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forme connue aussi, mais dont je ne peux nommer, avec assurance, le premier auteur, évitant de trancher uné épineuse question de priorité.

On pourrait poursuivre; car, remarquez-le bien, l'intégrale (a) n’est pas sous la forme demandée; son premier membre n’est pas doublement quadratique. Pour le rendre tel, il faut développer le carré et diviser ensuite par (x — x,)?. C’est ainsi qu'on obtient, le plus facilement, la forme élégante

I À h+pf + (Sa-e)(e-a 0,

où À désigne la seconde polaire du hessien de X, et C, l'invariant quadratique :

X = ar + far + 64%? + 43% + à,

Ce Ar — 4 di A3 + ose

Comme vous savez, cette forme dernière de l'intégrale a été donnée d’abord par M. Cayley. Notre ami commun Laguerre l'avait, de son côté, retrouvée par des calculs pleins d'intérêt.

Versailles, 13 février 1888.

mn” (Q) ————

SUR LES

Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 106, 1888, p. 1263.

Sous ce nom de pseudo-elliptique, très heureusement choisi par 11 à TN RES A £ 32 M. Günther (!), on désigne une intégrale qui, tout en ayant l’apparence d’une intégrale elliptique, s'exprime cependant par les fonctions algébriques et logarithmiques. Telle est, par exemple, celle-ci :

4 dx au ee 3Væxi+i Se : ————— — RSR TE L—2 fr (& +i)æ 3Vai+t

Ces intégrales ont exercé, maintes fois, la sagacité des géomètres, et Pon connaît maintenant quelques artifices ingénieux, qui permettent d’en former des exemples divers. Pour l'intégrale que je viens de citer, M. Goursat (?) a, par exemple, fait connaître un raisonnement d’où l’on conclut, & priori, comme le calcul permet de le vérifier, que la forme elliptique disparaît si l’on prend pour variable (x +1: x — 2). Toutefois, les tentatives qu'on a faites jusqu’à présent n'ont embrassé que des cas particuliers. Un seul mémoire aborde et résout, à ce sujet, un problème général. Il est d’Abel (3) : dans l'énoncé du problème, comme dans la solution, sinon dans les calculs, on reconnaît et l’on admire le génie de l’auteur : Trouver toutes les

différentielles de la forme Ldx : VX, où L et X sont des fonctions ENTIÈRES de æ, et dont les intégrales puissent s'exprimer par

. 0 E Æ, N r - Q une fonction de la forme log a P étant rationnelle, tel est