LOTO A 2 "2 A
qui, d’après l'hypothèse & — 0, se transforme en 1 £ SE ve of"
D'ailleurs, on a identiquement GfN= sf —- ps f ee 0; par conséquent, pour x racine de w, on a fees = Les deux identités (8) prennent donc définitivement la forme 2(B+F"VR)(v+3fVR) =—(?—VR}, 2(B— FUVR) (vu — 3 FR) =— (+ VR}':
d’où l’on tire
y—3fVR =: A ni ee
pes Re PVR (QE Rp,
(9) 1A3VRF=(B—/f'VR) (3 — ie (B+ f'VR) (e'+ VR}. Ainsi CS ODIONE la décomposition de / en la différence des cubes de deux polynômes du premier degré en x.
On remarquera, en passant, que Ÿ est, à un facteur constant près, la somme des deux mêmes cubes.
— DÉCOMPOSITION D'UN POLYNOME DU TROISIÈME DEGRÉ EN FACTEURS LINÉAIRES.
Les notations étant les mêmes qu'aux n° II et IV, posons
(10) Bef"VR=e, BR = be.
Il en résulte 21B = BTS IR DA
La quantité &* à trois racines cubiques &, x’, «”. À chacune d’elles
adjoignons, dans le même ordre, les racines cubiques 8, 8/, 8" de B?, par les conditions |
DEAR Dr de Mess A:
Dénotant par IT le symbole du produit de trois facteurs analogues, obtenus en remplaçant «, $ successivement par &/, f’ et x”, 8”, écrivons la formule (9) ainsi :
DAS VRf=— [at + VR) —8(e— a =-[fle-orc-0 2 sf" — |:
Mettant en dehors (4 — $) dans chaque facteur, et observant que le produit (x — 8) (œ&'— f") («”— 8") est a? — 83, c’est-à-dire 2 f’VR, nous avons cette nouvelle forme
ee EE + +ÉGEE |.
6 is = — f" > f 77 is
D’après (10), (4), (3) et (5),
Substituant cette expression dans le produit et mettant aussi — À au lieu de x, nous avons enfin
eff = [+20
Telle est finalement la formule de décomposition du polynôme f en facteurs linéaires. Elle se résume ainsi : Soit ax une des racines cubiques de B+f"VR, et soit B celle des racines cubiques de B — f" VR, dont le produit par « FAURE — À ; soit w une racine cubique imaginaire de l’unité, on a
(11) 6f"2f=(f+a+8)(f" + ma +w3)(f"+uwta + wh).
En égalant à zéro chacun des trois facteurs successivement, on a les trois racines de Péquation / — o sous la forme de Cardan. La formule (11) peut, a posteriori, être vérifiée aisément. Son
second membre est identiquement égal à J'I+ 084 5 ab f.
D’après les expressions de «, B, ceci n’est autre que f'i+2B+3AÎf" ou CRU,
comme on l’a trouvé déjà (6).
VI. — CONDITION POUR QU'UNE ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ AIT UNE RACINE DOUBLE.
Soit / un polynôme du quatrième degré = ar + Aux +6a x? + 4 a3x + a.
Formons d’abord la combinaison constante L= (ff) = 2ff— 92 ff" +R = AS (todi A d1d43 + Sa?), puis le polynôme du quatrième degré (12) ETS dont les dérivées sont
Po ANS pie Une g" — 2 f"f"— SAGE IV 2 2. f"2 Les me RS ff").
Composons enfin avec f et v la constante (vf)
(13) J'EN NS Tn P RO Er CU TOUR
= 97,33(a$ ay — a, 4349 — 2434041 + a, aÿ + Aa).
Si l’on suppose, en même temps, nuls f et f', Î se réduit à /”?, J à 2f"% et J?— 41% à zéro. Donc, suivant un raisonnement déjà employé, la condition pour l'existence d’une racine double dans l'équation f = 0 est J2— 48 — 0.
VII. — CONDITIONS POUR QU'UN POLYNOME DU QUATRIÈME DEGRÉ SOIT UN CARRÉ.
Si / contient un facteur linéaire au carré, ce facteur appartient à f! et se trouve au carré dans ® (12). Si donc / est un carré, les deux
polynômes w et f ne diffèrent que par un facteur constant. Réciproquement tout facteur linéaire commun à f et © appartient à f’ et entre, par suite, dans f avec l’exposant 2 au moins. Donc la condition nécessaire et suffisante pour que f soit un carré consiste en ce que f eto ne diffèrent que par un facteur constant.
Désignant par g un polynôme du second degré, supposons f — £?; nous aurons
RON TT REG DE Mare p= 48 (g?—288 )=—4f(88).
En prenant les dérivées suivantes de f, et formant [, nous trouvons
aussi PSC En Do Ars )?.
De là deux expressions de la constante (22); dans la première nous remplacerons le rapport constant des polynômes ©, f, par celui de leurs dérivées quatrièmes :
; 107 Love STE = SVT.
Il faut observer que V1 est ici entièrement déterminée. D’après les égalités OR VE AR DT RE D NS ED PEL on conclut
"+a(ag) =688":= 8 V6f",
# et de là résulte cette expression de la racine carrée du polynome f supposé carré parfait :
wo st) ml SE]
Cette forme algébrique de ÿ/f nous sera utile plus loin; elle se vérifie bien aisément a posteriori si l’on remplace ©" par son expression en fonction des coefficients de f. On trouve ainsi
vf= 7e ( €)
et le carré de ce polynôme a, pour ses trois premiers termes,
apr + 44,23 + 6a;xr°.
VIIL. — DÉCOMPOSITION D'UN POLYNOME DU QUATRIÈME DEGRÉ EN LA DIFFÉRENCE DE DEUX CARRÉS.
Conservant les mêmes notations qu’au n° VI, introduisons encore
le polynôme Ÿ, du sixième degré, = ef SE = SSP SSI".
La combinaison 34? — <* fournit un polynôme du douzième degré, qui contient le facteur f?. Faisant 3 42 — 3 — 44 S°, on aura un nouveau polynôme y du quatrième degré
x 2e 18.8 f"— 9. f 2? f"2— 36 ff! f" "+ 12. f2f"2+ 16 ff"3.
En y négligeantles termes contenant f, on voit de suite que y +31+ contient le facteur f et ne diffère ainsi de f que par un coefficient constant. Pour connaître ce facteur, on peut donner à x une valeur particulière, celle d’une racine de f”, par exemple. Le facteur se réduit ainsi à 18 f2f"—+12/ff"?; c'est à quoi se réduit l’expression (13) de 23 pour f'— 0. Donc
x +319 =2Jf et, en conséquence,
(15) 342= p3— 121 f20 + 8J fs.
Considérons le polynôme du troisième degré
obtenu en mettant £, au lieu‘de ©, dans le second membre de CHA:
décomposons-le en facteurs linéaires d’après le HE (11) du n° V.
Si nous posons
(16) a = 4(J EVD), Mb (I =D),
et que nous choisissions la racine cubique de b? par la condition q q P
(17) Fab Ut
la décomposition de F donne pour résultat F=(t+<a+b}(t+wa+ob)(E+ow?a+wb).
En conséquence, la formule (15) donne celle-ci (8) 3 = fe +(a+0)fIlp+(oa+owd)/fI[e +(wia+wb)f].
Les polynômes f et © n'ayant aucun facteur commun en général, c’est-à-dire si / n'a pas de racine double, on voit que chacun des trois polynômes du second membre de (18) est un carré. Désignant par £, h deux polynômes du second degré, on aura donc
G=p+(wa+wb)f—= g?, H=p+{(w'a+wb)f—h?, (19) (w—w)(a—b)f = g— 1h.
Par cette dernière formule, f est réduit à la différence de deux carrés. Écrire explicitement les expressions de g, h, c’est ce qu’il reste à faire, et c’est à quoi va servir la formule (14) obtenue au n° VIT, Pour appliquer cette formule, il nous faut calculer deux constantes nouvelles (2”%") et (#"f"). Le calcul s’abrège si l’on suppose f”= 0,
ce qui est permis, et ce que nous rappellerons en employant le signe =, au lieu du signe d'égalité,
(o"w") = DOG Ge AfY (9 ff + Ge) + Af"2(2 ff — 2 ff"), (o"w) get 4J + 21œ1, (®”f") — DA U— UF" + EN fl=— 2 f (2. — D FA) COS RER R/N
En général, si p, g sant deux polynômes du second degré, et À, à des constantes, on a
(20) (Âp+ug, Àp+ug)= (pp) +2kp(pq)+ (gg).
-Appliquons cette formule en supposant p—=#", g=f", À=1; employons les expressions trouvées pour (9), (w”f”"), et aussi @"= — 2(/f"f"), et nous obtiendrons
(GG) = LCL pt) g— (3 + BP",
la constante 1 devant être remplacée par
u = wa + w?b, n
On a, d’après (16) et (17),
{I pt=—(w°a?+ ab + wb?), 8(J+ ul) = a+ b+<oab(wa +w?b) = (w?a?+ ab + wb?)(w a+ w?2b), (G"G')=— = (wta?+ ab + nb?) [es + (wa +u?b)f"], CG | ë (21) FT Rare ant Re
En échangeant w et w?, on a la formule analogue pour H, et finalement, d’après (14), | g'+ (wa + ob) f— =(wtar+ ab +wb?) D D Vé[e + (wa + w?b)f" g'+(w?a NO PURE = (va + ab + w?b?) h'= ES Te ER Re tot EN
| Véfg "+ (wa +wb)f"\] Ainsi sont exprimés explicitement les deux polynômes du second
degré, dont la différence des carrés reproduit f, à un facteur constant près, suivant la formule (19).
IX. — DÉCOMPOSITION D'UN POLYNOME DU QUATRIÈME DEGRÉ EN FACTEURS LINÉAIRES.
Pour décomposer f en facteurs linéaires, 1l n’y a qu'à décomposer maintenant les polynômes du second degré (g — h)et(g + h). En vue de ce calcul, cherchons l'expression de la constante (vv).
Supposant, comme précédemment, f”— 0, nous avons (9®) = 2 pui — 29 @" + pl FBI URSS 32. ff ff + 16. F2 f"2, B= GS SI Rff JS +ASfS, (g?)= 48.
Ecrivant, pour abréger,
G=p+uf, H=sç+nÿf, nous concluons
(GH)= (pp) +(u+ nm) (of) + auf) = 4P+(p+ UNI + pur.
Remplaçant encore les diverses quantités par leurs expressions en
a, b. savoir :
Al" 4b) 8J = a+ bi, U = wa+ 6206, AE wa +wb,.
nous obtenons \ Fa (GH) = Cote? ab + wb?)(wa?+ ab + w?b?),
D'après le n° VII et la formule (21), on a
x I Foi ES [ | à Learn et Grop0e ou) De même (Ah) = — OV ab + w?2b?),
On peut donc écrire (GH)=—2(gg)(hh).
En général, pour deux polynômes quelconques du second degré g, h, on à identiquement, comme on le reconnaît par un calcul direct, (g?h?) = 6(gh)}—2($g8g)(hh).
Comparée à la dernière égalité, celle-ci montre que, pour les poly-
nômes particuliers envisagés ici, on a (gh) 10 Par conséquent, la relation (20) donne simplement
(g—h,g—h)=(3#h2+h)= (ge) +(hh)= za 201% et, d’après le n° Ï, en supposant e = +1, 2(g"+—eh")(g+eh) = |g+<eh + = (a — b)| a+ e h'— = (a — 2] k
Ainsi les quatre facteurs linéaires, dont le produit fait f, à une constante près, sont contenus dans la forme
g' EME (a—b),
où les deux signes ambigus doivent être choisis d’une manière indépendante. Il suffit d'envisager le coefficient de x‘ dans le produit pour déterminer la constante, et l’on a cette formule finale 3) GE TI PET +us)f"
Se ®"+(w?a+wb)f" | Ye "+ (wa +wb)f"]
& Lab].
