THEORIE

in

Mémoires de l' Académie Royale des Science1! de l'Institut de France, années 1 82 1 et 1822, t. V, p. 1 >3 à 24G: 1826. Imprimerie Royale.

Des températures terrestres, et du mouvement de lu chaleur dans l'intérieur d'une sphère solide, dont la surface est assujettie ù des changements périodiques de températures.

Après avoir exposé les lois générales du mouvement de la chaleur dans les corps solides,, il ne sera point inutile d'indiquer une des principales applications de celte théorie. On a choisi pour cet objet la question des températures terrestres. Aucune branche de l'étude de la nature ne nous intéresse davantage, et ne peut nous offrir un sujet plus digne de nos recherches. A la vérité, l'examen de cette grande question exigerait des observations exactes et multipliées, qui n'ont poinl encore été faites; mais on peut maintenant déterminer par le calcul les lois de la propagation de la chaleur dans le globe terrestre, et ramener à une théorie commune les observations qui ont été recueillies jusqu'ici.

Les différents [joints de la surface de la ferre sont inégalement

k THÉORIE DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR

exposés à l'action dos rayons solaires. Les mouvements que cette planète accomplit sur elle-même et dans son orbite rendent très variables les effets successifs de la chaleur du Soleil. Si l'on plaçait des thermomètres dans les différents points de la partie solide du globe, immédiatement au-dessous de la surface, on remarquerait des changements continuels dans chacun de ces instruments. Ces mouvements de la chaleur à la surface ont des relations nécessaires avec tous ceux qu'elle éprouve dans l'intérieur du globe. On se propose ici d'exprimer ces relations par l'Analyse.

Les grandes variations de la température à la surface du globe sont périodiques : elles se reproduisent et redeviennent sensiblement les mêmes après l'intervalle d'une année. Ainsi la question consiste principalement à déterminer le mouvement de la chaleur dans un globe solide, d'un diamètre immense, dont la surface est assujettie à l'ac-

tion périodique d'un foyer extérieur. On fait ici abstraction des causes propres qui pourraient faire varier la chaleur dans l'intérieur même de la Terre; car elles n'ont qu'une influence extrêmement bornée sur le système général des températures. Au reste, il convient d'étudier séparément toutes les causes qui concourent aux températures terrestres, et de soumettre d'abord à une analyse rigoureuse les effets des causes principales. En comparant ensuite les résultats du calcul et ceux de l'observation, on distinguera les effets accidentels, et l'on parviendra à déterminer les lois constantes des grands mouvements que les variations de température occasionnent dans les mers et dans l'atmosphère. Si l'on suppose que tous les points de la surface d'un globe solide immense soient assujettis, par une cause extérieure quelconque et pendant un temps infini, à des changements périodiques de température pareils à ceux que nous observons, ces variations ne pourront affecter qu'une enveloppe sphérique dont l'épaisseur est infiniment petite par rapport au rayon; c'est-à-dire qu'à une profondeur verticale peu considérable la température d'un point aura une valeur constante qui dépend, suivant une certaine loi, de toutes les températures variables du point de la même verticale situé à la surface. Ce résultat

important est donné par les observations, et l'on verra aussi qu'il est facile de le déduire de la théorie. Mais il faut remarquer que la valeur fixe de la température n'est point la même lorsqu'on change de verticale, parce qu'on suppose que les points correspondants de la surface éprouvent inégalement l'action du foyer extérieur. Si donc on fait abstraction de l'enveloppe du globe solide, on pourra dire que les divers points de sa surface sont assujettis à des températures constantes pour chacun de ces points, mais inégales pour des points différents. La question consistera maintenant à connaître quel doit être l'état intérieur résultant de l'état donné de la surface. Il faudra représenter par des formules générales le mouvement constant de la chaleur dans l'intérieur de la sphère, et déterminer la température iixe d'un point désigné. On voit, par cet exposé, que nous avons ici deux questions à traiter : dans la première, on considère les oscillations périodiques de la chaleur, dans l'enveloppe de la sphère, à des profondeurs accessibles; et dans la seconde, qui n'intéresse, pour ainsi dire, que la théorie, il s'agit de déterminer les températures fixes et inégales de la partie inférieure du solide qui ne participe point aux perturbations observées à la surface.

On supposera donc, en premier lieu, que la surface d'une sphère solide, d'un très grand diamètre, est assujettie en ses divers points à des changements périodiques de température, analogues à ceux que l'on remarqué vers la surface de la Terre; et l'on déterminera quel est reflet de ces variations à une profondeur peu considérable.

Il faut d'abord considérer que l'on doit ici faire abstraction du mouvement de la chaleur dans le sens horizontal. En effet, tous les points de la surface qui sont contigus, et compris dans une assez grande étendue, doivent être regardés comme également affectés par les causes extérieures : il en résulte que les points correspondants placés dans l'intérieur à une profondeur peu considérable ont aussi, dans le même instant, des températures sensiblement égales; donc ils se coin-

muniquent dos quantités do chaleur extrêmement petites. Il n'en est pas de même dos points contigus d'une même ligne verticale; leurs températures, prises dans un môme instant, diffèrent outre elles de quantités incomparablement plus grandes que colles des points également distants de la surface. Par conséquent, le mouvement de la chaleur qu'il s'agit de connaître, pour une ligne verticale donnée, est sensiblement le même que si tous les points de la surface de la sphère subissaient des changements périodiques entièrement semblables. Il reste donc à considérer le mouvement de la chaleur dans cette dernier*! hypothèse. Les points également distants du centre de la sphère conservent alors une température commune v qui varie avec le temps écoulé /. En désignant par x la distance au centre, on voit que v est une fonction de x et / qu'il faut déterminer. L'équation

dv K fd%v 9. dv

que l'on a obtenue précédemment (art. Il ) ('), représente les variations instantanées des températures dans une sphère solide dont les couches sphériques sont inégalement échauffées; c'est-à-dire que, si l'on donnait actuellement aux points de la sphère placés à la distancer une température c, v étant une fonction de x donnée, et que l'on voulût connaître le résultat instantané de l'action mutuelle de toutes les particules, il faudrait ajouter à la température de chaque point la différentielle

K fd-v 2 (h- ,

CD \àx> + x dx)

On voit par là que cette équation, que l'on avait trouvée pour'le cas où le solide se refroidit librement après son immersion dans un liquide, exprime aussi la condition générale à laquelle la fonction c doit satisfaire, dans la question que l'on traite maintenant. On remplacera la variable x par X — u, X désignant le rayon total de la sphère, et // la

( ' | Théorie tl<- lu chaleur, art. 1 13. p. 9a. G. D.

distance perpendiculaire entre la surface et le point dont la température est c. On obtient par cette substitution, et en considérant X comme un très grand nombre,

dv K d%v dt ~~ CD dû*'

On aurait pu parvenir à ce même résultat en considérant immédiatement le mouvement linéaire de la chaleur dans un solide terminé par un plan infini; mais il y a, dans la question des températures terrestres, divers points que l'on ne peut éclaircir qu'en employant l'équation plus générale qui convient à la sphère.

11 faut ajouter aux remarques précédentes que l'on peut encore taire abstraction de l'état primitif dans lequel se trouvait le solide lorsqu'on a commencé à assujettir la surface aux variations périodiques de température. En effet, cet état initial a été continuellement changé, et pendant un temps infini, en sorte qu'il s'est transformé progressivement en un autre état, qui ne dépend plus que des températures variables de la surface, et qui est lui-même périodique. La différence entre cet état final et celui qui avait eu lieu au commencement a diminué de plus en plus, et a disparu d'elle-même entièrement; elle résultait d'une chaleur excédante qui s'est dissipée librement dans l'espace extérieur ou dans le solide infini. Au reste, ce même résultat, qu'il est facile d'apercevoir apriori, se déduit aussi du calcul. Il est exprimé par les formules générales que l'on obtient en ayant égard à l'état initial; et l'on reconnaît facilement que les températures finales du solide sont périodiques, et redeviennent les mêmes après un intervalle de temps égal à celui qui détermine le retour des températures de la surface. Il a paru superflu d'entrer ici dans ce développement.

On voit maintenant que la fonction cherchée v de a- et / est périodique par rapport au temps /, et qu'elle satisfait à l'équation générale

dv K d*v ,à*f> dt " CD du2 ' du*'

Elle satisfait aussi, lorsqu'on fait u = o, à l'équation déterminée

f étant une fonction périodique que l'on suppose connue. C'est au moyen de ces conditions qu'il faut déterminer la fonction v.

La nature de la fonction <p est telle, par hypothèse, qu'elle ne change point de valeur si l'on écrit / -+- 0 au lieu de /, 0 étant la durée de la période; il doit en être de mémo de la fonction e.

On satisfait à l'équation (e) en supposant

v ■==. ae-&" cos (2 g2 kt — gu), ou

c = ae~&" si ri ( 2 g- kt — gu ) ,

Ces valeurs particulières se déduisent de celles que nous avons employées jusqu'ici; il suffit de rendre les exposants imaginaires. Les quantités g et a sont arbitraires. On peut donc exprimer la valeur générale de v par l'équation suivante :

v = -+- e-*" [ a cos ( i g2 kt — gu ) -+- b si n ( 2 g2 kl — gu 1 -t- e~e> u[a1 cos(2^-j kt — gt u) -+- 6, s\n (2 g2 kl — gx u )] -+- e~s, " [a, cos (2gl kt — g.2 u) ■+- b, sin ( ig\ kt — g, u 1 1

En supposant u = o, on aura l'équation de condition

o(/) = + « cos2g2kt-hb s'u\2g2 kt -+- «1 cos2J7j kt -+- bx sinig\ kt ■+- a., cos 2g\kt -+- b., sm2g\kt

Pour que cette fonction soit périodique et qu'elle reprenne sa valeur lorsqu'on augmente / de l'intervalle 0, il suffit que

2 g2 kO =r 2/7:,

i étant un nombre entier quelconque. Si l'on prend pour g, g{, g.,, . . . des nombres qui satisfassent à cette condition, la valeur générale de v

donnée par l'équation (c) sera périodique aussi, et ne changera point lorsqu'on écrira / + 0 au lieu de /; car cette substitution ne fera qu'augmenter d'un multiple de la circonférence entière toutes les quantités qui sont sous les signes sinus ou cosinus. On a donc

<p(£) *= a -+- a, cos ( i -7- t) -h ôj sin l 1 ~ l

-I- (7, COS I 2 — / ) -t- 02 Slll ( ■>. -y- l

a3 cos ( 3 -Q- * I -+- 63 sin ('À-^-i

La fonction tp(j) étant supposée connue, il sera facile d'en déduire les valeurs des coefficients a\, <i,, (t:i, aA, . . . , bt, b2, A.,, 6, On trouvera (art. 31) (')

I o[t)<lt,

et en général

nat = -^ i y(t)cos(-^-tj dt,

r./it—~ I y (t) cos (i-Q- t) dt r.bi—— t <p(*)sio (i^-tjdt

Les intégrales doivent être prises depuis -j-t = o jusqu'à y'/ — 2-, ou depuis / — o jusqu'à / = 0. Les coefficients étant ainsi déterminés,

el les exposants g, g,, g.,, g. gh ... étant o, i/^> \,' / /

(l i Théorie de la chaleur, art. 241, p. ■>. j j.

THÉORIE Dl MOI VEMENT DE LA CHALEUR

4 ';, .., t / i-f^, ••-, il ne reste rien d'inconnu dans la valeur de.c. L'équation suivante fournit doue la solution complète de la question :

o(0 cos( y / ) <■//

•vs H* t'-'V h)f,*

(sin( Tf-"V ^Ji 0(0sill( T')A)

| sin^f-ay/aJLj jf o, r, si.. ( >. ~ /) ,// |

11 vl'^)X?(°8ln ('¥')*

Cette solution fournit diverses conséquences remarquables. Les quantités exponentielles

e-Wh e-"\/% e-"V^,

forment une suite décroissante, et la diminution est d'autant [.lus lapide que la quantité u est plus grande. Il en résulte que la température des points du solide placés à une profondeur un peu considérai.le est représentée sensiblement par les deux premiers termes de la valeur de v. En effet, il faut remarquer que les quantités variables qui multiplient les exponentielles sont toutes affectées des signes cosinus ou sinus; elles ne peuvent donc acquérir, lorsqu'on fait varier / ou u, que des valeurs comprises entre i et — î . A l'égard des coefficients qui contiennent le signe intégral, ils sont tous constants; donc les

termes successifs dé la valeur de c diminuent tirs rapidement si l'on augmente la valeur de //.

En donnant à cette quantité u une certaine valeur U, qu'il est aisé de déterminer, le second terme de la série devient une quantité extrêmement petite, et alors la valeur de c est constante et demeure ainsi la même pour toutes les profondeurs qui surpassent l . Ainsi l'Analyse nous l'ait connaître que la température des lieux profonds est fixe et ne participe aucunement aux variations qui ont lieu à la surface.

De plus, cette température fondamentale équivaut à

- / o(t)dl,

z>( t ) représentant la température variable du point de la surface. Donc la température fixe des lieux profonds est la valeur moyenne de toutes les températures variables observées à la surface. Les observations ont donne depuis longtemps les mêmes résultats; ils se présentent aujourd'hui comme des conséquences évidentes de la théorie mathématique de la chaleur.

En désignant par w la différence entre la température moyenne et celle des points qui sont placés à une profondeur u peu différente de l, on aura

' -<'— a / <?{t)di

(cos(2^-^ ^)/?(0co.(9^)rf*J

%e V/fJ

e -"| a cosi 2 g° kl - gu) -+■ ôsitl! ig-/:t — gu 1 1. a . h et g ayant les valeurs désignées précédemment par a,, A, cl gt

Cette dernière équation peut être transformée en celle-ci

(»> = <>— i f\{t)dt = r-A'»(rt2+ 62)ïsin( 2g* kt — gu ■+■ arctang-r- )•

Si maintenant on regarde u comme constante, et que l'on fasse varier /, la quantité w aura pour plus grande valeur

Doue la température d'un point placé à une profondeur assez considérable est alternativement plus grande ou moindre que la température moyenne; la différence, qui est très petite, varie comme le sinus du temps écoulé depuis l'instant où elle était nulle. Le maximum de la différence décroît en progression géométrique lorsque la profondeur augmente en progression arithmétique.

Les différents points d'une même ligne verticale ne parviennent point tous en même temps à la température moyenne; en sorte que, si l'on observait dans le même instant les températures des points d'une verticale, on trouverait alternativement des points plus chauds et des points plus froids. Si l'on veut connaître à quelle distance sont deux points qui parviennent en même temps à la température moyenne, il faut écrire l'équation

sin ( 2g-kt — gu + arc tangy ) = o,

d'où l'on conclut que la différence u'— u entre les profondeurs doit

être telle que l'on ait

g(u'—u) = in,

i étant un nombre entier quelconque. Ainsi deux points dont la distance verticale est - ont dans le même instant la température moyenne; mais, pour l'un, cette température est croissante; et, pour l'autre, elle diminue lorsque le temps augmente.

On voit par là que chaque point de l'intérieur du globe subit des variations de température analogues à celles que nous observons à la surface. Ces variations se renouvellent aussi après un même intervalle

de temps, qui est la durée de l'année; mais elles sont d'autant moindres que les points sont placés à une plus grande profondeur, en sorte qu'elles deviennent insensibles lorsqu'on pénètre dans des souterrains profonds. Chaque point parvient, soit à son maximum de chaleur, soit à la température moyenne, à une époque qui dépend de la distance à la surface. Si l'on suivait cette température moyenne depuis l'instant où elle affecte un point donné de l'intérieur du globe, en passant avec elle dans les points inférieurs, on parcourrait la verticale d'un mouvement uniforme.

La durée de la période qui détermine le retour des températures de la surface influe beaucoup sur l'étendue des oscillations et sur la distance des points qui atteignent en même temps leur maximum de chaleur. En effet, la plus grande variation ayant pour valeur

e-^»(a2+62)2 ou e " * k\a* -+- b'-y,

il s'ensuit que, pour qu'elle demeurât la même lorsque* 0 augmente, il faudrait que le quotient —=. ne changeât point de valeur : donc les profondeurs pour lesquelles les plus grandes variations sont également insensibles dépendent du nombre 0, et elles croissent comme les racines carrées de la durée des périodes. Il en est de même de la dislance de deux points d'une même verticale qui atteignent en même temps leur maximum de température. Ainsi les petites variations diurnes de la chaleur pénètrent à des distances dix-neuf fois moins grandes que les variations annuelles; et les points qui atteignent en même temps leur maximum de la chaleur du jour sont environ dixneuf fois moins éloignés que ceux qui parviennent ensemble à leur maximum de la chaleur annuelle.

A l'égard de la constante /•, qui représente -ryr, elle influe selon le

même rapport que le nombre 0, et les oscillations de la chaleur sont d'autant plus amples et plus profondes que la masse qui est exposée à son action a une plus grande conducibilité.

Par exemple, si la constante k était infinie, l'état intérieur du solide sciait partout le même que celui de la surlace : on pourrait le conclure aussi de l'analyse précédente; car, en supposant /- = ce dans l'équation générale (E), tous les termes qui contiennent u disparaissent, quel (jue soit le temps /; et la valeur de v est la même que si l'on l'ail // = o.

Les résultats précédents, déduits de l'équation (E'), n'ont point lieu, en général, lorsque les points sont placés à de très petites profondeurs : il faut alors employer les termes subséquents de la valeur de v. L'état variable des points voisins de la surface dépend de la fonction périodique qui détermine les températures extérieures; mais, à mesure que la chaleur pénètre dans le solide, elle y alfecte une disposition régulière, qui ne dépend que des propriétés les plus simples des sinus et des logarithmes, et ne participe plus de l'état arbitraire de la surface. '

Jl est facile de connaître les valeurs numériques des quantités que l'on vient de considérer, mais nous ne pouvons appliquer aujourd'hui celle théorie qu'aux substances solides qui ont été l'objet de nos propres expériences; car ces quantités h et K, qui expriment des qualités spécifiques des corps, n'avaient jamais été mesurées. Nous déterminerons donc les mouvements périodiques de la chaleur dans un globe de 1er d'un très grand diamètre.

Pour trouver la conducibilité spécifique de cette substance, on a observe les températures fixes des divers points d'une armiile de fer exposée à l'action permanente d'un foyer de chaleur. Du rapport constant 2 "S on a déduit la valeur approchée de j-- Ensuite on a observé le refroidissement d'une sphère solide de fer : on a conclu la valeur numérique de ~- La comparaison de ces résultats a fourni la

valeur de K, qui diffère peu de \. A l'égard des constantes C et l), on en connaissait déjà les valeurs approchées.

L'unité de longueur étant le mètre, l'unité de temps une minute.

l'unité de poids un kilogramme, les valeurs approchées de h et K peuvent être exprimées ainsi :

Quant aux valeurs approchées de C et D, on a

L'unité qui sert à mesurer les quantités de chaleur est la quantité nécessaire pour convertir un kilogramme de glace à la température o en un kilogramme d'eau à la même température o.

Pour calculer l'effet des variations diurnes de la température, il faut

prendre

0 = 1440 ni in 11 les.

Si l'on fait ces substitutions, et que l'on cherche la valeur de g ou

i/ttû-' on trouvera qu'en supposant //=2IU,3o25 l'exponentielle

er8" est environ ~. Par conséquent, à cette profondeur de 2m,3o25,

les variations diurnes seront très petites. On calculera les variations

annuelles de température en conservant les valeurs précédentes de K,

C, D, et prenant 0 = 365 x i44° minutes : il sera facile de voir que

ces variations sont très peu sensihles à une profondeur d'environ

60 mètres.

Quant à la distance qui sépare deux points intérieurs de la même

verticale qui parviennent en même temps à la température moyenne

annuelle, elle a pour valeur - et, par conséquent, diffère peu de

S 3o mètres.

Si l'on suivait la température moyenne à mesure qu'elle passe d'un point intérieur du globe à tous ceux qui sont plaeés au-dessous <le lui. on descendrait d'un mouvement uniforme, en parcourant environ 3o mètres en six mois. Les substances qui forment l'enveloppe extérieure du glohe terrestre ayant une condueihilité spécifique et une capacité de chaleur différentes de celles du fer, on ohserve que les variations diurnes ou annuelles deviennent insensibles à des profon-

Hi THEORIE DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR

(leurs moins considérables, et que la propagation de la température moyenne s'opère plus lentement.

L'expérience nous a fait connaître depuis longtemps que la température des lieux profonds est invariable, et qu'elle est égale à la valeur moyenne des température observées à la surface dans le cours d'une année ; que les plus grandes variations des températures, soit diurnes, soit annuelles, diminuent très rapidement à mesure que la profondeur augmente; que ces dernières pénètrent à des distances beaucoup plus considérables; qu'elles n'ont point lieu en même temps dans les différents points, et qu'à une certaine profondeur les époques des plus grandes et des moindres températures sont entièrement opposées. L'Analyse mathématique fournit aujourd'hui l'explication complète de ces phénomènes : elle les ramène à une théorie commune et en donne la mesure exacte. Si ces résultats n'eussent point été connus, nous les déduirions de la théorie, comme des conséquences simples et évidentes de l'équation générale que nous avons rapportée.

Nous allons maintenant indiquer une autre application des formules qui représentent le mouvement périodique de la chaleur dans un globe d'un très grand diamètre. Il s'agit d'évaluer la quantité totale de chaleur qui, dans un lieu déterminé, pénètre la surface du globe terrestre pendant un an.

On ne peut connaître que par des observations assidues quel est, pour un lieu donné, l'ordre successif des températures pendant le cours d'une année. A défaut de ces observations, qui n'ont point encore été faites avec une précision suffisante, nous choisirons pour exemple l'effet résultant d'une loi semblable à celle qui s'établit d'ellemême dans l'intérieur du solide. Cette loi consiste en ce que la différence de la température actuelle à la température moyenne augmente proportionnellement au sinus du temps écoulé depuis l'instant où cette température moyenne avait lieu.

Si l'on suppose que deux thermomètres soient placés en deux points

très voisins d'une même verticale, et que le premier soit immédiatement au-dessous de la surface, la marche comparée de ces instruments fera connaître les effets respectifs de la chaleur extérieure et de la chaleur terrestre. Lorsque le thermomètre supérieur marquera une température plus élevée que celle du second, il s'ensuivra que la chaleur communiquée par les rayons solaires, ou d'autres causes extérieures, pénètre alors dans le globe et l'échauffé; mais, lorsque le thermomètre inférieur deviendra le plus élevé, on en conclura que la chaleur excédante que la Terre avait acquise commence à se dissiper dans l'atmosphère. La Terre acquiert ainsi une chaleur nouvelle pendant une partie de l'année; elle la perd ensuite entièrement pendant l'autre partie de la même année. Cette période se trouve par là divisée en deux saisons contraires. La question consiste à exprimer exactement la quantité de la chaleur qui, traversant une surface d'une étendue donnée (un mètre carré), pénètre l'intérieur du globe pendant la durée de réchauffement annuel. Pour mesurer cette quantité de chaleur, on déterminera combien elle pourrait fondre de kilogrammes de glace.

Dans le cas que nous examinons, le mouvement périodique de la chaleur est exprimé par l'équation suivante :

w — v — j f y(t)dt=z e-°" (a2 -h b-)'2 sin ( 2g- kt — gu 4- arc lang- )•

Selon les principes que nous avons démontrés dans le cours de cet Ouvrage, la quantité de chaleur qui, pendant un instant infiniment petit di, passe d'un point de la verticale à un point inférieur, dans un

filet solide dont la section est w, a pour expression -KT to<Y/; K re-

1 l ou

présente la conducibilité intérieure (voir le lemme I, art. 4) (4 ). Pre-

(') Théorie de la chaleur, art. 137, p. m, ou art. G7 et (jS. p. 42. Voici d'ailleurs renoncé du lemme auquel renvoie Fouricr :

La quantité de chaleur qui passe pendant un temps déterminé T dans une section S d'un prisme solide dont les bases correspondantes aux abscisses .r et X sont assujetties à des températures fixes a et h, et qui se meut dans le sens suivant lequel les .r augmentent, est proportionnelle à l'étendue de la section, à la durée du temps, à la différence des tempé-