DU TROISIÈME ET DU QUATRIÈME DEGRÉ
Nouvelles Annales de Mathématiques, 3° série, t. 4, 1885, p. 17.
Dans ce petit mémoire on trouvera démontrés, par les moyens les plus élémentaires, des résultats importants que l’on considère d’habitude comme étant réservés à la théorie des covariants. Sur quelques points même ces résultats dépassent un peu ce qui se rencontre dans les meilleurs ouvrages, notamment la décomposition des polynômes du quatrième degré en facteurs linéaires.
Une proposition très simple et, je crois, très curieuse, sert ici de fondement. Je vais l’établir d’abord.
Proposirion. — Soient f et © deux polynômes entiers, d’un même degré n, par rapport à une variable x; la quantité ci-après, composée avec les dérivées de ces polynômes, est une constante
(1) (fo) = fqtn) — f'otr1) + f'QUr—2) a +(— 1)2—1 flr-—1) o' + (— 1)2 ft) o.
Si, en.effet, l’on prend la dérivée de (f#), en observant que f(?+1) et o(+1) sont nulles, on voit tous les termes s’entre-détruire. La dérivée de (fo) est donc nulle, et (fo) est une constante. |
Sur ce sujet, 1l convient de faire quelques observations. D'abord, si l’on veut exprimer la constante ( fe) par les coefficients de f et de», il suffira de supposer x — 0. Soient donc n(n—1)
f = aort+ na;æ!-1 + dan ?+ ,,,. + NAn-1T + Ans
n(n—1 © = boat + nbiz-i+ LE badr-2+ . + nbn 1x + 6.
On trouve immédiatement
(2). —#— (fe) = anbo— nan
+ An-202+...+(—1)taobn.
Il va de soi que l’on peut envisager la constante (f+) pour deux polynômes de degrés différents; en ce cas, n est le degré le plus élevé.
On peut encore prendre deux polynômes identiques entre eux. Si le degré est impair, la constante (ff) se réduit à zéro; car les termes équidistants des extrêmes se détruisent deux à deux. Mais, si le degré est pair, (ff) n’est généralement pas nul.
Voici une des plus-curieuses conséquences de notre proposition. Elle n’a aucun lien avec ce qui va suivre; c’est pourquoi je la joins aux préliminaires.
Soit supposé donné le polynôme f, et considérons comme inconnu le polynôme + le plus général qui satisfasse à la relation (fe) — 0. Il est manifeste qu’on peut composer 9 au moyen de x polynômes particuliers »,, ?:, ..., w, dont chacun vérifie la relation (vx) = 0; on aura p = lipi+ dope +... + UnoDn,
les / désignant des constantes arbitraires. Soit & une racine de f ; si l'on prend 9—(x— a)", l'expression (1) de (f#) contient le facteur (x — a); donc (f+) est nulle en ce cas. Désignant par @, G2, -.., @n les racines de f ; on aura donc, pour l’expression la plus générale de »,
p= L(r— a+ (x — ax) +... + ne — an).
Mais la relation ( fo) — 0 est symétrique en f etw; on a donc cette conséquence : Les lettres a, l, x, désignant des constantes, soit
Lh(z— a+ (x— a+... +lhn(x — an)!
=(T— 4 )(T—%)...(4— An); il existe n constantes À donnant lieu à la relation semblable
A1(æ —a)t+ (dr — m4... + An(r — an)"
=(T—@4)(r — a3)...(æ — an).
Ce théorème curieux, dû à M. Rosanes, ne pouvait être omus 11. Je vais maintenant faire de la proposition ci-dessus une série d’applications.
