X. — DISCUSSION DE L'ÉQUATION DE QUATRIÈME DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS

Supposons réels les coefficients de f, et examinons les facteurs linéaires de ce polynôme pour reconnaître la nature réelle ou imagiginaire des racines.

Soient g"+(wa + wb)f"

V6[e" + (wa +uw?b)f"] p+(w?a+wb)f" “

Supposons d'abord a et b des quantités réelles. Alors u est imaginaire pour x réel, et l’une des déterminations de # est conjuguée de u.

Soit # cette détermination. Alors uw — 6 + = (a—b) est le produit

de i par une quantité réelle, et deux facteurs donnent des racines r S L ; réelles, tandis que les deux facteurs u + P + E (a — b) donnent des

racines imaginaires. D’après (16), on a cette conclusion : SE D —J?— 415 est positif, l'équation f—0 a deux racines réelles et deux imaginaires.

Dans le cas opposé, celui où D est négatif, a et b, wa et w?b, wa el w à sont trois couples d’imaginaires conjuguées, en sorte que a + b, Wa + W?b, w?a + wb sont des quantités réelles, ainsi que ë(a — b) et les trois constantes |

Co=gN+(a +b)f", G=p"+(wa +w?b) /f", Co = QN + (w?a + wb) fi.

D'après (18), le produit de ces trois constantes est positif; c’est, à un facteur numérique près, le carré du coefficient de zf dans Ÿ. Ces constantes sont donc toutes trois positives, ou bien deux négatives et une positive. Dans le prenuer cas, chaque facteur linéaire de (23) donne une racine réelle; dans le second, une racine imaginaire. La . distinction des deux cas se fait par le moyen des deux fonctions symétriques

Co + Cr + Co 39,

CoC1 + C1C9 + C2 Co — 3[(gY}? — SICPOEE

et l’on a cette conclusion :

SrD — J?— 41% est négatif, les quatre racines de f sont réelles

quand les deux quantités HS AL TE RIT RES

sont positives; les quatre racines sont imaginaires dans les autres cas.

Ce dernier criterium peut être présenté sous une forme différente, ‘qui résulte des deux égalités

SL) AIS} ] — SC) [Lei 2 Ya A ACID PIC) =ACR)] = Aer In) (ent LAN) = C4) RE

La première, conséquence de (15), montre que (0")?— 4[(f")? est positif si ©" et [2° — Jf" sont positifs. La seconde, à cause de la supposiuion J?— 41%< 0, montre que, si (0)? — sI(f")2 est IREUE Fo Jf" et [o*+Jf" ont un même signe. Ce signe est + s1 ®" el [ sont positifs. Donc les deux inégalités

(24) > DV 0, [ow—Jf\YS 0 sont entièrement équivalentes à PO RNR D) EEE 0

dans le cas supposé J? — 415 < o.

C’est aux inégalités (24) que conduirait l'application directe du théorème de Sturm. |

Rappelons, après les expressions de 1, J (n° VE), celle de #", savoir

DU 21,32(af — ao @2), d’après laquelle on a *

(gp)? — 41 F2] — 12(af — AÿAs )? — aÿ(&ody, — 4 &:i d3 + D jé