IT. — ÉLIMINATION ENTRE DEUX ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

Soient f et v du second degré; envisageons les trois constantes (ff}= aff fr, (gp)=opr 9, (fr)= fe — fe +fe.

Dans la combinaison (f#)?— (ff )(vx), le terme /’?6"? disparaît; tous les termes qui subsistent contiennent soit f, soit ©. S'il existe donc une valeur de x qui rende nuls à la fois ces deux polynômes, la quantité envisagée sera nulle pour cette valeur de x; étant constante, elle sera toujours nulle. Donc

(fe) —(ff)(se) = 0

est la condition pour que f = 0 et e — 0 aient une racine commune, ou le résultat de l’élimination de x. En exprimant les constantes par les coefficients suivant (2), on obtient

(aoba— 2a1b1+ a by) = 4(aoar — a?) (b5b3— b?).

IT. — CoNDITION POUR QU'UNE ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ AIT UNE RACINE DOUBLE.

Soit f un polynôme du troisième degré

= dti+3ar+3aix + as.

Considérons, en premier lieu, la constante

(3) ASC) = 2 ST 22 aja; = a).

Envisageons le polynôme + ainsi défini, g=92f2— 3 ff".

Il est seulement du second degré, car sa dérivée seconde est une constante

(4) o' = f'f"— 3/17, D'= f'2— CS EN ES A (1 ÿ Introduisons maintenant la constante ( f”v') (5) B=(fe)=f3—53ff"f" +3 ff"? = 22.383(2a$ — 3a ai a+ aza?).

Dans la combinaison B?+ A* le terme /”6 disparaît et tous les termes qui subsistent contiennent l’un des facteurs / ou /'. Suivant donc le même raisonnement qu'au n° ÎI, la constante B?+ A3 est nulle quand / et /” ont une racine commune. Donc la condition pour que le polynôme f ait une racine double s'exprime par l'égalité

Si f contient le facteur (x — a)?, on voit, par l'expression de o, que le polynôme » contient ce même facteur. Donc /a méme condition peut aussi s'exprimer par l’égalité (90) — 0. Ceci conduit à Ja relation

! 2 1 (4 ! put 11 D It B?2 + A5 (29) 3 rie 3 ff XCT: Ce 7 1e CA fi + 3 ff TEE pur )

qui peut aisément être vérifiée. Si l’on met, pour x, la racine de f”, (22) se réduit à deux termes, B et À chacun à un seul terme, et l'identité des deux membres est alors mamifeste. Elle a donc lieu constamment, puisque ces deux membres sont constants.

(!) Généralement, f étant un polynôme du ni"e degré e ?=(n—1)f"— nff"

est seulement du degré (27 — 4), comme on l’établit habituellement par le théorème des fonctions homogènes. On peut aussi le prouver en considérant la dérivée d'ordre (2n — 4), qui a pour expression

(an — 4)!

VX CEE TAN PTT

(ft 2) f(n—2) }

280 OEUVRES DE G.-Il. HALPHEN.

Cette identité donne un calcul rapide pour la quantité

BEEN 9 Le 3 LUI " 1 £U fm 9 FUI:

R — TA = (po) RS TETE ST REC RS PURE OT

= —92?,3t(3aaî— Laiay—4a;a?i+ 64343414 — ai ai).

L'expression de R permet aisément la distinction des deux cas que peut offrir / au point de vue de la réalité des racines. Supposons, pour fixer les idées, à, positif, par suite f” positif.

1 Soit Ro. Si l’on met, pour x, une racine de f, R se réduit à —3/f"?f"?+8f"f". Puisque Ret /” sont positifs, nécessairement J' l’est aussi. Donc / ne peut passer par zéro qu’en croissant, donc f n’a qu'une racine réelle. | |

2° Soit R < 0. Nécessairement À est négatif, et, puisque A—(f'f'), on voit, par le n° 1, que f” a ses racines réelles. Soient a, b les deux racines de f', et a << b. Quand /'— 0, R se réduit à 6ff"3+of?f"?. Puisque R est négatif, f a le signe opposé à celui de f”. Donc / est positive pour x — a, négative pour æ—b. Donc f a trois racines réelles. Donc f a deux racines imaginaires, une racine double, ou trois racines réelles, suivant que R est positif, nul ou négatif.

Les expressions de À et B conduisent aussi à la conséquence (6) TES AJSE3B=67 227, De là résultent la transformée privée du second terme L'3+ SAR 2B = 0

avec l'inconnue f”—6(a,x +a,;), et le caractère de réalité des racines rapporté au signe de la quantité B?-+ A3, comme il est d'usage.

IV. — DÉGOMPOSITION D'UN POLYNOME DU TROISIÈME DEGRÉ EN LA DIFFÉRENCE DE DEUX CUBES.

Les notations sont ici les mêmes qu’au n° II. Considérons le polynôme q) composé ainsi :

V=afe—3e ff off + of

Il est seulement du troisième degré; car f'e et v'f sont tous deux

du quatrième degré, mais le terme en x' disparaît dans la combinaison Ÿ. Le polynôme (d?— 25%) est donc du sixième degré : les deux termes f'6 et ff": f” disparaissant, /? est en facteur. Donc ce polynôme ne diffère de f? que par un coefficient constant. Supposant,

Vi 29

F se réduire à (FN e.3t ff.

C’est à quoi se réduit aussi 9R. Ces deux quantités, étant constantes,

pour æ, une racine de f', on voit

sont donc toujours égales. De là l'identité 4 ÿ— 9Rf? = 29%.

Décomposons le polynôme du second degré o en facteurs linéaires

(n° 1), observons l'égalité (o2) — — KR, et nous aurons (7) 4e" (V2 9R F2) = (o'+ VR)3(o'— VR)3.

Tenons compte de l'expression be — À pour en déduire

"3 Ai B?— f'2R,

Observons enfin que, en général, f n'ayant aucune racine commune avec f, les polynômes f etc, et par suite f et Ÿ sont premiers entre eux, pour conclure de (7) les deux relations ci-après, où À est une constante,