SUR L'APPROXIMATION D'UNE FRACTION CONTINUE ALGÉBRIQUE

p. 1263) (!). On peut donner à £ et à y diverses valeurs particulières qui changent quelque peu l’aspect de la fraction ou de f. Voici

les plus notables : en pr = %, on a un développement de WF(x), où le premier quotient est du second degré. En prenant y infini, on change f(x) en VE (x) — x? V&s, & étant le coefficient de æ‘ dans F(x). En prenant Ë infini, on doit remplacer x — & par l’unité.

L'étude complète de la convergence, pour cette fraction continue, présente des difficultés que je n'ai pu vaincre encore. En supposant æ et y donnés et considérant £ comme une variable complexe, représentée par un point d’un plan, je ne peux énoncer qu'un seul résultat : dans toüte portion du plan, st petite soit-elle, il y a une infinité de points € pour lesquels la fraction continue converge et une infinité d'autres pour LCA) elle diverge.

Mais, en limitant la variable £ de manière que le point £ reste sur une ligne déterminée, et, en considérant un cas particulier pour F(x),

J'ai obtenu des résultats très précis. |

À l'égard de F(x), voici l’hypothèse que je vais faire : les points représentatifs des racines sont supposés situés sur un cercle, que j'appellerai cercle fondamental. En particulier, les racines peuvent être réelles (le cercle se change alors en ligne droite); elles peuvent être imaginaires et, deux à deux, conjuguées. Pour la variable £, je la supposerai représentée par un point quelconque du cercle fondamental;'elle sera réelle, si les racines sont réelles. ;

La circonférence du cercle fondamental est partagée par les quatre racines en quatre arcs consécutifs. Les deux ares, contigus à celui sur lequel se trouve le point £, seront considérés comme des RENE interdites au point x.

La fraction continue converge, quel que soit x, et représente, dans tout le plan, la fonction f(x), que les coupures rendent uniforme. Sur les coupures, la fraction continue est divergente.

Jusqu'à présent, da quantité y n’a joué aucun rôle. En examinant la nature de la convergence, on va voir apparaître celle quantité : la fraction continue (considérée comme une fonction de x) converge UNIFORMÉMENT dans tout le plan, excepté sur une ligne, que j'appellera ligne de convergence non uniforme.

(:)[ Œuvres d'Halphen, t: IV, p. 378.]

Disons d’abord quelle est cette ligne. C’est une courbe algébrique. Soit U la séconde polaire de F(x), composée avec y, et H(x) le hessien :

120 (y LE (x) 6 (y x) EN) io E(æ), 48H(æx)= 4F(x)F'(x)—3F?(x).

Désignons par 3 une variable représentée par un point quelconque du cercle fondamental. L’équation U+VF(x)F(y) , H(z)

(2) DV ET}? dé F(z)

où l’on suppose, pour y, une quantité complexe fixe et, pour x, une quantité complexe variable, définit le point x au moyen du paramètre 3. Par la variation de ce paramètre, le point x décrit un lieu : c'est la courbe dont il s’agit. En outre, sur deux arcs non contigus, le rapport H(:):F(2) a les mêmes valeurs, de sorte que la courbe se partage en deux branches, dont l’une correspond aux coupures, l’autre à l’arc où se trouve €. Cette dernière branche, seule, constitue la ligne de convergence non uniforme. Dans le cas particulier où y est sur le cercle fondamental, mais non sur les coupures, la ligne de convergence non uniforme se confond avec l'arc où se trouve y. Au surplus, on verra, tout à l'heure, que cette ligne est connue par le calcul même de la fraction continue. Ce qu'on doit surtout remarquer, cest qu'elle est indépendante de £, tant, du moins, que le