à une époque et dans un pays donnés, on marque pour un très grand nombre d'bommes, dans les conditions les plus diverses, l'âge qu'avait atteint ebacun des décédés; la somme de ces âges, divisée par le nombre des décès, est la durée moyenne de la vie. 11 n'y a personne qui ne connaisse ce procédé simple par lequel on détermine un nombre moyen, et il n'y a pour ainsi dire aucune question de Statistique qui ne donne lieu à l'appli-

devant M. de Chabrol, comme le montre le passage suivant que nous empruntons à Y Histoire de l'Académie, écrite par Fourier lui-môme, pour l'année 1822 (Tome V des Mémoires de l'Académie des Sciences, p. 3 1 4 )-

« L'Académie se souvient du beau travail dont M. le comte de Chabrol a réuni les matériaux nombreux et authentiques, qu'il a publiés, en 1821, sous le titre de Recherches statistiques sur la Ville de Paris et le département de la Seine, et qui contient G2 Tableaux. Elle apprend avec intérêt que ce magistrat continue ces précieuses recherches, les seules jusqu'à présent dans leur genre, et que la suite en doit paraître incessamment.

» Grâces soient rendues aux administrateurs qui font servir l'influence et l'autorité de leurs importantes fonctions, ainsi que les secours de tout genre dont ils peuvent disposer, à résoudre des questions d'un égal intérêt pour le Gouvernement et pour les particuliers, pour les Sciences exactes et pour les spéculations de l'Économie politique. Proclamer les litres que de pareils travaux leur donnent à la reconnaissance, c'est acquitter envers eux une dette publique de la manière la plus convenable. »

Nous nous contenterons de reproduire ici deux écrits d'un intérêt tout à fait général, publiés dans les Volumes de 1826 et 182g. On y trouve exposés, avec toute la netteté désirable, les résultats acquis à la Science dans l'étude de l'une des questions les plus importantes du Calcul des Probabilités, de celle qui doit intéresser au plus haut degré les physiciens et les personnes qui s'occupent de Statistique. Certains passages d'ailleurs, tels que celui qui concerne la pyramide de Chéops, montrent que Fourier était déjà en possession des résultats qu'il expose et des règles qu'il énonce, à l'époque où il faisait partio de l'expédition d'Egypte. Au sujet de ces Mémoires de Fourier, on pourra consulter le Calcul des Probabilités de M. J. Bertrand.

Nous signalerons aussi, dans le môme ordre de recherches, deux autres travaux de Fourier. L'un est un Mémoire sur la théorie analytique des assurances-, publié, en 1819, au Tome X des Annales de Chimie; l'autre est le Rapport sur les tontines présenté à l'Académie des Sciences dans la séance du 9 avril 1822. La Commission était composée de Lacroix, Poisson et Fourier, rapporteur. Ce Rapport, qui comprend dix-huit pages, est inséré dans le Tome V des Mémoires de l'Académie des- Sciences- (page '.G de Y Histoire de l'Académie).

cation de cette règle commune. C'est pour cela qu'il est très utile d'examiner avec attention les conséquences qu'elle fournit, et le degré d'approximation auquel on parvient.

Il est d'abord évident que la valeur moyenne est connue avec d'autant plus de précision que l'on fait concourir à cette recherche un plus grand nombre d'observations, et l'on voit aussi qu'il est nécessaire de ne point se borner à certaines professions ou conditions , mais de les admettre toutes indistinctement, afin que, par la multitude et la promiscuité des éléments, les variations accidentelles se compensent, et que l'on forme ainsi un résultat moyen et général. Nous avons indiqué dans un autre Mémoire comment cette compensation s'établit; elle est fondée sur le principe suivant, qui est un des premiers théorèmes de l'Analyse des probabilités, savoir : que, dans un nombre immense d'observations, la multiplicité des chances fait disparaître ce qui est accidentel et fortuit, et qu'il ne reste que l'effet certain des causes constantes; en sorte qu'il n'y a point de hasard pour les faits naturels considérés en très grand nombre. On n'a point ici pour objet de démontrer ce principe, qui se présente de lui-même à l'esprit; mais on se propose d'en faire connaître les conséquences mathématiques, et d'en déduire des règles usuelles qui s'appliquent facilement aux recherches statistiques.

On reconnaît d'abord que, pour un même genre d'observations, le résultat moyen est connu d'autant plus exactement que le nombre des valeurs qui forment la somme totale est plus grand. Il est évident que, si l'on emploie, dans le calcul de la durée moyenne de la vie, quatre mille valeurs particulières, cette durée sera déterminée avec plus de précision que si l'on emploie seulement deux mille valeurs ou trois mille. Mais quelle est la mesure de ces dilférents degrés de précision, et quelle relation y a-t-il entre le nombre qui l'exprime et le nombre des valeurs qui ont servi à calculer le résultat moyen?

Avant de résoudre cette question, nous ferons remarquer que Ton peut acquérir une connaissance assez exacte de la précision du résultat sans recourir aux théories mathématiques. Il suffit, par exemple, de diviser en deux parties l'ensemble des valeurs observées, dont le nombre est supposé très grand, et de prendre pour chacune de ces parties la valeur du résultat moyen; car, si ces deux valeurs diffèrent extrêmement peu l'une de l'autre, on est fondé à regarder chacune d'elles comme très précise. Rien n'est plus propre que ce genre d'épreuves à mettre en évidence l'exactitude des résultats statistiques, et il est presque inutile de présenter au lecteur des conséquences qui ne sont pas vérifiées par ces comparaisons des valeurs moyennes.

Pour appliquer avec fruit cette première remarque, il faut remonter au principe dont elle est déduite, et concevoir bien distinctement que la répétition et la variété des observations suffisent pour découvrir les rapports constants des effets dont la cause est ignorée. Cette conclusion, dont nous allons citer un exemple numérique très simple, s'applique aux objets les plus divers; et il n'y a point, dans la matière que nous traitons, de notion plus générale et plus importante.

Si l'on suppose qu'une urne contient un nombre inconnu de boules blanches et un nombre différent de boules noires, on pourra déterminer par l'expérience le rapport inconnu de ces deux nombres. Il faut pour cela répéter un très grand nombre d'épreuves, dont chacune consiste à extraire une boule de l'urne proposée, et à l'y replacer après avoir marqué sa couleur. On comptera combien il est arrivé de fois qu'une boule blanche est sortie, et combien il est arrivé de fois qu'une boule noire est sortie. Le rapport de ces deux nombres, qui sont désignés par m et n, pourra d'abord différer beaucoup du rapport des nombres inconnus M et N; mais le quotient variable — ap-

M prochera continuellement du quotient fixe ^-- Ainsi, en supposant que

le nombre des épreuves qui ont été faites est très grand, et désignai!!

par m et n les nombres respectifs des houles blanches ou noires sorties de l'urne, le rapport ™ différera extrêmement peu du rapport == :

la ditterence ^ — — peut être ou posihve ou négative, et cela est fortuit; mais la valeur effective de cette différence sera une fraction décimale extrêmement petite, et cela arrive nécessairement.

Supposons main tenant que, après a voir achevé ce nombre d'épreuves, (jue nous indiquons par r, on renouvelle une opération du même genre, et que le nombre des épreuves qui forment cette seconde opéra-

m' tion soit r, ou un autre nombre très grand r'. Le rapport— des nombres

respectifs des boules blanches ou noires, sorties pendant cette seconde

opération, diffère aussi extrêmement peu du rapport tixe — : ainsi les

quotients ™, ^ sont l'un et l'autre très voisins du quotient ^J- Les

quantités dont ~ et ™- diffèrent entre elles, et diffèrent de^> diminuent indéfiniment et sans limite à mesure que les nombres / et /•' augmentent; c'est-à-dire que les nombres /■ et /■' des épreuves pourraient être rendus assez grands pour qu'il n'y eût aucune différence appréciable entre les rapports déduits de l'une et de l'autre opération.

La vérité de ces conséquences s'offre d'elle-même; la raison seule les suggère; mais l'Analyse mathématique des modernes les a pleinement confirmées. Elle détermine jusqu'où il faut porter le nombre des épreuves pour que l'on puisse, dans la pratique, être assuré qu'une seconde opération analogue donnerait sensiblement le même résultai. L'Anfalyse dont il s'agit mesure exactement la probabilité de ce résultat; c'est-à-dire qu'elle exprime en nombres combien il est probable que la valeur moyenne calculée est comprise entre des limites données; <dle prouve aussi qu'il va une limite des plus grandes erreurs possibles. Ces considérations s'étendent à tous les genres de recherches, et l'on voit que la persévérance ou la multiplicité îles observations supplée en quelque sorte à la connaissance des causes, et qu'elle sulïit II. <>:

pour découvrir les lois auxquelles les effets naturels sont assujettis. Les sciences philosophiques doivent ce progrès à Jacques Bernoulli et aux grands géomètres qui lui ont succédé.

On pourrait appliquer ces principes à la recherche de la durée des générations humaines, question qui intéresse à la fois l'histoire naturelle de l'homme et la chronologie, et qui n'a point encore été réduite au calcul. Il faut d'abord remarquer que la durée des générations n'est point celle de la vie moyenne. Ces deux intervalles, que plusieurs écrivains politiques n'ont pas distingués, dépendent de conditions très différentes; ils ne sont point composés des mêmes éléments, et ne sont pas soumis de la même manière à l'influence des lois civiles. On voit, par exemple, que la loi qui règle l'âge où le mariage peut être contracté concourt directement à déterminer la durée des générations. On voit aussi qu'il est nécessaire de considérer séparément la durée des générations pour les deux sexes, pour les premiers-nés, pour les successions royales.

Pour déterminer la durée commune des générations viriles, c'està-dire la valeur moyenne de l'intervalle de temps qui s'écoule depuis la naissance du père jusqu'à la naissance d'un de ses fils, il faudrait se procurer la connaissance d'un grand nombre de valeurs particulières exprimant cet intervalle, comme 3ooo ou 4ooo. On saurait donc, pour chacun de ces cas particuliers, quel âge le père avait atteint lorsque le tils est né. On formerait la somme de tous ces âges, et on la diviserait par /jooo; le quotient serait la valeur moyenne cherchée.

Il est évident qu'il ne faudrait pas restreindre l'énumération aux seuls premiers-nés; car le résultat exprimerait alors la durée moyenne des générations des premiers-nés seulement, et cet intervalle est plus court que la durée commune, qui est l'objet de la question; il faudrait, an contraire, admettre indistinctement et sans aucun choix dans l'énumération les premiers, les seconds, les troisièmes fils, etc., et ne point

DEDUITS D'UN GRAND NOMBRE D'OBSERVATIONS. o3l

se borner à des conditions ou professions spéciales, afin que, par la variété et la multiplicité des observations, on représentât sensiblement l'étal de la société commune. Cela posé, le résultat moyen exprimerait la valeur approchée de l'intervalle dont il s'agit. Mais il lesterait à déterminer le degré d'approximation. On ignorerait encore si la valeur trouvée est tirs voisine de celle que Ton cherche, ou de combien elle peut en différer. La détermination de ces limites est importante dans toute recherche; lorsqu'elles ne sont point connues, on ne peut se former qu'une idée très vague de la précision du résultat. Nous donnerons, dans les articles suivants, mie règle facile pour mesurer cette précision.

Un des moyens les plus simples de vérifier les nombres que fournissent des observations multipliées consiste, comme nous l'avons dit, à diviser fortuitement la série de ces observations en diverses parties, et à" comparer les valeurs que l'on déduit séparément de chacune de ces parties. L'emploi de ces règles suppose évidemment que la composition de l'urne ne change point pendant toute la durée des expériences. On pourrait sans doute appliquer ces règles au cas où des cbangemenls surviendraient dans la nature des causes, et l'on peut même connaître ainsi l'effet de ces changements. Mais il est nécessaire, dans ce cas, de considérer séparément les intervalles dans lesquels la cause demeure constante, et de multiplier les observations relatives à chacun de ces intervalles. Les sources les plus communes de l'erreur et de l'incertitude des conséquences que plusieurs écrivains déduisent des recherches statistiques sont : i" l'inexactitude des observations primitives, recueillies par des moyens 1res divers et non comparables; 2° le trop petit nombre des observations, ce qui ne permet point de les diviser en séries et de former séparément le résultat de chaque série; )" l'altération, ou progressive ou irrégulière, (pie les causes ont subie pendant la durée des observations.

532 mémoire sur les résultats moyens

Jusqu'ici nous n'avons point considéré les conséquences mathématiques, mais seulement celles que présente un premier examen. Il faut maintenant approfondir la question, et montrer comment elle peut être résolue par les théories analytiques. Si le nombre des valeurs observées est très grand, et si , après les avoir ajoutées ensemble, on divise la somme par leur nombre, le quotient est une valeur moyenne très approchée; il est certain que le degré d'approximation est d'autant plus grand que l'on a employé un plus grand nombre de valeurs particulières. On voit, de plus, que, si ces valeurs particulières sont très peu différentes les unes des autres, on est fondé à regarder le résultat comme plus exactement connu que si elles étaient très inégales. Ainsi le degré d'approximation ne dépend pas seulement du nombre des quantités que l'on a réunies : il dépend encore du plus ou moins de diversité de ces quantités; il s'agit de se former une idée exacte de ce degré d'approximation, et de montrer que la précision du résultat est une quantité mesurable que l'on peut toujours exprimer en nombres. Nous énoncerons d'abord la règle qui doit être suivie pour trouver cette mesure numérique de la précision.

Désignons par a, b, c, d,. . ., n les valeurs particulières dont on a déduit le résultat moyen, et par A ce résultat; m exprime le nombre des valeurs, et on le suppose très grand. La valeur moyenne A est égale à la somme a -h b -+- c -+- ... -h n, divisée par le nombre m. On prendra le carré de chacune des valeurs particulières; puis, ajoutant ensemble tous ces carrés, a- -h b- -h c- -+- d1 -\- . . . -+- n-, on divisera leur somme par le nombre m, ce qui donnera un quotient B, qui représente la valeur moyenne des carrés. On retranchera de B le carré A- de la valeur moyenne, et l'on divisera le double du reste par le nombre m. Extrayant la racine carrée du quotient, on trouvera une quantité que n (in s désignons par g-, et qui sert à mesurer le degré de l'approximation. Plus la valeur de g est petite, plus la moyenne calculée A est voisine de la valeur exacte que l'on cherche.

Les résultats précédents sont exprimés comme il suit :

— (a -+- I> -+- c 4- d -H . . . -4- n), ni

Pour citer un exemple de l'application de cette règle, nous supposerons que l'on a trouvé 4ooo valeurs particulières, savoir :

iooo égales à 2,

>ooo )) 5,

En général, les quantités observées sont toutes inégales, et elles ne se réduisent point, comme les précédentes, à un petit nombre de valeurs différentes; mais nous n'avons ici en vue que d'indiquer la marche du calcul.

La somme des valeurs observées est 1000.2 + 2000.5 -h 1000. 12 ou 24000, et cette somme, divisée par 4000, qui est le nombre (\c< quantités, donne 6 pour la valeur moyenne. La somme des carrés des valeurs est 1000. \ -f- 2000. 25 -h 1000.144 ou 198000. Divisant cette somme par ^ooo, on a 49^ pour la moyenne des carrés. On en retranche le carré 36 de la valeur moyenne; il reste -~. On divise 27 par 4ooo. ensuite on extrail la racine carrée du quotient —^ ou -——^ : cette racine est s'10\ 1080; en effectuant l'opération, on a 0,08216 ou à très peu près 82 millièmes. C'est cette fraction qui fait connaître le degré d'approximation du résultat moyen.

Pour expliquer le vrai sens de cette proposition, il est nécessaire de rappeler le principe qui sert de fondement au calcul des quantités moyennes. Supposons donc que l'on ait ajouté ensemble un grand nombre de valeurs observées, et que l'on ait divisé la somme par le

nombre m, ce qui donne la quantité A pour .la valeur moyenne; nous avons déjà remarqué que l'on trouverait presque exactement cette même valeur A, en employant un très grand nombre d'autres observations. En général, si l'on excepte des cas particuliers et abstraits que nous n'avons point à considérer, la valeur moyenne ainsi déduite d'un nombre immense d'observations ne change point; elle a une grandeur déterminée H, et l'on peut dire que le résultat moven d'un nombre infini d'observations est une quantité tixe, où il n'entre plus rien de contingent, et qui a un rapport certain avec la nature des faits observés. C'est cette quantité fixe H que nous avons en vue comme le véritable objet de la recherche. On lui compare chacune des valeurs particulières, et l'on appelle erreur ou écart la différence entre cette valeur particulière et la valeur fixe H, qui serait le résultat moyen d'un nombre infini d'observations.

Le nombre que nous avons désigné par m, qui est celui des valeurs observées, ne peut être infini, mais il est très grand; en sorte que la valeur moyenne A, donnée par ce nombre m d'observations, n'est point la grandeur fixe H qui résulterait d'un nombre infini. Elle en diffère en plus ou en moins d'une quantité H — A, qui est très petite. Cette différence H — A, que nous désignons par D, est, à proprement parler, l'erreur de la valeur moyenne A. Cela posé, il est extrêmement probable que l'erreur I) sera fort petite si le nombre m est très grand; et toutefois il n'est pas entièrement impossible que cette erreur D soit assez grande. Elle est susceptible d'une infinité de valeurs différentes, qui peuvent toutes avoir lieu, mais qui sont très inégalement possibles. Or nous déterminerons quelle probabilité il y a que l'erreur D de la valeur moyenne A ne surpassera pas une limite donnée E, abstraction faite du signe, c'est-à-dire sera comprise entre -+- E et — E.

On sait que la probabilité d'un événement s'estime par la comparaison du nombre des chances qui amènent cet événement au nombre

total des chances également possibles. Ainsi, lorsqu'on a placé dans une urne des boules de différentes sortes, en nombre total M, savoir : un nombre m d'une première sorte, un nombre 11 d'une seconde sorte, un nombre/? d'une troisième, etc., la probabilité de la sortie d'une boule

de la première espèce est ^, celle de la sortie d'une boule de la seconde espèce est ^y et ainsi de suite, M désignant le nombre total/w+n-h/74-

C'est sous cette forme unique que se présente la solution de toutes les questions de l'Analyse des probabilités. Quelque composé que soit un événement, lorsqu'il est exactement défini, on peut en mesurer la probabilité, parce que l'on parvient à prouver qu'elle équivaut à celle de retirer une boule d'une espèce déterminée, en puisant dans une urne qui contient seulement un nombre /// de boules de cette espèce sur un

nombre total M de boules de différentes espèces. La fraction ^ est la mesure de la probabilité cherchée. Tout l'art de la recherche consiste à déduire des conditions énoncées la valeur de cette fraction ^r- Mais

il arrive souvent que cette déduction mathématique est un problème difficile, dont la solution exige une connaissance approfondie de la science du calcul.

Cette notion de la probabilité s'applique aux erreurs de mesure auxquelles on est exposé dans l'usage des instruments.

En effet, quelque précis que soit un instrument donné, par exemple celui dont on se sert pour mesurer un angle, on ne trouve point par une première opération la valeur exacte de cet angle, mais seulement une valeur approchée. L'erreur est vraisemblablement très petite; toutefois il n'est pas impossible qu'elle soit assez grande; il est seulement très probable que l'erreur positive ou négative n'excède pas une crilaine limite, comme trois minutes de degré; et cela a lieu même pour des instruments assez imparfaits. Une erreur moindre, comme celle d'une minute en plus ou en moins, est beaucoup plus probable. L'instrument pourrai! être tel que la valeur moyenne de l'erreur à laquelle

on est exposé à chaque opération fût une minute. Dans ce cas, il est aussi probable que l'on se trompera de plus crime minute qu'il est probable qu'on se trompera de moins d'une minute. Alors la fraction \ exprime quelle probabilité il y a que la grandeur exacte de l'angle est comprise entre la valeur que donne l'instrument, augmentée d'une minute, et cette même valeur, diminuée d'une minute. Cette erreur d'une minute, dont la probabilité est |, est en quelque sorte moyenne et commune; c'est-à-dire que, dans l'usage infiniment répété de l'instrumenl dont il s'agit, il arrivera autant de fois qu'on se trompera de moins dune minute qu'il arrivera de fois qu'on se trompera de (dus d'une minute.

On voit que, si l'instrument était plus parfait, l'erreur moyenne, dont la probabilité est ^, serait moindre qu'une minute. On pourrait donner à un instrument de ce génie un tel degré de précision que l'erreur commune, dont la probabilité est |, fût seulement la cinquième partie d'une minute. Nous disons que ce second instrument serait cinq fois plus précis que le premier. En général, la valeur de l'erreur commune ou movenne qui serait désignée par H est telle que, dans un nombre immense d'opérations, il y a autant d'erreurs positives ou négatives qui surpassent H qu'il y en a de moindres que H. Le rapport de ces deux nombres d'erreurs, les unes plus grandes que H, les autres moindres, approche continuellement de l'unité à mesure que le nombre des observations augmente. Nous définissons ainsi l'erreur moyenne.

Il est facile d'étendre à la recherche des valeurs moyennes la définition mathématique du degré d'approximation.

Considérons que, la valeur moyenne A donnée par un nombre m d'observations pouvant différer de la quantité fixe H qui serait donnée par un nombre infini d'observations, la différence ou erreur II — A est vraisemblablement très petite si le nombre m est très grand. L'erreur éventuelle H — A est susceptible d'une infinité de valeurs inega-

lement possibles. Ces erreurs ont des limites vraisemblables; c'està-dire qu'il est extrêmement probable que l'erreur commise en plus ou en moins n'excédera pas une certaine quantité. 11 existe d'autres limites plus voisines, pour lesquelles la probabilité de l'erreur est seulement *2 ; en sorte qu'il peut arriver indifféremment, ou que l'erreur excède ces limites, ou qu'elle y soit comprise.

En général, déterminer le résultat moyen d'un grand nombre de valeurs particulières, c'est mesurer une quantité avec un instrument dont on peut augmenter la précision, autant qu'on le veut, en augmentant de plus en plus le nombre des valeurs observées.

Il est facile de comparer, selon la règle énoncée dans l'article VI , la précision d'un résultat A, donné par un grand nombre m d'observations, avec celle d'un résultat A' que l'on aurait déduit d'autres observations dont le nombre est ni. En effet, suivant cette règle, le carré \de la valeur moyenne A doit être retranché de la quantité

- (rt2 4- b1 + C1 — à1 — . . . + //' ), m

qui est la moyenne des carrés; et, après avoir divisé le double du reste par le nombre m, on extrait la racine carrée du quotient : nous désignons cette racine par g.

On calculera de la même manière la quantité g', qui répond au second résultai A déduit des observations en nombre ni. Cela posé, on démontre rigoureusement, par les principes du calcul, que le degré d'approximation dépend entièrement de la quantité désignée par g. Il est d'autant plus grand que cette quantité g est plus petite. Les précisions respectives des deux résultats A et A' sont en raison inverse des nombres g et g'. Il faut remarquer que celte comparaison ne suppose même pas que les observations sont de la même nature : car elle a un objet purement numérique, et les recherches les plus diverses peuvent être envisagées sous ce point de vue commun.