DIVERSES

ai ñ Er abs PS us Mois CAR ar 71 dl CF, dat dt DCE A 4 ha Res, à Ke PAR “ … Mg nd L V L e .

Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 10?, 1886, p. 1267, et, à part, Gauthier-Villars, 1886, in-8°, 12 pages.

M. Bouquet naquit à Morteau, en Franche-Comté, le > septembre 1819. Remarqué, de bonne heure, pour sa vive intelligence, il quitta l’école du village, et de brillantes études le conduisirent bientôt à l'École Normale supérieure. Tour à tour professeur de lycée et de faculté, à Marseille et à Lyon, puis à Paris, il à laissé dans l’enseignement des traces profondes, dans le cœur de ses élèves des souvenirs touchants. On ne saurait lire sans émotion la notice où l’un de ces élèves, M. Jules Tannery (!}, a dépeint le dévouement, la sénérosité, le zèle infatigable, le talent élevé du professeur. L’Académie doit surtout conserver le souvenir du savant. Quoique M. Bouquet « aimât l’enseignement autant que la science » (2), ne parlons 1c1 que de ses écrits scientifiques.

Après une excellente thèse sur le calcul des variations (n° 4), 1l composa, en 1940, des Remarques sur les systèmes de droites dans l’espace (n° 2); cette œuvre d’un débutant est devenue classique. La même année, sous un titre modeste, /Vote sur les surfaces orthogonales (n° 3), il publia un nouveau travail, qui fut l’origine de recherches importantes, poursuivies successivement par MM. Bonnet, Darboux, Maurice Lévy, Cayley.

C’est maintenant un fait bien établi que la découverte générale des systèmes de coordonnées curvilignes orthogonales dépend de Pintégration d’une équation aux dérivées partielles du troisième ordre; M. Bonnet, puis M. Darboux l'ont prouvé en suivant des voies bien

(‘) Mémorial de l'Association des anciens élèves de l’École Normale. (?) Notice de M. J. Tannery.

différentes (1). Il s’en faut de bien peu que M. Bouquet ne parvienne, du premier coup, vingt ans plus tôt, à ce beau théorème: mais, uniquement préoccupé de corriger l’erreur d’un illustre géomètre (?), 1l se contente d’un cas particulier et semble méconnaître la force de sa propre analyse, si ingénieuse pourtant et si bien appropriée au sujet. L’allure trop réservée, presque timide, de cette simple note à pu, un instant, dissimuler sa grande valeur : ainsi, sans doute, s'explique l'étrange méprise d’un mathématicien célèbre, publiant, quelques mois après, un mémoire (*) sur le même sujet et provoquant une comparaison qui n'est pas à son avantage. Parmi tant d'œuvres si propres à assurer sa renommée, M. Serret a dû regretter de ne pouvoir supprimer ces quelques pages hasardeuses. Ne le regrettons pas trop : si le passé nous dérobait ses faiblesses, nous apprécierions moins bien ses mérites, tant la vérité mathématique, une fois connue, paraît aisée ét naturelle!

onement d’au-

jourd'hui, rien de plus clair et de plus simple que le théorème de

En voici une preuve éclatante. Estal, dans l’ensei

Cauchy sur la série de Taylor? Si les sources disparaissaient, pourrait-On imaginer que, dans cette même année 1846, quatorze ans après avoir trouvé ce théorème, l’un des plus beaux de toute l'analyse, Cauchy était encore incapable de l’énoncer nettement, et soutenait contre M. Lamarle une interminable polémique, une misérable querelle de mots (*)?

M. Bouquet aimait la précision; il résolut de la mettre dans la théorie de Cauchy, et cette triste polémique pourrait bién être l'origine des travaux les plus considérables de notre auteur. Ces travaux, il ne les fit pas seul. À Lyon, où il enseignait alors, il retrouva un ancien camarade de l’École Normale. qui devint, pour la vie, son ami et son collaborateur. Dès lors, les noms de Briot et Bouquet sont inséparables.

En 1853, les deux amis publient leur premier mémoire commun (n% 9, 10). Ils ont su élucider le théorème en liuge, ils avancent har-

(1) Nous avons tenu compte ici d'une modification de texte, introduite par Halphen dans le tirage à part de cette notice. (Note des éditeurs.)

(©) M. Chasles.

(*) Mémoire sur les surfaces orthogonales, par M. J.-A. Serret (Journal de Mathématiques, 1° série, t. XII, 1847, p. 241).

(*\ Dans les tomes XI et XII du Journal de Mathématiques.

diment sur la terre nouvelle découverte par Cauchy. Dans ce début, la hardiesse est presque téméraire ; on tremble de les voir toucher si tôt à tant de points délicats. Mais n’ayons crainte : ils sauront plus tard faire disparaître quelques légères taches et, quand viendra l'œuvre définitive, on n'aura plus qu'à admirer l’enchainement et la clarté d'une analyse irréprochable. De ce mémoire on ne parle plus guère; mais on l'enseigne tout entier.

Poursuivant leurs études sur Cauchy, MM. Briot et Bouquet voulurent perfectionner aussi l'analyse si neuve, par laquelle Pillustre géomètre avait, pour la première fois, démontré, dans les équations différentielles, l'existence de l’intégrale. Ge but atteint, ils ne s’y bornèrent pas et, en examinant « les diverses particularités que peut présenter l’équation » (!), ils ont ouvert la voie aux recherches d’aujourd’hui, celles qui concernent les points singuliers des équations différentielles. Aussi les géomèêtres reconnaissent-ils, dans leur second mémoire (n% 11 et:12), avec toutes les qualités qui brillaient dans le premier, une qualité nouvelle, la plus prisée sans doute, l'originalité, la véritable invention.

En écrivant, sur ce mémoire, un rapport approbatf, Cauchy ne semble pas avoir pressent l'avenir réservé à ce genre de recherches. « MM. Briot et Bouquet », dit ce rapport, « ont ajouté des développements utiles et des perfectionnements nouveaux, dignes de remarque, à la théorie s1 importante de l'intégration par séries des équatuons différentielles. » Nous emploierions maintenant d’autres termes; nous dirions qu'ils étudient la nature de la fonction en un point singulier : ce n’est pas un simple changement dans le Jangage, mais dans les idées. Ce changement, MM. Briot et Bouquet le concevaient parfaitement ; 1ls savaient fort bien que l'étude des points singuliers peut conduire à la connaissance de l’intégrale : ils le montrèrent dans un troisième mémoire (n° 13, 14), où ils se proposaient de chercher, par ce moyen, dans quel cas l’intégrale est une fonction monodrome. Cauchy comprit enfin ce qui lui avait d’abord échappé. « C’est », dit son nouveau rapport, « un véritable progrès dans la haute analyse et le calcul infinitésimal, que d’être parvenu, comme l'ont fait MM. Briot et Bouquet, à intégrer sous forme finie un grand nombre d'équations du genre de celles que nous venons de men-

(1) Notice de M. Bouquet; 1870.

tionner. » Il s’agit d'équations différentielles algébriques. où la variable indépendante ne figure pas explicitement, et le problème, en somme, est celui de l’inversion des intégrales elliptiques. Le choix de l’exemple, auquel ils appliquent leur méthode originale, diminue malheureusement la valeur définitive de ce troisième mémoire, bien propre toutefois à éclairer le précédent, et que nous devons regarder comme une pièce historique d’un haut intérêt.

Le désir de réunir et de développer encore ces belles recherches était bien naturel ; mais, pour en accroître l'importance, il fallait en faire quelque grande application.

Depuis quelques années, Les leçons orales de M. Liouville, les travaux de M. Hermite, certains écrits de Cauchy lui-même et un mémoire célèbre de Riemann, en jetant un jour inattendu sur les fonctions elliptiques, les montraient liées étroitement aux doctrines nouvelles. Ces liens aujourd’hui nous sont familiers; parfois même on se surprend à douter, en dépit de l’histoire, qu'ils n’aient pas existé toujours. Quand, par exemple, M. Hermite imagine d'intégrer le long d'un parallélogramme des périodes, ne semble-t-il pas que, des deux théories, celle des intégrales imaginaires, celle des fonctions doublement périodiques, l’une a été créée pour l’autre? Il n’en est rien cependant : nées séparément, grandies, toutes deux, par leur union, ces deux théories sont aussi, comme MM. Briot et Bouquet, deux collaborateurs qui s'entendent à merveille.

Un Traité des fonctions elliptiques, fondé sur la théorie des imaginaires, c'était, on le voit, l’œuvre qui s’imposait et dont le succès consacra la réputation de MM. Briot et Bouquet. Il parut en 1859; l'édition fut rapidement épuisée. La seconde édition, de 1875, est vraiment une œuvre nouvelle, dont « la première », a-t-on dit avec justesse, « peu, tout au plus, être considérée comme un abrégé» (!), œuvre considérable, qui a rendu aux géomètres d’inappréciables services. C’est, avant tout, un monument élevé à la gloire de Cauchy. « Dans quelques ouvrages », dit avec discrétion la préface, « on ne rend pas à Cauchy la justice qui lui est due ». Ne soyons pas moins discrets et contentons-nous de rendre hommage aux sentiments élevés qui inspirent les auteurs. Tout, dans leur œuvre, est calculé pour établir la puissance des nouvelles théories, auxquelles, dans mainte

(1) Darboux, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, t. VI, p. 65.

at Né ait a nos ren LME RUE ù ï 0 TR un REA É: 14 el RL IN Cr À à A LE. 2 EU * } 2 au Li - : VA UNE ;

occasion, ils apportent, sans presque le dire, de notables perfectionnements.

Ces procédés de composition, en forme de thèse, ont un défaut: ils sacrifient la vérité historique. En réalité, c’est avec les ressources antérieures de l’analyse, et sans Cauchy, que les fonctions elliptiques ont été si merveilleusement créées ; et le lecteur ne l’apprend pas dans le livre de MM. Briot et Bouquet. Mais ce n’est pas seulement comme Traité des fonctions elliptiques qu'il faut juger un tel ouvrage. A ce point de vue déjà, étant unique dans notre langue, il fut éminemment utile. C’est comme Traité de la théorie des fonctions qu’il prit dès son apparition, et qu'il conserve aujourd’hui, une importance exceptionnelle.

Une suite naturelle, annoncée même par le dernier livre, était attendue et vivement désirée : nos désirs ne furent pas déçus, et le Traité des fonctions abéliennes vint bientôt répondre à notre attente; mais c’est M. Briot qui le fit seul. Le collaborateur fidèle n’en est pas absent toutefois, et la seconde partie de cet ouvrage débute par la reproduction d’un mémoire de M. Bouquet INDE

À côté d’une œuvre si importante, l’histoire des mathématiques enregistrera encore, sous le nom de MM. Briot et Bouquet, des ouvrages élémentaires qui ont exercé une grande influence sur l’enseignement; sous le nom de M. Bouquet seul, plusieurs mémoires sur la théorie géométrique de la réfraction (n° #), la courbure des surfaces (n° 5), les intégrales ultra-elliptiques (n° 6) et la cinématique (n° 8), écrits secondaires, mais où se remarquent toujours deux qualités essentielles, la clarté et la sobriété de la pensée et du style.

Élu, le 19 avril 1855, dans la Section de géométrie, M. Bouquet est mort le 9 septembre 1889, léguant à l’histoire mathématique de notre siècle, qui compte tant de Rte œuvres, tant de noms illustres, des œuvres et un nom qu’elle n’oubliera pas.