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si PE E DCRETA

On voit que l'élimination de À, B, C, D conduira à deux relations entre r, 8, {, 9, 5, 7; ce seront les relations de M. Mannheim ("). On les aura facilement comme il suit : J'ai |

s C RO STE

Eve" Œ R3 RSA

Divisant membre à membre avec (31), j'ai

t(o2— p7) . RT 1

ST PP REUR Are SL Les deux relations sont donc

(A— L)(o2— pr)t = s, (L—A)(s2— rt) = st.

Siinversement on veut exprimer À, B, GC, D par les dérivées du second ordre de la développée, on pourra ne se servir que de s, 4, 5,7;/ et o étant donnés par les équations (34), on aura ù

ou avec les L et À,

; I JS: AE ES I 3 Are Re ps RTE 7 fi, T3 : NES Her” Ponte

Les valeurs de B et C peuvent s’écrire autrement. En appelant

(1) [ Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 79, 1874, p. 1328.]

SUR LA THÉORIE DES SURFACES. 509 r',r' les rayons principaux en metospsenu,ona

A RE ; OT — 0? ) à li Fa P1 P2 el, par suite, > (L— A}? = (L —* A }?

B te tn a To (> = — ——— trire AL TP162L2A

Pour une surface du second degré, on a (p. 490)

ei i AS D=srB=3;B.

Donc ER NT TEA} TROP re nai li ou

Vi 72a— — 3(L — ere et semblablement À

(37) pipa=—3(L— A) ct, par suite, (38) l'ile PiPa= 9(L—A)!,

relation remarquable qui, ne contenant plus L et À, mais seulement (L — À), caractérise avec (34) les développées des surfaces du second degré.

Pour une surface dont les rayons principaux sont liés par une rela-

tion, on à

ÉD EC =; donc (39) rile Pige=(L— A),

équation qui caractérise les développées de ces surfaces. En particulier, pour les surfaces L — À — const., r,r20,02 est constant.

Il faudrait se garder d'appliquer ces équations si À ou D est nul; car alors + ou £ est infini, et la développée a un point singulier en m ou u. Ceci montre que, les équations (38) et (39) étant imcompatbles, on ne peut avoir une surface du second degré dont les rayons soient liés par une relation que si elle est de révolution, ou si L ou A est infini, c’est-à-dire si elle est développable.

Les valeurs de A et D dans (35 ) signifient que les développées des

sections principales sont osculatrices aux sections de la développée faites par leurs plans. Les valeurs de B et C sont également susceptibles d’une interprétation géométrique simple, que nous allons.

bientôt rencontrer.

XII. Je m'occupe maintenant à chercher les expressions des dérivées du troisième ordre de la développée. Pour les trouver, je pars des équations (5). Il suffit d’y accentuer les lettres et de prendre les à en suivant les formules des n° II et IET.

Je désignerai par &, 8, y, à les dérivées du troisième ordre de (u).- J'aurai, d’après (11), en prenant les deux dernières seulement :

B dé + ydn = ds +(r—=6)d8f",

y dE 5 dn = de — 26 dB";

et au lieu de la première, je combinerai les équations (11), en remarquant que, dans 2S0S — TôR —RGT, 02’ disparaît; donc

25(8 dE + y dr) — 7 (a dé + Be

(os

In) — pr dé +5 di)

ÆY