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Nous résoudrons, par conséquent, le problème en prenant

X = ac — b?

sans autre condition, puis éliminant y entre les équations

A Y?+20y + ci =0, ce qui se fait par la formule élémentaire (a) (ac —2bbi+ca)=/1(b2— ac)(b?— ac).

Voici donc l'équation d'Euler intégrée : ayant pris trois polynômes du second degré a, b, c qui, d'ailleurs quelconques, satis-

font à la condition | Ne 0 b?,

la formule (a) donne l'intégrale.

Mais ici se présente une certaine difficulté, une obscurité pour le moins. Le choix de «a, b, c comporte des indéterminées; on peut prendre, par exemple, D arbitrairement; car b?+X, polynôme du quatrième degré, peut être toujours décomposé en deux facteurs quadratiques a, ©. I semble donc y avoir trop d’indétermination : on doit exiger que l'unique constante arbitraire. qui seule peut exister vraiment, soit mise en évidence. C’est à quoi î on parvient en obser-

vant que deux polynômes doublement quadratiques et symétriques

P(x,æ1) .et D'(æ, ri),

qui coïncident entre eux pour 7 =%1,

différent seulement par un terme ÀA(x — x,)?. Il suffit de les écrire explicitement pour reconnaître l'exactitude de cette proposition.

Le polynôme ac; — 2bb,+ ca,, qui estau premier membre de (a), devient, pour æ = x,, 2X ; de plus, il est doublement quadratique et symétrique. Prenons donc tout autre polynôme P, doublement quadratique et symétrique, devenant aussi 2X pour æ—=#x,, et nous serons assuré que ce premier membre est égal à P + À(x — x, )?. L'intégrale (a) peut donc s’écrire ainsi

[P+A(x— mi} P—=41XX:.

Suivant les diverses formes que nous saurons imaginer pour P, nous aurons diverses formes de l’intégrale, où figurera toujours une constante arbitraire À.

. Par exemple, prenons x décomposé en deux facteurs quadratiques

X —AC et posons P = AC, + CA,. Nous avons l'intégrale l'ACHE CA GE NITe TR eT DAC.

d’où nous turons AC, + CAi+)(æ—x) = 2 ACA:Cx,

AC CA V É V Lu V— À = const.

Le TL] forme élégante, qu'il faut, je crois, attribuer à Laguerre. Comme second exemple, prenons pour P le double de la seconde polaire de X ; soit

I Le 9? X 2 X 2X .

me i— + IT) ——— ras =:

12, | . 0x? ; dx dx" a dx'? J

cette polaire, x!

étant une variable mise dans X pour rendre ce polynôme homogène.

Ce choix de P fournit un polynôme doublement quadratique el

symétrique, se réduisant à 2X pour æ= #,, et l’on a l'intégrale sous

SUR L'ÉQUATION D'EULER. 377 la forme [2f + A(x—m)l=4XX:, ou bien . ES F— VX Xi = const.