a #22 3 tr 4e 1. 2. ee î Ft

SE s

En posant NN tr Rs

d£ of.

Ne va | nee

ORAN es Bt

+ 5(ab ba) Le Gçae + 06 + ca)

me ile Aer Fe . YU =,

une oi . e

L e Des deux extraits que nous réunissons sous ce titre; +. D rer

FRE imprimées ici en Rs RTS Dre 44 ‘a NEA ARMES (6 ) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. CI RER noue t 4 p. es SE 00 pe

| 'e \ a ê; \, + ne Ki) Des * LA +” . ; « ar l à + à & nu HS w ; YA L DK TA ri ++ à % it Eu : ” Lt Te “oi 2 dy Fe 4 R # k ne : '

nas d ler lus au Dr de Quatre Q( 2 eau ui à dire ques! en. se e vant

Gk4uo \e

on aura | | :

f(A; As: ….s Au)

CE ee 0 ee) = (— 1) x?PT0 À flaostu, onda) HE [- st fe DE

Fa +(n—-2)an |

dan

Donc, pour que f soit invariant RDRE la substutution considérée, il

faut dus | d of EE F2 HU OT, A Pr PO M PR LR RO dd ooye m0

= 9 dan da;

En particulier, si f ne contient pas a,, ce qui est le cas des réci- | procants purs, On aura

UE | | Don to Ô

ds —— I —— +, (nn —92)An— Lie ? da $0a, ( ) j l da,

(G20."F:\D)) Afin de compléter la théorie, il faut démontrer la réciproque.

. M. Halphen effectue te en trouvant le développement complet de

sa série et en faisant voir que, quand le coefficient de la première pus

sance de & disparait, la même chose aura lieu pour tous les coefficients suivants. ÿ

B. Dans une lettre qu'il m'a écrite le 1% juin 1886, M. Halphen appelle |

INVARIANTS D'HOMOLOGIE Les formes qui se conservent par la substitu-

lp tion —; Z+ Il se sert des letires va :

Ao: A1, ss. An

pour désigner y et ses dérivées successives prises par rapport à x (divisées

par les factorielles qui corr CAORACES aux indices); et supposant qu’elles deviennent

A5; A, +5 An

se HR LAPS à Le par suite de la substitution —; =, il donne, de la manière la plus rapide, Ho 4

deux démonstrations très ingénieuses de la formule

An = (man }a, D PE Rem en

Tex

‘2 ve

EXTRAITS DE LETTRES A J.-J. SYLVESTÉER. 644111) d'où il déduit le théorème que la substitution en question change toute fonction homogène et isobarique f, de degré 1 et de poids w

‘(en do, A: et; An), en k

F ss (er I 0 201 e Pets

| | où 8 est l'opérateur aux dérivées partielles

of HN or QUE a res a de Hi +(n— COTES rte à Î £ 4 20)

Je donne les deux démonstrations dans les termes mêmes de M. Halphen,. ‘en faisant seulement de légers changements dans le libellé des formules là où cela ma paru utile.

Soient

Par une formule connue (Schlômilch, Comoendium, W)

dry 25 L'pht1 dr LI \ dx? = ( 1)" sarl )

et puisque Ÿ — X y, il en résulte

an Y Fr dry dr 17 it | dr En drii a dxr ARE dx? 20 dxXr-1 er (— 1)" ) dx' (æ = mn Far EN) { Si l’on pose d'a Y SDghRE n'A,, La Hl@n:

il vient É n—2 n—2)(n —3 \ (1) An= (or DE MR | An (9 À CPR TE pe ris no + .. Ë Soit : of Of—2(n—2)an PS : k ! TL on aura

0 an=(n—2)an 1, :

@®an=(n—2)(n —3)as >,

Drm 2 9 sr 0556. 5 + , 2 9% +

An=(—i)a ti ant — Gap = ——— 024 +... (* 4 LT (D ME \

Par conséquent, pour une fonction contenant @,, &1, :..,@n, -..,

écrite symboliquement

| D'ailleurs

? " ESF AE

; done pune

vant les