II

nant la valeur de ~> on aura l'équation

— -^ = e-«llg\[ï (a--+- 62)ï sin 2g2kt — gu — arc tang ( \ ■

L'échauffement annuel commence donc lorsqu'à la surface de la Terre la quantité qui est sous le signe du sinus, étant nulle, commence à devenir positive. Il dure six mois, et le refroidissement a lieu pendant l'autre moitié de l'année. La vitesse avec laquelle la chaleur pénètre

dans l'intérieur est proportionnelle à la valeur de — y-- Ce flux de

chaleur, à la surface où la quantité u est nulle, est représenté par

g\/2(a2 + b-)2s\n\ 2g* kt — arc tartg f - —r j •

Il faut maintenant, pour déterminer la quantité acquise pendant la durée de réchauffement, multiplier l'expression précédente par <-//, et intégrer depuis la valeur de / qui rend nulle la quantité

2g2At — arc tang 7

jusqu'il la valeur de / qui rend cette même quantité égale à û. Si l'on prend entre ces limites l'intégrale — / — dt, on aura

On voit, par l'expression générale de la valeur de w, que (a- -h 62)-

représente le maximum de la différence entre la température variable

et la température moyenne. Soient A cette plus grande variation, dont

la valeur est donnée par l'observation, et M la quantité totale de cha-

raturcs extrêmes, et elle est en raison inverse de la distance perpendiculaire des bases. Celte quantité est exprimée par

K étant un coefficient constant qui dépend de la nature du solide. G. D.

leur qu'il s'agissait de déterminer. Il faudra multiplier l'expression

précédente — — parle nombre K qui mesure laconducibilité intérieure, et par l'étendue de la surface, qui est ici un mètre carré. En remarquant que l'on a désigné par /• la quantité p~> et que g = \/ ^y, on aura le résultat suivant :

m ■ ■ /5"KTcB

La valeur de <r, prise à la surface, est

(a2-\- b2)2 sin( ig2kt -+- arc tang

et celle de — 3- est

Oïl

g\JZ(a2 + b2)2 sin Ï2g*kt - arc tang ( |±| \ ] •

Si l'on suppose que le temps / commence lorsque w est nul, c'est-à-dire lorsque la température a sa valeur moyenne, le terme arc tang j s'évanouit : ainsi la quantité a est nulle. On aura donc

w = b %\\\ig2kt et

donc r- commence à devenir positive lorsque 2g2kt-+-\u est égal à

zéro; ce qui donne, en mettant pour g sa valeur,

Il suit de là que réchauffement commence | d'année avant que la température de la surface soit parvenue à la valeur moyenne : jusqu'à ce terme, l'intérieur de la Terre, étant plus échauffé que la surface, fait passer une partie de sa chaleur dans l'atmosphère; mais ensuite le mouvement de la chaleur se fait en sens contraire, parce que la surface

est devenue plus chaude que les couches inférieures. La saison du refroidissement commence donc £ d'année avant que la température décroissante de la surface soit parvenue à sa valeur moyenne; et celte saison dure une demi-année, Si l'on voulait appliquer ces résultats au climat de Paris, on pourrait supposer A = 8d (division octogésimale ). A l'égard des constantes K, C, D, si l'on choisit celles qui conviennent à une masse solide de fer, on aura pour valeurs approchées

K = |, C=£, D = 78oo.

Faisant ensuite 0 = Go. 24. 365, on trouvera

On voit par cet exemple de calcul que la théorie fournit le moyen de déterminer exactement la quantité totale de chaleur qui passe dans le cours d'une demi-année de l'atmosphère à l'intérieur de la Terre, en traversant une surface d'une étendue donnée (un mètre carré). Cette quantité de chaleur équivaut, dans le cas que nous venons d'examiner, à celle qui peut fondre environ 285Gkg de glace, ou une colonne de glace d'un mètre carré de base sur 3ID,i de hauteur.

Il nous reste maintenant à considérer le mouvement constant de la chaleur dans l'intérieur du globe. On a vu que les perturbations périodiques qui se manifestent à la surface n'affectent point sensiblement les points situés à une certaine distance au-dessous de cette surface. Il faut donc faire abstraction de l'enveloppe extérieure du solide, dans laquelle s'accomplissent les oscillations sensibles de la chaleur, et dont l'épaisseur est extrêmement petite par rapport au rayon de la Terre. L'état du solide intérieur est très différent de celui de cette enveloppe. Chaque point conservant une température fixe, la chaleur s'y propage d'un mouvement uniforme, et passe avec une extrême lenteur des parties plus échauffées dans celles qui le sont

moins : elle pénètre à chaque instant et de plus en plus dans l'intérieur du globe pour remplacer la chaleur qui se détourne vers les régions polaires. On n'entreprendra point ici de traiter cette question dans toute son étendue, parce qu'elle nous paraît seulement analytique, et qu'elle n'a point d'ailleurs une connexion nécessaire avec les fondements de la théorie : mais il convenait à l'objet de cet Ouvrage de montrer que toutes les questions de ce genre peuvent maintenant être soumises à l'Analyse mathématique.

On suppose que tous les points de la circonférence d'un grand cercle tracé sur la surface d'une sphère solide ont acquis et conservent une température commune; que tous les points de la circonférence d'un cercle quelconque, tracé sur la surface parallèlement au premier, ont aussi une température permanente et commune, différente de celle des points de l'équateur, et que la température fixe décroît ainsi depuis l'équateur jusqu'au pôle suivant une loi déterminée. La surface étant maintenue, durant un temps infini et par des causes extérieures quelconques, dans l'état que nous venons de décrire, il est nécessaire que le solide parvienne aussi à un dernier état, et alors la température d'un point intérieur quelconque n'éprouvera aucun changement. Il est manifeste que, si, par le centre d'un parallèle et dans son plan, on décrit une circonférence d'un rayon quelconque, tous les points de cette circonférence auront la même température.

Cela posé, l'on va démontrer que l'équation suivante

v = cos.r f eJ'i'os'' dr

représente un état particulier du solide qui subsisterait de lui-même s'il était formé : x désigne la distance d'un point du solide au plan de l'équateur, et y sa distance à l'axe perpendiculaire à l'équateur; c est la température permanente du même point; l'indéterminée /disparaît après l'intégration, qui doit être prise depuis /• = o jusqu'à r = t.. L'équation

v = cos.c / eycoir tir «Ai

satisfait à la question en ce que, si chaque point du solide recevait la température indiquée par cette équation, et que tous les points de la surface fussent entretenus par un foyer extérieur à cette température initiale, il n'y aurait dans l'intérieur de la sphère aucun changement de température. Pour vérifier cette solution, on établira : i° que la valeur de v donnée par l'équation

v — cos.r j <?>'C05'V//-

satisfait à l'équation aux différences partielles

(Y-v div i ôv

20 que l'état du solide est permanent lorsque cette dernière équation est satisfaite et que les points tle la surface sont entretenus à leur température initiale.

En désignant par u la fonction de v qui équivaut à l'intégrale définie

eyeosrdr, on aura

V =: u COS Jr;

et, substituant, on a

d1 u i du dy- y dy

équation différentielle du second ordre à laquelle la valeur de u satisfait. Pour s'en assurer, on donnera à l'intégrale définie / e,cos7"</r la

forme exprimée par l'équation suivante

ey <*>*>• dr= ni i+ ^ +

22.42 ' 2*4* Aï* 2».4».6«.8» ' qu'il est facile de vérifier. Cette expression de la somme de la série

yî ylt y6

csl une conséquence évidente de la proposition générale énoncée

dans l'article 53 ( ' ), et qui donne le développement de l'intégrale / <p(Jsinw)âfo, o étant une fonction quelconque. Or l'équation

tt = r.( 1-+- — -■ — —

2- . a*. 4* 2242.62 satisfait évidemment à l'équation différentielle

d"- u i du

dy* y dy donc la valeur particulière donnée par l'équation

v — cosj7 / eycosrdr

satisfait à l'équation aux différences partielles

div d-v i Jr djo2 Oy'2 y dy

Cette dernière équation exprime la condition nécessaire pour que chaque point du solide conserve sa température. En effet, imaginons que, l'axe étant divisé en une infinité de parties égales dec, on élève dans le plan d'un méridien toutes les coordonnées perpendiculaires à cet axe et qui passent parles points de division; et pareillement, que. le diamètre de l'équateur, dans le plan du même méridien, étant divisé en un nombre infini de parties égales dy, on élève, par tous les points de division, des perpendiculaires qui coupent les précédentes. On aura divisé ainsi l'aire du méridien en rectangles infiniment petits; et si le plan de ce méridien tourne sur l'axe, le solide sera divisé lui-même en une infinité d'éléments dont la figure est celle d'une armille.

Chacun de ces éléments est placé entre deux autres dans le sens des x, et entre deux autres dans le sens des y. La quantité de chaleur qui passe d'un élément à celui qui est placé après lui dans le sens des*est égale à

-k^nydy.

i ' ) Théorie de la ( lutteur, art. 311. p. 343. 3 \\. G. D.

Ce second élément transmet donc à celui qui le suit dans le sens des x une quantité de chaleur exprimée par

- k tt;. 2 T-y ('y - d ( k ,k 2 r-y dy ) >

ûx ^ J J \ dx

d indiquant la diflférentiation par rapport à x. Donc l'élément intermédiaire acquiert, à raison de sa place dans le sens des x, une quantité

de chaleur égale à

d ( /» y- ir.y dy

On voit de la même manière qu'un élément transmet à celui qui est placé après lui dans le sens des y une quantité de chaleur exprimée

par — ky zizydx; que ce second élément communique à celui qui le

suit dans le même sens une quantité de chaleur égale à

— A ' — 2 TT Y dx — 0 ( Â ■ -^- 2 77 )' dx ) ,

a y \ dy )

o étant ici le signe de la différentiation par rapport à y. Donc l'élément intermédiaire acquiert, à raison de sa place dans le sens des y, une quantité de chaleur égale à

Il suit de là que la température de chaque point du solide sera invariable si l'on a l'équation

ou

<)x- ày2 y dy

et si, en même temps, tous les points de la surface sont exposés à une action extérieure qui les oblige de conserver leurs températures initiales. On pourrait aussi déduire cette équation de l'équation générale (A), article 15 (').

(!) Théorie de la Chaleur, art. 1 ïi. p. i-^.o. G. D.

Il est nécessaire de remarquer que l'équation

v — cos>r / e^cos'' dr

n'exprime qu'un état particulier et possible; il y a une infinité de solutions pareilles, et cette dernière n'aurait lieu qu'autant que la température fixe diminuerait à la surface, depuis l'équateur jusqu'au pôle, suivant une loi conforme à cette même équation. On pourrait aussi choisir l'équation

t> = a cos n x I e"-> ' "s '" dr, 1 o OU

n"- y2 ri y'' ri Y6

V = a r. cos n jt I i -\ v - -j- - - ->- ■

dans laquelle a est une constante indéterminée et n un nombre arbitraire; et l'on voit que la somme de plusieurs de ces valeurs particulières satisfait encore à l'équation aux différences partielles. Mais on n'a en vue dans cet Article que de faire distinguer, par l'examen d'un cas particulier, comment la chaleur se propage dans la sphère solide dont la surface est inégalement échauffée. C'est ce qu'on peut facilement reconnaître par l'analyse précédente.

Dans l'état particulier que nous considérons, qui est exprimé par

l'équation

v = cos. H i -1- ' J ■ ->- J

le rayon de la sphère étant [tris pour l'unité, il est facile de voir que la température des points de la surface décroît depuis l'équateur jusqu'au pôle; que si, par un point quelconque du plan de l'équateur, on élève une perpendiculaire jusqu'à la surface de la sphère, la température décroit comme le cosinus de la distance perpendiculaire à l'équateur; et que pour un parallèle quelconque la température augmente dans le plan de ce parallèle suivant le rayon, depuis le centre jusqu'à la surface. IL • 4

Ainsi la température du centre de la sphère est plus grande que celle du pôle et moindre que celle de l'équateur, et le point le moins échauffé de la sphère est celui qui est placé au pôle.

Pour connaître les directions suivant lesquelles la chaleur se propage, il faut imaginer que le solide est divisé, comme précédemment, en une infinité d'anneaux dont tous les centres sont placés sur l'axe de la sphère. Tous les éléments qui, ayant un même rayon y, ne diffèrent que par leur distance x à l'équateur sont inégalement échauffés, et leur température décroit en s'éloignant de l'équateur. Un de ces éléments communique donc une certaine quantité de chaleur à celui qui est placé après lui, et ce second en communique aussi à l'élément suivant. Mais l'anneau intermédiaire donne à celui qui le suit plus de chaleur qu'il n'en reçoit de celui qui le précède; résultat qui est indiqué par le facteur cos.r, dont la différentielle seconde est négative. Les éléments du solide qui sont placés à la même distance x de l'équateur et diffèrent par la grandeur du rayon y sont aussi inégalement échauffés, et leur température va en augmentant à mesure qu'on s'éloigne de la surface. Chacun de ces anneaux concentriques échauffe celui qu'il renferme : mais il transmet à l'anneau qui est au-dessous moins de chaleur qu'il n'en reçoit de l'anneau supérieur; ce qui se

conclut du facteur i + ~ H — ^—r, -+- . . . , dont la différentielle seconde

est positive.

Il résulte de cette distrihution de la chaleur qu'un élément quelconque du solide transmet au suivant, dans le sens perpendiculaire à l'équateur, plus de chaleur qu'il n'en reçoit dans le même sens de celui qui le précède, et que ce même élément donne à celui qui est placé au-dessous de lui, dans le sens du rayon perpendiculaire à l'axe de la sphère, une quantité de chaleur moindre que celle qu'il reçoit en même temps et dans le même sens de l'anneau supérieur. Ces deux effets opposés se compensent exactement, et il arrive que chaque élément perd dans le sens parallèle à l'axe toute- la chaleur qu'il acquiert dans le sens perpendiculaire à l'axe, en sorte que sa température ne

varie point. On reconnaît distinctement, d'après cela, la route que suit la chaleur dans l'intérieur de la sphère. Elle pénètre par les parties de la surface voisines de l'équateur, et se dissipe par les régions polaires. Chacun des éléments infiniment petits placés dans l'intérieur du solide échauffe celui qui est placé au-dessous de lui et plus près de l'axe, et il échauffe aussi celui qui est placé, à côté de lui, plus loin de l'équateur. Ainsi la chaleur émanée du foyer extérieur se propage dans ces deux sens à la fois; une partie se détourne du côté des pôles, et une autre partie s'avance plus près du centre de la sphère. C'est de cette manière qu'elle se transmet dans toute la masse, et que chacun des points, recevant autant qu'il perd, conserve sa température.

Le mouvement uniforme qu'on vient de considérer est extrêmement lent si on le compare à celui qui s'accomplit dans l'enveloppe extérieure du glohe. Le premier résulte de la différence des températures de deux parallèles voisins, et le second, de la différence des températures entre deux points, voisins de la surface, et placés dans une même verticale. Or cette différence, prise entre deux points dont la distance est donnée, est incomparahlement plus grande dans le sens vertical (jue dans le sens horizontal.

Indépendamment des changements de température que la présence du Soleil reproduit chaque jour et dans le cours de chaque année, (outes les autres inégalités qui affectent le mouvement apparent de cet astre occasionnent aussi des variations semblables. C'est par là que cette quantité immense de chaleur qui pénètre la masse du glohe est assujettie dans tous ses mouvements aux lois générales qui régissent l'univers. Toutes les causes qui font varier l'excentricité et les éléments de l'ellipse solaire produisent autant d'inégalités correspondantes dans l'ordre des températures; cet ordre s'altère insensiblement, et se rétablit ensuite dans le cours de ces mêmes périodes qui conviennent aux diverses inégalités.

Le mouvement elliptique, qui rend les saisons inégales, n'empêche point que la chaleur qui émane du Soleil dans le cours de chaque année ne se distribue également entre les deux hémisphères; mais

cette différence dans la durée des saisons influe sur la nature de la fonction périodique qui règle les températures de chaque climat. 11 suit de là que le déplacement du grand axe de l'orbe solaire transporte alternativement d'un hémisphère à l'autre ces mêmes variations de température. Au reste, les différences dont il s'agit sont très peu sensibles, et le progrès en est extrêmement lent. On doit surtout les distinguer de celles qui résultent des causes locales, telles que la configuration du sol, son élévation dans l'atmosphère, la nature, solide ou liquide, de la surface qui reçoit la chaleur. C'est aux circonstances propres à chaque région qu'il faut attribuer les différences notables qu'on observe entre les températures moyennes des climats pareillement situés dans les deux hémisphères. Les effets des causes locales diffèrent de ceux dont on a parlé en ce qu'ils ne sont point périodiques, et qu'ils affectent sensiblement la valeur de la température moyenne annuelle.

Des lois mathématiques de V équilibre de la chaleur rayonnante.

Si l'on place divers corps, M, N, P, . . . , dans un espace vide d'air, que termine de toutes parts une enceinte solide entretenue par des causes extérieures quelconques à une température constante r, tous ces corps, quoique distants les uns des autres, prendront une température commune; et celte température finale, dont celle de chaque molécule s'approche de plus en plus, est la même que celle de l'enceinte. Ce résultat ne dépend ni de l'espèce, ni de la forme des corps, ni du lieu où ils sont placés; quelles que soient ces circonstances, la température finale sera toujours commune et égale à celle de l'enceinte. Le fait général qu'on vient d'énoncer donne lieu à différentes questions que nous allons traiter dans cet article, en exposant la théorie de la chaleur rayonnante.

II est certain que l'équilibre de température entre les corps distants

s'établit par l'irradiation de la chaleur; en sorte que chaque portion infiniment petite de la surface des corps est le centre d'un hémisphère composé d'une infinité de rayons. Il se présente d'abord la question de savoir si tous ces rayons ont une égale intensité, ou si leur intensité varie en même temps que l'angle qu'ils font avec la surface dont ils s'éloignent. En général, si deux surfaces infiniment petites.? et cr inégalement échauffées sont présentées l'une à l'autre, la plus froide acquerra, en vertu de leur action mutuelle, une nouvelle quantité de chaleur qui dépend de la distance/ des deux surfaces, de l'angle p que fait avec s la ligne j, de l'angle cp que fait avec n la même ligne y, de l'étendue infiniment petite s et <j de ces deux surfaces, enfin de leurs températures a et b. Nous démontrerons que le résultat de l'action mutuelle de s et a est exprimé par

so-sinp sine? , , .

g est un coefficient constant qui mesure la eondiieibilité extérieure des deux surfaces. Ensuite nous ferons voir que ce théorème suffit pour expliquer distinctement comment s'établit et subsiste, dans tous les cas, l'égalité de température qu'on observe entre divers corps placés dans une même enceinte.

On ignore entièrement aujourd'hui la nature de cette force intérieure dont résulte l'émission de la chaleur, et la cause qui produit les réflexions à la surface. Parmi les physiciens qui ont traité de la chaleur, les uns la considèrent comme une matière propre, qui traverse les milieux élastiques et les espaces vides; d'autres font consister sa propagation dans les vibrations d'un fluide extrêmement subtil. Quoi qu'il en soit, il est naturel de comparer les rayons de la chaleur à ceux de la lumière, et de supposer que les corps se transmettent mutuellement la chaleur dont ils sont pénétrés, de même que deux surfaces qui sont inégalement ou également éclairées s'envoient réciproquement leur lumière. C'est dans cet échange de rayons que consiste principalement l'hypothèse proposée par M. le professeur Prévost,

de Genève. Cette hypothèse fournit des explications claires de tous les phénomènes connus; elle se prête plus facilement qu'aucune autre aux applications du calcul; il nous paraît donc utile de la choisir, et l'on peut même l'employer avec avantage pour se représenter le mode de la propagation de la chaleur dans les corps solides. Mais, si l'on examine attentivement les lois mathématiques que suivent les effets de la chaleur, on voit que la certitude de ces lois ne repose sur aucune hypothèse physique. Quelque idée qu'on puisse se former de la cause qui lie tous les faits entre eux, et dans quelque ordre qu'on veuille disposer ces faits, pourvu que le système qu'on adopte les comprenne tous, on en déduira toujours les lois mathématiques auxquelles ils sont assujettis. Ainsi l'on ne peut point affirmer que les deux surfaces infiniment petites s et a s'envoient toutes les deux des rayons de chaleur, quelles que soient leurs températures; on pourrait supposer indifféremment que celle dont la température est la plus élevée est la seule qui transmette à l'autre une partie de sa chaleur; mais, soit qu'on préfère l'une ou l'autre supposition, on ne peut douter que l'effet résultant de l'action des deux surfaces ne soit proportionnel à la différence des températures, aux sinus des angles d'émission et d'incidence, à l'étendue des surfaces, et réciproquement proportionnel au carré de la distance. En effet, il nous sera facile de prouver que, si ces conditions n'étaient point remplies, l'équilibre des températures ne pourrait pas subsister.

On exprime par le coefficient h la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, sort de l'unité de surface échauffée à la températurc i , et s'échappe dans l'espace vide d'air. Pour faciliter l'application du calcul, on attribue à cet espace infini une température fondamentale, désignée par o, et l'on conçoit qu'une masse dont la température est a envoie d'elle-même dans cet espace, quelles que soient d'ailleurs les températures de tous les corps environnants, une quantité de chaleur proportionnelle à la température a, et exprimée par ash; s est retendue de la surface extérieure, et h le coefficient qui mesure la conducibilité.

Chaque partie infiniment petite w d'une surface échauffée est le centre d'un hémisphère continuellement rempli par la chaleur rayonnante; et si l'on pouvait recevoir toute la quantité que cette particule envoie à l'espace environnant pendant l'unité de temps, cette chaleur totale serait exprimée par a coA. L'intensité des rayons émis peut n'être pas la même dans tout l'hémisphère, et dépendre d'une manière quelconque de l'angle <p que la direction du rayon fait avec la surface. Pour mesurer l'intensité d'un rayon donné, on supposera que tous les autres qui remplissent en même temps l'hémisphère contiennent autant de chaleur que lui. Dans cette supposition, la quantité totale envoyée par l'unité de surface pendant l'unité de temps ne sera plus h. On désignera par G cette chaleur totale, et l'on prendra G pour la mesure de l'intensité du rayon dont il s'agit. G est une fonction inconnue du sinus de <p. On aura généralement

G = o^-F(sino),

la température étant désignée par a. Si, dans la surface hémisphérique dont le centre est un point de la surface échauffée, on trace une zone qui ait pour hauteur l'arc dy (le rayon étant i), on aura 2-cosç/<7o pour la surface de cette zone. II est facile d'exprimer la quantité totale de chaleur qui, pendant une minute, traverse cette zone. En effet, si tous les rayons qui traversent la surface hémisphérique 271 avaient la même intensité que ceux qui passent par la zone i-n costpo&p, le produit de l'émission pendant l'unité de temps serait, par hypothèse, G ou a^F(sinçi) : donc la chaleur totale qui, dans le même temps, passe par la zone est moindre que G dans le rapport des deux surfaces

7 n «* 1 1 t t 1 * 2G7TCOSCp r/o

2zcoso« et 2T.. Cette chaleur totale est - -- — L ou

ag F ( s i n 9 ) cos 9 >lo .

En intégrant cette différentielle depuis o = o jusqu'à o = ~, on doit

avoir la quantité ah : on trouve donc en premier lieu la condition suivante

(A) h=gl F(sin<p) cos^ do.

Par exemple, si l'intensité était indépendante de l'angle d'émission et la même pour tous les rayons, on aurait F(sincp) = r, et, en intégrant, h = g.

Si l'intensité est proportionnelle au sinus de l'angle d'émission, ce qui est le cas de la nature, comme on le verra bientôt, on aura

F(sin<p) = s i ti 9 , d'où l'on conclut

L'équation (A) exprime que h est l'intensité moyenne de tous les rayons émis. Lorsque l'intensité varie comme le sinus, elle est exprimée par #sino ou 2Asincp : ainsi les rayons émis sous un angle égal à | de droit ont une intensité égale à la valeur moyenne; et si tous les rayons étaient semblables à ceux qui sortent perpendiculairement de la surface, le produit de l'émission serait double de ce qu'il est en effet.

Ces principes étant établis, nous résoudrons successivement plusieurs questions particulières; et la comparaison des résultats fera connaître sans aucun doute la loi du décroissement de l'intensité des rayons.

1" On suppose que deux surfaces planes, parallèles et infinies, soient entretenues à une température constante, et que, ensuite, on introduise dans l'espace vide d'air compris entre ces deux plans un disque infiniment petit, dont la base soit située parallèlement aux deux surfaces (Jîg- 1); il s'agit de déterminer la température finale que ces plans échauffés communiquent au disque; a désigne la température constante des plans, \x est le rayon infiniment petit de la base du disque, dont l'épaisseur est elle-même infiniment petite par l'apport

li [j.. La conducibilité h des deux surfaces échauffées est supposée la même que celle du disque. Ou fait abstraction de la propriété que toutes ces surfaces pourraient avoir de réfléchir une partie de la chaleur incidente; c'est-à-dire qu'on suppose qu'aucun rayon de chaleur envoyé au disque ne peut être réfléchi. On verra par la suite que la propriété dont il s'agit, à quelque degré que les corps en jouissent, n'apporte aucun changement à l'équilibre de la chaleur rayonnante:

/est la distance connue du centre du disque à l'un des plans; r désigne la distance variable du disque à un point m du plan, x la distance de m au point fixe 0, etcp l'angle entre r et or. G ou ag"F(sin<p) désigne, comme précédemment, l'intensité du rayon émis sous l'angle <p à la température a, et l'on a l'équation de condition (A) entre h et g. Cela posé, le point m envoie au disque infiniment petit un rayon de chaleur qui, traversant la surface sphérique dont le rayon est r, occupe une surface égale à tt[j.2 sin'^. En effet, la forme de ce rayon étant celle d'un cône dont les côtés font un angle infiniment petit, le rapport de la surface de la base à celle de la section perpendiculaire est celui de l'unité au sinus de l'angle o. Désignons par eu la portion infiniment petite du plan qui envoie la chaleur de m en [/. sous l'angle <p. Si tous les rayons qui traversent la surface hémisphérique 2ur2 avaient la même intensité que le rayon dont il s'agit, le produit de l'émission serait wG : donc la quantité totale de chaleur qui, partant de a>,

tombe sur le disque est r,J J'^ J ?. Qr tous les points de la couronne

circulaire 'i-xdx, qui a son centre au point 0 et pour hauteur dx,

envoient leurs rayons au disque sous l'angle cp. On remplacera donc oj

par ir.xdx; ensuite on mettra au lieu de G sa valeur agY(s'mo). On

a donc la différentielle

2 77 x dx a#-F(sin<p) \i? sincp

Si l'on met au lieu de .r et de r leurs valeurs /"cotcp et /"coséccp, la différentielle précédente deviendra

— ag tt/^'2 F ( sin cp ) cos cp ofcp

ou, faisant sincp = s,

— aj 7rp.'- F (z ) dz.

Si l'on veut connaître l'action exercée sur le disque par un plan circulaire dont le rayon est X, on désignera par Z la dernière valeur du sinus de cp, et l'on prendra l'intégrale précédente depuis z = i jusqu'à z = Z, ou, ce qui est la même chose, on prendra l'intégrale ag-u.2 I ¥(z)dz de z = Z à z = i. De plus, on aura

fY(z)dz

l'intégrale étant prise de z = o à z = i. Donc la quantité totale de chaleur que le disque reçoit du plan circulaire est

f\{z)dz

f F(z)dz

Si l'intensité des rayons est indépendante de l'angle d'émission, la quantité de chaleur que le disque reçoit du plan circulaire est

a/iit /j.-(i — sin«ï>) ou ahtzy? sin verset",

en désignant par <I> la dernière valeur de la variable cp et par W la moitié

de l'angle dont le sommet est au centre du disque et dont les côtés

embrassent le plan.

Si l'intensité décroît comme le sinus de l'angle d'émission, on

trouve

ahuix- cos24» ou rt/i7T]U.2 sinnF.

Si l'on éloigne de plus en plus le disque du plan échauffé, toutes les autres conditions demeurant les mêmes, l'action du plan décroît dans le premier cas comme le sinus verse du demi-angle au centre, et dans le second, comme le carré du sinus du demi-angle au centre. Dans l'un et l'autre cas, si le plan est infini, la quantité de chaleur que le disque reçoit est a/ir^ii-, et ne dépend nullement de la distance /.

En général, quelle que soit la fonction F(sincp), l'expression

ah tï/jl2

F i .- ) ih z

f V(z)dz

se réduit à ahizp.2 lorsque le plan circulaire est infini; caries termes de la première intégrale deviennent les mêmes que les termes de la seconde. Si donc on suppose que l'intensité des rayons varie suivant une fonction quelconque de l'angle d'émission, et si l'on place le disque parallèlement au plan infini à une distance quelconque, la quantité de chaleur envoyée au disque pendant l'unité de temps sera (i/i-u.-. Il en sera de même du plan infini supérieur au disque : donc la quantité totale de chaleur reçue par le disque sera oahuix1 .

Soit b la température finale que le disque doit acquérir. La surface totale étant 2tiu.2, et la conducibilité h, il s'en échappera pendant l'unité de temps une quantité de chaleur égale à ibh~\t.2 . Or, pour que la température acquise par le disque soit permanente, il faut quil reçoive autant de chaleur qu'il en perd; on a donc

">. bh Trjut.2 = 2 ah tz[x-

ou

11 suit de là que le disque infiniment petit placé parallèlement aux deux plans en un point quelconque de l'espace qu'ils comprennent parviendra toujours à une température finale égale à celle des deux plans. Ce résultat ne dépend point de la loi suivant laquelle l'intensité des rayons peut décroître à mesure qu'ils deviennent plus obliques.

On place une molécule sphérique infiniment petite au centre d'un espace terminé par une surface sphérique qu'on entretient à la température constante a. 11 s'agit de déterminer la température finale de la molécule. La conducihilité des surfaces est désignée par h, p est le rayon de la molécule; on exprime par G ou «g-F(sincp) l'intensité du rayon émis sous l'angle <p; et l'on a, comme précédemment,

h = gl F(sino) cosodv.

Une portion infiniment petite o> de la surface intérieure de la sphère envoie des rayons de chaleur qui remplissent continuellement l'hémisphère dont le rayon est /\.Le rayon qui, parti de a>, tomhe sur la molécule occupe sur la surface hémisphérique égale à 2îir une portion égale à Trp2. Si tous les rayons sortis de w avaient l'intensité G, la quantité totale de chaleur envoyée par w pendant l'unité de temps serait wG. Donc le rayon qui tombe sur la molécule fournit pendant ce

même temps une quantité de chaleur égale à o>G^-- On a aussi,

il o 2TCI-

sinçp étant i ,

G = ag¥(i) =

F(sincp) cosç d®

Donc la chaleur que la portion w donne à la molécule est

Pi.../, . F">

JF(sincp) coscp d®

Le rapport de la surface sphérique à w étant - — > on aura, pour l'ex-

pression de la chaleur totale reçue par la molécule,

■2ahr.rjï

ou, faisant sinç = z,

i ali

F(sinç) cosy iI-j F(i)

F(z)dx

Soit b la température finale acquise par la molécule; elle dissiperait par sa surface une quantité de chaleur égale à '\bh-p-. Donc on aura l'équation

46A7rps=2«A27rp2-r *

/F(s)rfa ou

f ¥(z)dz

Si l'intensité des rayons ne varie point, on a F(s) = i et b = — Il

arriverait donc que la molécule placée au centre de la sphère prendrait une température finale égale à la moitié de celle de l'enceinte.

Si l'intensité des rayons décroît proportionnellement au sinus de l'obliquité, on a F(-) = z et b — a. Dans ce cas, la molécule acquiert et conserve une température égale à celle de l'enceinte.

On propose maintenant de déterminer l'action d'un plan circulaire sur une molécule sphérique placée dans l'axe du plan.

On désigne, comme ci-dessus, par ce, r, f, y les quantités relatives à la position de la molécule et à celle du point qui lui envoie de la chaleur; h est la conducibilité de la surface, a la température du plan, G ou rt#F(sin<p) l'intensité du rayon émis par le plan sous l'angle 9.

On trouve facilement, pour l'expression de la quantité de chaleur envoyée à la molécule par la couronne dont la hauteur est dx, la diffé-

rentielle suivante :

2t:.t cLr as F ( sin q> ) — — ; ' 2 7î r-

p2 -^■F(sincp)^r2^(^-2).

Mettant pour x et /• leurs valeurs /cotcp et /coséccp, on aura la différentielle

, „ . . cos <p rfcp — a? no1 i (sincp) — r-1 — L> ° r T sintp

ou, faisant sin 7 = z,

2F(z)dz

Mettant pour g sa valeur

¥(z)dz

on aura, pour l'expression de la chaleur totale reçue par la molécule,

"V(z)dz

a/mp2 —

dz

Si l'intensité des rayons émis est la même pour toutes les obliquités, on a F(s) = i, et la quantité de chaleur reçue par la molécule est ahizp2 loe; - — r' en désignant par <I> la dernière valeur de o. L'action du disque sur la molécule est donc toujours proportionnelle au logarithme de la sécante du demi-angle au centre. Si, en conservant la distance/, on faisait varier le rayon du disque, et que les distances extrêmes R, \\, H", ... crussent comme les nombres 1, 2, 4, 8, i(3, ..., les quantités de chaleur reçues augmenteraient comme les nombres naturels. On pourrait donc rendre ces quantités aussi grandes qu'on le voudrait.

Il suit de là que, si tous les rayons qui s'échappent d'un point d'une surface échauffée avaient une égale intensité, on pourrait, au moyen d'un plan circulaire entretenu à la température constante a, communi-

DxVNS LES CORPS SOLIDES. 39

quer à la molécule sphérique une température b supérieure à a et aussi grande qu'on voudrait. En effet, la molécule laisserait échapper par sa surface une quantité de chaleur égale à ]b/i-p2; écrivant donc

4 b/mo- = ah r.o- log — — r , °sin<I»

on a

sin<I> = e ".

Ainsi l'on pourrait toujours déterminer l'angle $ en sorte que la température b reçût une valeur quelconque.

Il est facile de voir que ce résultat est entièrement contraire aux faits, et que, par conséquent, l'intensité des rayons émis n'est point la même pour tous les rayons.

Si, dans l'expression

aliT.o-

on suppose F(-) = z, c'est-à-dire si l'intensité décroit proportionnellement au sinus de l'angle d'émission, on trouvera, après l'intégration,

■?.a/ir.p2(i — sin<I>).

Dans cette seconde hypothèse, l'action du disque est proportionnelle au sinus verse du demi-angle au centre : elle est toujours moindre que za/ir.p- .

Si le plan échauffé est infini, la chaleur qu'il donne à la molécule est lahr.p2, quelle que soit d'ailleurs la distance/. En supposant audessus de la molécule un second plan infini, également entretenu à la température a, la quantité totale de chaleur reçue par la molécule sera \<i/i-p1. Si la température acquise était b, cette même molécule perdrait \bh~z-. Donc b = a, et, par conséquent, si l'on place une molécule sphérique en un point quelconque de l'espace compris entre deux plans entretenus à une température constante, elle acquerra une tem-

pérature égale à celle des deux plans. Ce résultat doit avoir lieu si l'intensité des rayons varie comme le sinus de l'angle d'émission.

On déterminera encore l'action d'une surface cylindrique sur une molécule sphériquc placée dans un point de son axe.

Le point m {fig. 2) envoie à la molécule un rayon de chaleur dont la longueur est r, et qui fait avec la surface dont il sort un angle <p. 11

Fig. 2.

en est de môme de tous les points qui sont placés comme le point /// dans une zone cylindrique dont le rayon est/ et la hauteur dx. Il suit • le là que la quantité de chaleur envoyée par la zone à la molécule dont le rayon est p a pour expression

TUp- 271/

- ag F( si n 9 ) 2 nf dx.

On mettra au lieu de x et r leurs valeurs /cot<p et /coséccp; on trouvera alors

fdx __d r"-

Donc la différentielle précédente deviendra

— agnçj* F(sincp) dy.

Prenant donc l'intégrale depuis <p = - jusqu'à <p = <I>, ou prenant l'intégrale, avec un signe contraire, depuis 9 = <I> jusqu'à 9 = -> on aura la quantité de chaleur envoyée à la molécule par la partie de la

DANS LES CORPS SOLIDES. il

surface cylindrique qui est située à la gauche. Cette quantité est

ah r.rr

F (si il tp) e/o

F ( si 11 o ) cosep do

On aura un résultat analogue pour la partie de la surface cylindrique qui est à la droite de la molécule. L'action lof aie de cette surface sera exprimée par la somme des deux termes.

Si F(sino)= i, l'action totale de la surface cylindrique sur la molécule sera afnzp2(ty -+- ']/), en désignant par •]> et '\>' {fig. 3) les angles

Fifî. 3.

que font avec Ja perpendiculaire les deux rayons qui, partant de la molécule, aboutissent aux extrémités du cylindre. Cette action est donc proportionnelle, toutes choses d'ailleurs égales, à l'angle au centre, c'est-à-dire à celui qui a son sommet à la molécule, et dont les côtés comprennent la surface cylindrique. Si la longueur de cette surface est infinie, la quantité de chaleur reçue par la molécule est a~p2h~. La quantité qu'elle laisserait échapper si elle avait la température b sérail

\-z2lib\ on a donc b = ja. Donc la molécule placée en un point quelconque de l'axe' d'une surface cylindrique échauffée acquerrai! une température moindre que celle de l'enceinte dans la raison des nombres ~ et 4» en supposant que l'intensité des rayons fût constante sons tous les angles d'émission.

Si cette intensité est proportionnelle au sinus de l'angle d'émission, on aura F(sino) = si n cp ; e.t l'on trouvera, pour exprimer l'action de IL 6

la surface cylindrique, la quantité suivante :

«A7rp2(2 sin^ -+- 2 sini]/)-

Les deux angles '\> et fy, qui, dans le cas précédent, entrent dans la valeur de l'action totale, sont ici remplacés par leurs doubles sinus. Lorsque la longueur de la surface échauffée est infinie, la mesure de la quantité de chaleur reçue est ^ahizp2; et comme la molécule, ayant la température b, dissiperait une quantité de chaleur égale à f\bh-p*, il s'ensuit que b = a. Donc, si l'on place une molécule sphérique dans l'axe d'une surface cylindrique dont la température est fixe, la molécule acquerra la température de l'enceinte, en supposant que l'intensité des rayons émis décroit proportionnellement au sinus de l'angle d'émission.

Nous déterminerons en dernier lieu quelle est, dans les deux hypothèses précédentes, la température que doit acquérir une molécule sphérique lorsqu'on la place dans l'axe d'une enveloppe cylindrique fermée à ses deux extrémités par des plans circulaires.

Il résulte des théorèmes précédents (art. 93 et 94) que, si l'intensité des rayons varie proportionnellement au sinus de l'angle d'émission, l'action de l'enveloppe E {fig. 4) équivaut à

ah izp- ( 2 sinip + 2 sin ij/) ;

que l'action du plan B est

'//mpi(2 — 2sin<I>) on oAir/ir(a — 2 sin 40»

DANS LES CORPS SOLIDES. k'i

et que celle du plan IV est

a/mp^iï — 2 sin-y ).

Donc l'action totale de l'enceinte est l\ah-p2; et, par conséquent, la molécule, étant placée en un point quelconque de l'axe, doit acquérir une température égale à celle que conserve l'enceinte. Ce résultat ne dépend ni des dimensions, ni du rapport de la longueur du cylindre au diamètre de la base. Mais, si l'intensité était invariable, quel que fût l'angle d'émission, l'action de l'enveloppe serait, comme on l'a vu précédemment,

ah-np*^ + 'Y);

celle du plan 13 serait

celle du plan B' serait

a/mp- log — — ;-;•

Donc l'action totale des surfaces serait

a/mp2('\) — log sin^ -+- <\>' — log sine];').

Désignant par b la température finale de la molécule, on aurait

b = %a(<\i — logsin^ h- <\i'— logsintj/).

Cette température dépendrait donc de la position de la molécule et de la forme de l'enceinte; elle pourrait devenir, ou moindre que celle de l'enveloppe, ou infiniment plus grande, si l'on plaçait la molécule au centre, ou si on la rapprochait de l'une des bases. Or ce résultat est entièrement contraire aux observations communes : il est donc impossible de supposer que les rayons de chaleur qui sortent sous divers angles d'un même point de la surface des corps ont une égale intensité.

Nous allons présentement démontrer qu'en supposant l'intensité décroissante et proportionnelle au sinus de l'angle d'émission, il doit

s'établir entre tous les corps placés dans un même lieu une température commune, indépendante de leur forme, de leur nombre et de leur situation. Soicntdeux surfaces planes infiniment petites s et a, placées à une distance finie; c'est-à-dire que les dimensions des deux figures sont incomparablement plus petites que leur distance y. On suppose que l'une des surfaces est entretenue à la température finie a; il s'agit de trouver combien la seconde a en reçoit de chaleur dans un temps donné. On n'a point égard ici à la partie de cette chaleur qui pourrait être réfléchie par a-: on veut connaître la quantité totale qui tombe sur cette surface. Soient/; l'angle que la distance y fait avec s, et o l'angle qu'elle fait avec a. Il est évident qu'on peut prendre pour les termes de la distance y deux points quelconques des deux figures s et cr, et que l'on doit regarder comme nulles les variations que les changements de ces points occasionneraient dans la longueur y et dans les angles /> et cp. (Iliaque portion infiniment petite co prise sur la surface échauffée est le centre d'un rayon de chaleur qui tombe sur cr. Il faut d'abord connaître combien ce rayon contient de chaleur. Si par un point de la surface cr on mène dans le rayon une section qui soit perpendiculaire à sa direction, il est facile de voir que l'étendue de cette section est ersinep. En effet, les lignes dont le rayon est formé faisant entre elles unqngle infiniment petit, on considérera, selon les principes du Calcul différentiel, la forme de ce rayon comme prismatique. Or, si l'on mène dans un prisme oblique une section perpendiculaire à l'arête, l'étendue de cette section est ersinep, en désignant par cr la surface de la base et par o l'angle que fait l'arête avec la base. Pour rendre ce résultat évident, il faut, après avoir divisé le prisme oblique en deux parties au moyen de la section perpendiculaire, transposer ces deux parties, en sorte qu'elles forment un prisme droit ayant pour base les deux seclions perpendiculaires : la hauteur du nouveau prisme devient alors égale à la longueur du prisme oblique; donc le rapport des hauteurs respectives de ces deux solides est le rapport inverse de leurs bases, c'est-à-dire que la surface de la section perpendiculaire équivaut à txsinaj. Au reste, cette proposition se conclut facilement de la compa-

raison des pyramides qui, ayant leur sommet en co (Jig. 5), ont pour hase la surface inclinée mn, ou les trois surfaces mp, rt, qn, perpendiculaires à l'axe r; il est évident que la dernière raison de ces solides est l'unité. .Maintenant le rayon qui tombe sur la base asinç appartient à un hémisphère dont la surface est i~y2. La direction de ce rayon

Fiji. 5.

faisant avec le plan dont il sort un angle/;, son intensité est ag¥(s'mp); a est la température et g un coefficient constant. Donc la quantité de

chaleur envoyée par la portion co est 0H/g-F(sin/; ) J-'r-~;- Si l'on multiplie cette quantité par le rapport de s à a>, on aura la quantité totale de chaleur que s envoie à co : cette quantité est

ags

!7TJ

- F(sin/?)asin cp.

Supposons maintenant que la surface i soit aussi à la température a : il est visible qu'elle enverra à s une quantité de chaleur égale à

F ( s i il cp ) .ç sin/?.

On voit distinctement par ces deux résultats que, si la fonction F(sincp) est le sinus même, l'action de s sur t sera égale à celle de a sur. y, et que, si cette fonction n'est pas proportionnelle au sinus, les deux actions ne seront point égales. Or il est facile de reconnaître que cette égalité des deux actions réciproques est précisément ce qui constitue l'équilibre des températures! Donc il est nécessaire que l'intensité des l'avons qui s'échappent ensemble d'un point d'une surface soif proportionnelle au sinus de l'angle d'émission.

On a vu précédemment (art. 90, p. 32) que le coefficient g est donné par l'équation

li^zgl F(sincp) cos<p d<o,

de sorte que l'on a ici g — ih. Doue l'action de s sur a est

ah

; S Slll /> CT sm 9.

Si les deux surfaces ont des températures inégales a et b, le résultat de leur action mutuelle sera, comme nous l'avons annoncé, proportionnel à

. . , s sinw a sinco (a — b)h — ; -•

Supposons maintenant qu'un espace vide d'air soit terminé de toutes parts, et que l'enceinte qui le renferme soit, par une cause extérieure quelconque, maintenue à une température fixe a : il faut déterminer l'état final auquel un corps parviendrait si on le plaçait dans un point de cet espace.

Il est visible que l'état dont il s'agit est celui que le corps conserverait sans aucun changement, si on le lui donnait d'abord et si on le plaçait ensuite dans un point de l'espace échauffé. Or on peut s'assurer facilement que cela aurait lieu si chaque point du corps recevait d'abord la température a de l'enceinte. En effet, une partie infiniment petite quelconque a- de la surface de ce corps est exposée à l'action d'une infinité de petites surfaces s, s', s", s'", ... ; elle envoie à chacune d'elles, d'après le théorème précédent, une quantité de chaleur exactement égale à celle qu'elle en reçoit. Donc cette partie ct de la surface du corps ne peut éprouver aucun changement de température. Le corps lui-même, dont tous les points intérieurs ont la température commune a, doit donc aussi conserver cette même température; donc il tendrait continuellement à l'acquérir, si son état initial était différent.

DANS LES CORPS SOLIDES. kl

Ces résultats sont entièrement indépendants de la forme de l'enceinte, de celle du corps et du lieu où on le place. Ainsi tous les points de l'espace dont il s'agit ont une même température, savoir, celle que prendraient les molécules que l'on y placerait; et cette température de l'espace est celle de l'enceinte qui le borne. Lorsque plusieurs corps ont acquis la température commune de l'espace dans lequel ils ont été placés, ils conservent toujours cette température. Un élément quelconque de la surface d'un de ces corps est le centre d'une infinité de l'ayons qui composent un hémisphère continuellement rempli de chaleur. L'intensité d'un rayon est proportionnelle au sinus de l'angle qu'il fait avec l'élément de la surface dont il sort. Ce même rayon est toujours accompagné d'un rayon contraire qui, ayant la même intensité, se meut dans le sens opposé, et s'avance vers la surface dont le premier s'éloigne. C'est ainsi que chaque point de la surface d'un corps est le centre de deux hémisphères qui se pénètrent mutuellement; l'un est composé des rayons émis et l'autre des rayons contraires envoyés par les autres corps.

Si l'on imagine une surface plane infiniment petite co tracée dans l'espace et pouvant être librement traversée par les rayons de chaleur, lorsque l'équilibre de température sera établi, cet élément recevra une infinité de rayons sur les deux côtés opposés A et A' de sa surface. Ce disque infiniment petit est donc en même temps le centre d'un hémisphère composé de rayons qui tombent sur le côté A de la surface, et celui d'un hémisphère composé de rayons qui s'éloignent de cette même surface A; et il est très facile de voir que l'intensité de ces rayons incidents ou émis est nécessairement proportionnelle au sinus de l'angle d'incidence ou d'émission. Donc ce côté A de la surface de l'élément co produit exactement le même effet que si o> faisait partie de la surface d'un corps solide parvenu à la température commune. Le même raisonnement s'applique à toutes les parties d'une surface quelconque qui, ayant été tracée dans l'espace, serait traversée dans tous

k's sens par les rayons de chaleur. Donc, si des corps placés dans l'espace ont acquis des températures égales, et si l'on supprime tout à coup un de ces corps, l'équilibre de la chaleur s'établira et subsistera de la même manière qu'auparavant. En eflèt, les surfaces qui terminent la portion de l'espace que le corps occupait recevront ou transmettront des quantités de chaleur exactement égales à celles que le corps recevait lui-même, ou envoyait aux corps environnants dont la température était égale à la sienne. 11 faut bien remarquer que cette compensation ne peut avoir lieu qu'autant que l'intensité des rayons décroît suivant la loi que nous avons démontrée. Dans toute autre hypothèse, l'effet des rayons envoyés par un corps solide parvenu à la température commune ne serait point le même que celui des rayons qui, après la suppression du corps, traversent librement l'espace qu'il occupait. On voit, d'après cela, pourquoi le déplacement de diverses masses parvenues à des températures égales n'apporte aucun changement dans l'équilibre de la chaleur.

Il faut considérer maintenant que les rayons de chaleur qui tombent sur la surface d'un corps ne pénètrent point tous au delà de la surface qui les reçoit : une partie de cette chaleur est réfléchie dans l'espace environnant, et s'ajoute à celle que le corps lui-même lui envoie. Cette propriété dépend de l'état de la surface sur laquelle tombent les l'ayons de chaleur. La quantité des rayons réfléchis est très grande lorsque la surface est métallique et exactement polie. On remarque aussi des différences considérables dans les quantités de chaleur que les divers corps peuvent envoyer, à températures égales. Ainsi deux surfaces planes, égales et également échauffées, envoient à l'espace environnant des quantités de chaleur très inégales si l'une est polie et l'autre dépolie, ou couverte d'un enduit. Or les observations nous ont appris qu'il y a une relation constante entre la propriété de réfléchir les rayons et celle de les transmettre. Cette même cause, inconnue jusqu'ici; qui s'oppose à l'admission des rayons incidents et en réflé-

chit une partie, est également contraire à la projection des rayons que les corps échauffés tendent à envoyer dans l'espace; elle tend aussi à les réfléchir vers l'intérieur des corps, et ne laisse échapper dans l'espace qu'une partie de ces rayons. Toutes les fois que, par un changement quelconque opéré à la surface, on diminue la faculté d'admettre les rayons incidents, on diminue aussi, et dans le même rapport, la faculté de les projeter au dehors. Si l'élément a> de la surface d'un corps parvenu à la température commune de l'espace reçoit un rayon H (fig. 6) qui fait avec la surface un angle 9, ce rayon se divise en deux

Fie. 6.

parties Ra et R(i — a), dont l'une poursuit sa route en pénétrant dans la masse, et l'autre se réfléchit, comme la lumière, sous le môme angle 9. Puisqu'on suppose que le corps est parvenu à la température de l'espace, il suit des principes que nous avons exposés qu'il doit y avoir en même temps un second rayon r égal au précédent, et qui tomhe aussi sur la surface en faisant avec elle l'angle <p, suivant une direction contraire à celle du rayon réfléchi R(i — a). Ce rayon incident alterne r se divise, comme le précédent, en deux parties, dont l'une /a pénètre dans la masse et l'autre r(i — a) suit une route contraire à celle du rayon incident R. Si la surface au point o> n'avait point la propriété de s'opposer à l'émission de la chaleur, la température du corps étant devenue constante, il s'échapperait sous l'angle cp un rayon H' égal ;i R et suivant une direction contraire; mais ce rayon projeté R' est, comme le rayon incident R, divisé en deux parties R'aet R'(i — a); l'une poursuit sa route et s'éloigne du corps, tandis que l'autre partie R'(i — a) se réfléchit vers l'intérieur, en suivant la même route que le rayon /•. Enfin un quatrième rayon r égal à R tend également à sortir

sous le même angle cp, suivant une direction opposée à celle de /•; mais il se divise en deux parties r a et r'(i — a), dont l'une s'éloigne du corps et dont l'autre est réfléchie vers l'intérieur de la masse.

On voit par là que le point a> envoie selon la direction de /•' les deux rayons r'a, et R(i — a), et qu'il envoie aussi selon la direction de R' les deux rayons R'a et r(i — a). Ce même point reçoit dans l'intérieur du solide, selon la direction R, les deux rayons Ra et r'(i — a); enfin il reçoit, selon la direction r, les deux rayons ra et R'(i — a). Comme les quantités R, r, R', r sont égales par l'hypothèse, il s'ensuit que l'élément co reçoit sous l'angle cp un rayon égal à R, et qu'il envoie aussi sous cet angle un même rayon R; c'est ce qui aurait lieu si la surface était entièrement privée de la propriété de réfléchir les rayons. Donc l'existence de cette propriété, et son plus ou moins d'intensité, n'apportent aucun changement dans l'équilibre de la chaleur.

Il n'en serait pas de même si la fraction a qui convient aux rayons incidents R et r n'était point la même que celle qui convient aux rayons projetés R' et r. Il arriverait alors que la quantité de chaleur admise différerait de la quantité de chaleur émise, et la température du corps ne serait point constante. Supposons, par exemple, que le corps M, parvenu à la température commune A de l'espace, soit tout à coup remplacé par un corps N de même forme, de même substance et de même température que le premier, mais qui en diffère par l'état de la surface. Ce corps N ne pourrait point conserver la température A si le changement de la surface, qui augmente ou diminue la facilité de réfléchir les rayons, ne modifiait pas également la facilité de les émettre dans l'espace ; or il est entièrement contraire aux faits de supposer que le corps N prenne une température différente de A; donc il n'y a aucun doute que la surface réfléchissante n'exerce également son action contre les rayons qui tendent à pénétrer dans le solide et contre ceux qui tendent à en sortir. Il suit de là que, dans l'équilibre de la chaleur, l'intensité des rayons émis décroît proportionnellement au sinus de l'angle d'émission, quelle que soit d'ailleurs la nature des surfaces; il faut seulement concevoir que les rayons réfléchis s'ajoutent

à ceux que le corps envoie de lui-même, et que ces deux parties composent le rayon émis, dont l'intensité décroît comme le sinus de l'angle d'émission.

Cette propriété de repousser les rayons incidents, qui varie beaucoup avec l'état des surfaces, et qui n'apporte aucun changement dans l'état d'équilibre, a une influence considérable sur les progrès de réchauffement et du refroidissement. Si le corps M, placé dans l'espace dont la température commune est A, a lui-même une température inférieure B, les rayons R et R' n'auront plus la même intensité, et il est facile de voir que l'augmentation de chaleur produite par le rayon R sera proportionnelle à a(R — R'). Donc la masse s'échauffera d'autant plus vite que la fraction a approchera plus de l'unité. Si la surface jouissait à un très haut degré de la propriété de réfléchir la chaleur, le coefficient a serait très petit, et le corps s'échaufferait ou se refroidirait avec une extrême lenteur.

Ainsi, lorsque, dans un espace vide d'air que termine une enceinte solide entretenue à une température constante, on place plusieurs masses solides qui diffèrent par la substance et par la figure ou par l'état des surfaces, ces divers corps, quelle que soit leur température initiale, tendent continuellement à acquérir une température commune, qui est celle de l'enceinte. Ils s'échauffent ou se refroidissent plus ou moins lentement, selon qu'ils jouissent à un plus haut degré de la propriété de réfléchir les rayons incidents; mais cette qualité n'influe ni sur la valeur de la température finale, ni sur la loi du décroissement de l'intensité des rayons émis dans l'état d'équilibre. Si, par exemple, l'un de ces corps réfléchit toute la chaleur qui lui est envoyée, en sorte que la valeur de a soit nulle, il n'acquerra jamais ht température commune; mais il contribuera également à l'équilibre de la chaleur, en réfléchissant les rayons qui tombent sur lui, et dont il ne change point la température.

Il faut bien remarquer que les rayons qui sortent de l'intérieur du solide, et qui, après avoir rencontré une surface propre à les réfléchir, changent de direction en continuant de se propager dans l'espace,

conservent toujours leur température primitive; celle de la surface réfléchissante ne peut ni augmenter ni diminuer la température des rayons réfléchis, en sorte que le corps qui absorbe ces derniers rayons en reçoit la même impression que s'ils lui étaient envoyés directement. Ce fait est connu depuis longtemps, et se manifeste dans les observations sur la réflexion du froid ; il est devenu très sensible dans plusieurs expériences que nous avons faites récemment pour observer les lois de l'émission de la chaleur. Par exemple, on a transporté un plateau de glace G {fig- 7) dans une pièce fermée, dont toutes les par-

Fig. 7.

ties avaient acquis une température constante supérieure à o. On y avait placé un thermoscope T très sensible et qui était devenu stationnaire. Lorsqu'on présentait le plateau G à une certaine distance du thermoscope, l'indice se mettait aussitôt en mouvement et se rapprochait de la boule. En effet, avant que le plateau de glace fût apporté, la boule du thermoscope recevait de toutes parts des rayons également chauds, et, comme elle envoyait elle-même une quantité de chaleur égale à celle qu'elle recevait, elle conservait sa température; mais, lorsque la masse G était placée, cette masse interceptait une partie des rayons qui tombaient auparavant sur la boule, et ces rayons étaient remplacés par des rayons plus froids, sortis de la glace. C'est pour cela que la température du thermoscope s'abaissait jusqu'à ce que la quantité de chaleur envoyée par la boule devînt égale à celle qu'elle recevait. On approchait ensuite une surface métallique polie M, propre, ;i réfléchir sur la boule T les rayons sortis du corps glacé G; alors la

température du thermoscope s'abaissait de nouveau d'une quantité considérable. En effet, en plaçant le miroir M, on interceptait encore une partie des rayons que la boule T recevait des corps environnants; ces rayons étaient remplacés par ceux qui sortaient de l'intérieur même du miroir, et aussi par ceux qui, sortis de la masse froide G, se réflécbissaient à la surface du miroir et tombaient sur la boule T. Cette boule recevait donc, après qu'on avait approclié le miroir, plus de rayons froids et moins de rayons ebauds qu'auparavant; c'est pour cette raison que la présence du miroir M fait toujours abaisser la température. Lorsque le miroir M n'était point placé, la boule T se trouvait seulement exposée aux émanations d'un plateau de glace; mais, lorsque le miroir était en m, cette boule se trouvait, pour ainsi dire, placée entre deux masses froides, en sorte qu'elle perdait une nouvelle partie de sa cbaleur.

Avant qu'on plaçât le miroir M, il était ordinairement entretenu à la température de l'appartement; mais nous avons plusieurs fois éebauffé ce miroir de quelques degrés au-dessus de cette température commune ; dans cet état, on le plaçait en m, et il arrivait encore que la boule Tse refroidissait très sensiblement. Les rayons plus ebauds sortis du miroir même ne suffisaient point pour compenser l'effet des rayons émanés du plateau et réfléchis par sa surface sur la boule T. Nous avons toujours observé que, si l'on approchait de T le miroir M, en plaçant cette dernière surface de telle manière qu'elle ne pût réfléchir sur T les rayons émanés de Gg, la température du thermoscope s'élevait, le miroir M étant plus échauffé que les corps environnants; mais, lorsqu'on mettait cette même surface M dans la situation propre à réfléchir sur la boule T les rayons sortis de Gg, la température du thermoscope s'abaissait.

Si ensuite on enlevait le plateau de glace, l'indice du thermoscope commençait aussitôt à se mouvoir; il s'élevait jusqu'à ce qu'il marquât une température supérieure à celle de l'appartement. Enfin, en retirant le miroir, l'indice se rapprochait de la boule et marquait la température commune. Au reste, ces résultats sont connus de tous les

6k THÉORIE DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR

physiciens qui ont observé attentivement les effets de la chaleur. Ils s'expliquent très facilement lorsque l'on considère que la température des surfaces réfléchissantes n'influe point sur celle des rayons réfléchis.

Pour achever cette théorie de l'équilibre de la chaleur rayonnante, il nous reste à découvrir la cause qui fait diminuer l'intensité des rayons émis proportionnellement au sinus de l'angle d'émission. On parviendra à l'explication mathématique de ce phénomène en examinant comment toutes les molécules infiniment voisines de la surface concourent à l'émission perpendiculaire ou oblique de la chaleur.

Supposons que le plan AB {fïg. 8) termine une masse solide échauf-

Fig. 8.

fée qui conserve la température a et sépare cette masse du milieu environnant, qui conserve la température o; chaque point du plan AB pourra être regardé comme le centre d'un hémisphère continuellement rempli de chaleur. La question consiste à comparer l'intensité des rayons obliques à celle des rayons perpendiculaires.

Il résulte, en premier lieu, de toutes les observations qu'il n'y a qu'une couche extrêmement mince des corps opaques qui puisse contribuer à la projection immédiate de la chaleur. Ainsi, en concevant le solide divisé en un très grand nombre de couches parallèles d'une Iris petite épaisseur, on voit que la couche extrême terminée par le plan AB est la seule qui puisse porter immédiatement jusque dans le vide la chaleur dont elle est pénétrée. Mais les différentes parties de cette dernière couche ne concourent point également ii cet effet, quoi-

qu'elles aient toutes la même température que les points de la surface. Les points qui sont situés à la superficie envoient la chaleur dans tous les sens avec une égale facilité : ceux qui sont un peu au-dessous de la surface n'envoient pas aussi facilement la chaleur au delà des limites du corps; celle qu'ils projettent s'arrête en partie sur les molécules solides qui les séparent de l'espace extérieur : il n'y a qu'une partie de celte chaleur projetée qui parvient jusqu'à l'espace et qui s'y répand. De plus, ces mêmes points envoient moins de chaleur jusqu'aux limites du corps en suivant une direction oblique que selon la perpendiculaire. Cette différence provient encore de l'interposition des molécules solides, qui sont en plus grand nombre dans les directions obliques.

Chaque point de la normale oin envoie perpendiculairement à la surface, suivant mo, une certaine quantité de chaleur, et chaque point de cette même normale envoie aussi jusque dans l'espace E une certaine quantité de chaleur suivant une direction oblique, parallèle à une ligne donnée CD. Soit \>, la quantité totale de chaleur que le filet solide om projette jusque dans l'espace extérieur E, perpendiculairement à la surface AB, et soit v la quantité totale de chaleur que le même filet solide projette jusque dans l'espace, selon la direction parallèle à CD : on va démontrer qu'on a toujours l'équation v = p.sino, o étant l'angle que CD fait avec le plan. Le même raisonnement pouvant s'appliquer à tous les filets perpendiculaires dont la base est sur le plan AB, on en conclura que la quantité totale de chaleur qui traverse le plan selon la direction perpendiculaire est à la quantité totale qui le traverse selon la direction parallèle à CD dans le rapport de i à sino : tout se réduit donc à comparer les quantités [/. et v.

Supposons qu'à la distance Oa (Jig. 9) la molécule a puisse envoyer selon la normale, et jusque dans l'espace extérieur, une quantité de chaleur désignée par l'ordonnée cep. Concevons, en général, que l'on ait décrit une courbe mpq dont chaque ordonnée ap, ou [3<y, représente la quantité de chaleur* qui peut être envoyée dans l'espace, selon la normale, par la molécule a, ou [i, placée à l'extrémité de l'abscisse qui

répond à cette ordonnée ap, ou ftq. La ligne mpq dépend, suivant une loi inconnue, de la nature de la substance solide, et l'on peut dire que chacune de ces substances a une certaine courbe qui lui est propre. Le point d'intersection entre la courbe et l'axe Om est le dernier point de cette normale qui puisse projeter une partie de la chaleur jusque dans l'espace E; celle qui est envoyée par les autres points plus éloignés de 0 ne parvient point jusqu'aux limites du solide. 11 est facile de voir que la quantité totale de chaleur \x envoyée perpendiculairement par la ligne Om dans l'espace E est représentée par l'aire comprise entre Om et mpq.

On trouvera maintenant la quantité totale v que cette même ligne envoie à l'espace parallèlement à la direction CD, en concevant une seconde courbe m'p'q' dont les ordonnées représentent les quantités de chaleur envoyées selon la direction CD. Ainsi, pour connaître combien le point a' envoie de chaleur parallèlement à CD jusque dans l'espace E, on mènera par ce point a' l'oblique a'a' parallèle à CD; ensuite on portera cette ligne a'a', de 0 en a, sur l'axe de la première courbe. L'ordonnée <xp désignera la quantité de chaleur envoyée obliquement. On élèvera donc en a' l'ordonnée a'// égale à <x/>. On construirait, par ce moyen, la seconde courbe m'p'q', et l'aire comprise entre cette courbe et la normale Om' exprimerait le produit total v de

l'émission oblique. Or, si l'on compare ces deux courbes, on voit que, pour une même abscisse ctp ou cep', les ordonnées correspondantes sont dans un rapport constant, qui est celui de i à sin<p. Donc ce rapport est celui des aires fj. et v; ainsi l'on a cette relation

v = jjl siii <p.

On obtient aisément ce résultat sans employer les constructions. En effet, soit o(a) la fonction inconnue qui exprime combien le point placé au-dessous de la surface, à une distance perpendiculaire a, peut envoyer de chaleur au delà de cette surface, selon la direction de la normale; et soit a la plus grande valeur que puisse avoir a; c'est-à-dire que, si la distance y. est plus grande que a, la valeur de cp(a) est toujours nulle. L'intégrale / cp(a)</« donnera la valeur de la quantité to-

taie a envoyée perpendiculairement dans l'espace par le filet solide Om. .Mais, si l'émission est oblique, le même point a se trouvera distant du point de la surface où il dirige ses rayons d'une quantité égale -. — ; donc il ne pourra envoyer dans l'espace extérieur qu'une quantité de chaleur exprimée par ç ( - — ]• L'intégrale / cp ( -^-y \ doc sera donc la

valeur du produit total v de l'émission oblique. Soit - = 3: on aura r * su) 9 ri

f9 (slnV) da = S'n 9f9 ( P } d^

el cette seconde intégrale devra être prise depuis a = o jusqu'à a = a,

ou, ce qui est la même chose, depuis j3 = o jusqu'à [3 = -r— ■ Mais il

est évident, d'après l'hypothèse, que toute valeur de ft plus grande que a donnerait des valeurs nulles pour cp(j3) : donc l'intégrale / cp((3)rf[3 peut être prise depuis ^ = o jusqu'à $=a; ainsi elle ne diffère point de / y(cn.)da prise depuis a = o jusqu'à a = a. On a donc

v = sincp/ ©(«) doc — [t. sin op.

Il suit de là que, sans connaître la fonction cp(a), qui varie avec la II. 8

nature de chaque substance solide, on est assuré que la quantité totale de chaleur qui sort perpendiculairement d'une surface échauffée est plus grande que la quantité qui sort obliquement de cette même surface, et que le rapport de ces deux quantités est celui du rayon au sinus de l'angle d'émission.

On voit maintenant que l'on pourrait parvenir de différentes manières à déterminer cette loi du décroissementde l'intensité des rayons. Nous avons obtenu ce résultat en considérant l'égalité qui s'établit entre les températures des corps placés dans une enceinte commune; nous aurions pu le déduire de l'examen même de la cause qui le produit; enfin il est expressément indiqué par les expériences, comme le prouvent les Ouvrages de MM. Leslie, Rumford et Prévost, de Genève.

L'existence de cette loi est une conséquence certaine des causes qui déterminent la propagation de la chaleur dans les corps solides. C'est pour cette raison que le théorème énoncé en la page 28 nous a paru avoir une connexion nécessaire avec la matière que nous traitons, quoiqu'il se rapporte au mouvement de la chaleur dans le vide. Nous aurions regardé comme incomplète la théorie de la propagation de la cbaleur dans les solides, si nous n'avions point considéré la loi à laquelle cette propagation est assujettie dans l'enveloppe extrêmement mince qui termine les corps, et si nous n'avions point expliqué comment ces mêmes corps solides parviennent, indépendamment du contact, à l'équilibre de température. Nous devons donc espérer que cette partie de notre Ouvrage ne sera point regardée comme étrangère à l'objet principal que nous nous sommes proposé.

Le traité que M. le professeur Prévost a publié en 1809 sur la chaleur rayonnante contient l'exposition des phénomènes connus qui dépendenl de cette théorie. L'auteur a donné le premier une hypothèse physique qui explique très clairement la réflexion appareille du froid et toutes les circonstances de l'équilibre de la cbaleur. M. le I)1 Leslie, d'Edimbourg, et M. le comte de Rumford ont enrichi cette branche de la Physique d'un grand nombre de faits nouveaux. Toutes ces découvertes ont été préparées et excitées par les recherches de

M. M. -A. Pictet, à qui l'on doit des expériences capitales, et qui a fait connaître le premier toute l'importance des recherches de ce genre (Essai sur le feu, publié en 1790).

MM. Leslie et Prévost avaient déjà considéré comme indiquée par les observations la loi du décroissement de l'intensité des rayons obliques. Le premier attribue d'abord cette loi à l'émission de la lumière. Voici ses expressions : « Puisque le boulet devenu rouge ne se distingue pas d'un disque lumineux, il s'ensuit que la lumière est émise avec moins d'abondance dans les directions obliques, et que la densité des rayons est à peu près comme le sinus de leur déviation de la perpendiculaire. »

M. Prévost, après avoir cité ces mêmes expressions, ajoute : « Voilà une analogie dont on peut faire l'application au calorique rayonnant; et, en effet, des expériences que nous rapporterons portent à croire que l'émission du calorique est assujettie à la même loi. » Et plus loin : « J'ai dit ci-dessus qu'il paraissait, par quelques expériences de M. Leslie, que le calorique émanait avec plus d'abondance selon la direction perpendiculaire à la surface qui l'émet que selon toute autre direction : voici les expériences qui rendent ce fait probable. »

Elles consistent principalement dans l'observation, qu'a faite M. Leslie, de l'effet produit par une surface échauffée à laquelle on donnait dr> situations plus ou moins obliques.

On place un miroir métallique concave m (fig. 10), d'une forme

Fig. 10.

parabolique, devant une surface plane échauffée vv, dont les rayons, réfléchis par le miroir, échauffent la boule / d'un thermoscope place

f>0 THÉORIE DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR

près du foyer. Deux plans e, e interceptent une partie des rayons envoyés par le plan échauffé vv, et ces écrans sont séparés par un intervalle nn, qui laisse parvenir une partie des rayons en mmm. Après avoir observé et mesuré l'effet que produisent sur le thermoscope les rayons émanés du plan échauffé dans la position ce, on change cette position, et l'on donne à la surface la direction eV, sans changer la place du centre. On observe alors que l'effet produit sur le thermoscope est à très peu près le même qu'auparavant.

Il faut supposer : i° que la température de la surface est la même en vv et en v'v' , ou qu'on tient compte de la diminution de température ; 20 que le déplacement n'est point assez grand pour que la ligne v'n, qui passe par l'extrémité du plan échauffé et celle de l'écran, cesse de rencontrer le miroir.

M. Leslie, après avoir rapporté ces expériences, et remarqué des circonstances accessoires qui lui paraissent devoir se compenser presque exactement, ajoute : « Je suis disposé à compenser ce déficit par ce que j'ai remarqué ci-dessus. Nous pouvons donc conclure en général que l'action éloignée d'une surface échauffée est équivalente à celle de sa projection orthographique, et doit être estimée par la grandeur visuelle de la source. »

On voit par ces citations que, en observant les effets des rayons obliques, on a été naturellement conduit à leur attribuer une intensité variable et proportionnelle au sinus de l'angle d'émission.

L'action de la chaleur rayonnante est assujettie dans les espaces vides d'air aux lois mathématiques que nous avons exposées; mais, lorsqu'elle se propage dans l'atmosphère, elle suit des lois différentes et beaucoup moins simples, qui sont aujourd'hui presque entièrement ignorées. L'air interposé reçoit en partie la chaleur rayonnante, et il agit ensuite lui-même sur les corps voisins. Nous avons plusieurs fois constaté par des expériences attentives cette influence marquée par la présence de l'air. Comme l'emploi des miroirs concaves complique les résultats en même temps qu'il les rend plus sensibles, nous avons mesuré l'action directe d'une surface échauffée sur la boule d'un ther-

DANS LES CORPS SOLIDES. (il

moscope qu'on plaçait à différentes distances. On a apporté un soin extrême dans ces observations, et l'on a reconnu que les lois qui seraient observées dans les espaces vides sont notablement altérées par l'action de l'air intermédiaire. Ainsi l'effet produit par une surface inclinée se rapproche visiblement de celui de la projection orthographique; mais il y a toujours une différence très sensible entre les deux résultats.

Pour rendre plus manifeste cet effet de l'interposition de l'air, on avait introduit dans une enveloppe conique, et vers le sommet en / {fig. n), la boule d'un thermoscope ; on plaçait ensuite ce récipient

Fig. il.

à côté et au-dessus d'une surface échauffée vv; un écran ee empêchait les rayons sortis de vv de tomber directement sur la surface intérieure du récipient. On a toujours remarqué que la boule du thermoscope s'échauffait rapidement, et il a été facile de reconnaître que cela provenait de l'air intermédiaire mmm, qui, étant échauffé, montait dans le récipient. Ainsi tout corps exposé dans l'air à l'action directe d'une surface éebauffée éprouve en même temps celle d'une masse fluide qui l'environne de toutes parts, et cet effet accessoire est une partie notable de l'effet principal.

Ces mêmes expériences, qui avaient pour objet de mesurer avec précision l'action directe d'une surface éebauffée sur la boule du thermoscope, nous ont donné lieu d'examiner comment l'accroissement de la distance, en augmentant la quantité d'air interposé, concourt à la diminution de l'effet produit; mais nous avons obtenu des résultats sensiblement différents de ceux qui auraient lieu d'après la règle pro-

posée par M. Leslie. et qu'il a conclue Je quelques-unes de ses observations sur la chaleur réfléchie.

Quant à l'action des rayons solaires, elle doit, à plus.eurs égards,

être distinguée de celle de la chaleur obscure. Nous appelons ams. celle

, ni ne pouvant traverser directement les liquides diaphanes, ne rend

„-,,'„ les corps visibles. Pour faire connaître la nécessité de cette d.s-

tinctiou, il nous suffira de rapporter l'expérience suivante, que nous

avons faite récemment.

On a placé au devant de la boule d'un thermoscope un plateau de .lace transparente, d'une épaisseur assez considérable; on a ensu.te approché rapidement au devant du plateau une plaque de fer très teLwe. mais non lumineuse; on n'a remarqué aucun mouvement dans l'indice du thermoscope (la boule était garantie, de toutes parts, ,,',. paccés de l'air échauffe, et l'on avait pris toutes les précaut.ons nuises). On a ensuite retiré la plaque échauffée, et on l'a remplacée par la flamme d'une bougie ordinaire ; aussitôt l'indice du thermoscope ....I mis en mouvement. On a répelé plusieurs fois ces épreuves, et 1 on n'a pu observer quelque mouvement dans le thermoscope qu en fa.sant cou ir la plaque méta.hque. L'instrument était très sens.b e car le-

tendne d'un degré octogésimal était d'environ deux pouces; et ,1 eta.t aussi très mobile, car l'indice commençait à marcher lorsqn on présentait la main étendue an devant de la boule à quatre ou enq pieds de

11 résulte de cette expérience et de plusieurs autres que la chaleur rayonnante, qui ne pénètre point directement les liquides d.aphanes, soit parce qu'elle manque de vitesse, soi. pour toute autre cause, ne se comporte point dans l'air e, dans les solides transparents comme ce le oui émane des foyers lumineux. Il faudra donc avo.r égard a cette distinction lorsqu'on entreprendra de déterminer l'acoon des rayons solaires sur l'atmosphère et sur les eaux. Ces recherches ne peuvent être fondées que sur une longue série d'observations. Au reste elles

„' ment pointa h, matière que nous traitons aujourd ha..

,,,„', ;,„.„ reinarquer qu'en soumettant au calcul la quest.on des .cm-

pératures terrestres, nous avons écarté tout ce qu'il pourrait y avoir d'hypothétique et d'incertain dans la mesure de l'effet des rayons solaires. En effet, on peut regarder l'état de la surface du globe comme donné par les observations, et il s'agit ensuite d'en déduire l'état des molécules intérieures. Cette dernière question dépend entièrement de notre théorie du mouvement de la chaleur dans les corps solides.

Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de diverses expériences.

iOl.

Il nous reste à comparer les résultats que fournit l'analyse avec ceux de nos propres expériences. Ces observations onl été faites avec beaucoup de soin, et souvent répétées. Le nouveau degré de précision que nous sommes parvenu à leur donner nous a fait reconnaître une conformité encore plus exacte entre les faits et la théorie. Pour établir avec ordre cette comparaison, nous avons considéré, dans les diverses questions, les résultats les plus remarquables et qu'on peut constater avec précision. Ainsi, la tbéorie faisant connaître que les températures fixes de divers points placés à distances égales sur la circonférence de l'armille forment une série récurrente (art. 10) ('), nous avons cherché à vérifier ce résultat en mesurant les températures a, b, c, d de

quatre points consécutifs et en comparant le quotient —. — au quotient — — > qui doit être le même que le précédent.

Il n'est pas moins facile d'observer, pendant le refroidissement de l'armille, les températures A et A' de deux points situes aux deux extrémités d'un même diamètre, el de les comparer aux températures 13 et 13' de deux autres points situés ;mx extrémités d'un autre diamètre.

(i) Théorie t/<- la chaleur, art. 109, p. 8y. G. D.

Los doux sommes A + A' et B -+- B' doivent tendre do plus on plus à devenir et à demeurer égales pendant la durée du refroidissement ('art. 37) ('). Il faut examiner si cette relation, donnée par la théorie, se manifeste dans les expériences.

On a vu aussi que le système variable des températures des différents points d'un corps donné s'approche continuellement d'un état régulier et final, dans lequel les rapports des températures ne changent plus avec le temps, chacune d'elles décroissant comme l'ordonnée d'une même logarithmique dont le temps est l'abscisse. Il s'agit donc d'observer les températures çt, v2, e.,, ... d'un point déterminé, correspondantes aux temps /,, t2, t3, ..., et de comparer entre elles les

.^, logCi — ]oaT2 loge,— loge, o \ «. •

quantités -— t-^-j : r^> "• atin de reconnaître si ces quanta — i\ (3- — • 1 2

lités sont ou deviennent sensiblement égales, comme la théorie le

suppose.

En général, le calcul nous apprenant que la chaleur affecte toujours dans l'intérieur des solides une disposition régulière et symétrique, il est intéressant de rendre ces propriétés sensibles par l'expérience, et de pouvoir distinguer à quelque caractère certain si le système des températures est entré et persiste dans cet état régulier, indépendant de réchauffement initial.

Nous n'avons pas eu seulement pour but dans ces expériences de vérifier les résultats remarquables de la théorie; nous les avons encore choisies telles qu'on pût connaître pour une substance (le fer) les trois qualités spécifiques qu'il est nécessaire de mesurer pour faire l'application des formules. Ces éléments sont la conducibilité propre, la conducibilité extérieure et la capacité spécifique de chaleur.

La première expérience a été faite sur un anneau de fer poli, exposé par l'un de ses points à l'action d'une chaleur constante. On a placé sur trois supports de bois sec un anneau de fer poli d'environ un pied de diamètre; son plan est horizontal; il est percé de six trous, comme

1 1 Théorie delà chaleur, art. 2i5, p. 24<). G. D.

on le voit dans lay%\ 12. Les (rois premiers occupent le quart de la circonférence, et leur distance est du huitième de cette circonférence; les trois autres leur sont diamétralement opposés ('). Les trous ne pénètrent point jusqu'à la surface inférieure, mais seulement au delà du milieu de l'épaisseur. On a placé dans l'armille divers thermomètres, en sorte que le centre du réservoir de chacun correspondît au milieu de l'épaisseur: on a ensuite rempli avec du mercure les trous où l'on avait mis les thermomètres; ceux qui restaient et qui n'avaient pas de thermomètres ont aussi été remplis avec du mercure. On a échauffé l'anneau en plaçant au-dessous une lampe d'Argant dont on

Fig. 12.

pouvait augmenter ou diminuer la flamme. On observait la température de l'appartement au moyen d'un thermomètre libre; l'air était tranquille; on tenait échauffée une pièce voisine du lieu de l'expérience, et l'on entr'ouvrait, lorsqu'il était nécessaire, la porte de communication avec cette étuve. On est parvenu ainsi à retenir dans un degré fixe la température de l'air. Le point au-dessous duquel on avait mis le foyer était très voisin d'un des thermomètres placés dans l'armille, et l'on réglait continuellement l'activité de la flamme en sorte que ce thermomètre marquait un degré fixe. En apportant beaucoup de soin dans ces expériences, on est parvenu, après des tentatives réitérées, à entretenir dans un état fixe, pendant plus de cinq heures consécutives, la température de l'air et celle du thermomètre voisin du foyer. Les thermomètres plus éloignés se sont élevés successivement;

(') Le diamètre total pm est om, >|5; le diamètre intérieur///- est om, 293; l'épaisseur///// est om, 026: la hauteur pq est om,o4o : pour chacun des trous le diamètre est om.oi43: la hauteur o'n. 0270.